懸挑十字交叉基礎梁節點荷載分配方法探討

林麗萍，羅 婉，賀建清

（湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201）

懸挑十字交叉基礎梁節點荷載分配方法探討

林麗萍，羅 婉，賀建清

（湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201）

將半無限長梁自由端無限延伸，形成無限長梁；基于Winkler地基上無限長梁的解答，求得集中力偶作用下原半無限長梁自由端處的剪力和彎矩。利用半無限長梁自由端需滿足彎矩及剪力為零的條件，求得需在自由端施加的外荷載。分別計算外荷載和集中力偶在作用點處產生的撓度，疊加求得集中力偶作用下半無限長梁在作用點處的撓度，并提出集中力偶作用下的懸挑影響系數計算公式。根據靜力平衡和變形協調條件，建立豎向荷載和力矩共同作用下具有懸挑的十字交叉基礎的節點分配荷載的一般公式。

Winkler地基；十字交叉基礎梁；半無限長梁；節點；荷載分配

1 研究背景

對于荷載較大的高層建筑，如果地基軟弱，且土的壓縮性或柱荷載沿兩個柱列方向不均勻，需要基礎縱橫兩向都有一定的抗彎剛度，以減少地基變形，防止過大的不均勻沉降時，常采用雙向設置的十字交叉基礎[1-4]。此種基礎剛度較大，能有效地減小柱基之間的沉降差，從而滿足地基承載力和地基變形的要求，以保證建筑物的可靠性[5]。

十字交叉基礎是由柱網下的縱、橫相連的條形基礎組成的一種空間體系，其與地基相互作用的理論分析相當復雜。目前，因考慮上部結構-基礎-地基共同作用的分析方法尚不成熟，工程上常采用一些近似計算方法來解決節點處柱荷載的分配問題。文獻[6]給出了Winkler地基上十字交叉基礎梁包含有限長梁及節點不在梁端的半無限長梁的節點分配荷載的一般公式。文獻[7]基于無限長Winkler地基梁的解答，推導出具有懸挑的十字交叉基礎梁柱荷載分配系數的公式。文獻[8]給出了合理的重疊基底反力調整方法及計算公式，并通過算例對節點力調整前后基底反力及內力的變化進行了對比。文獻[9]提出了一種計算位于雙參數地基模型上，具有懸挑的十字交叉基礎梁柱荷載分配系數的方法。文獻[10]建立了滿足地基承載能力要求的基礎底板寬度的計算公式。文獻[11]提出了空間框架-十字交叉基礎梁與彈性地基相互作用簡化分析的超元法。文獻[12]提出了彈性地基上十字交叉梁考慮上部結構影響分析的超元法。以上研究在對節點處荷載進行分配時，考慮了地基與基礎的共同作用，且滿足靜力平衡和變形協調2個條件，但均忽略了上部結構傳來的力矩對節點位移的影響；文獻[13]中雖有提及，但沒有給出考慮力矩影響的節點荷載簡化分配方法。

在工程實際中，為調整結構荷載中心與基底平面形心相重合和改善角柱與邊柱下地基受力條件，常在轉角和邊柱處，基礎做構造性延伸。本文基于Winkler地基上無限長梁的解答，推導出集中力偶作用下半無限長梁在作用點處撓度，提出了集中力偶作用下的懸挑影響系數計算公式；根據靜力平衡和變形協調條件，建立豎向荷載和力矩共同作用下具有懸挑的十字交叉基礎的節點分配荷載一般公式。

2 Winkler地基上梁節點荷載分配計算

2.1 Winkler地基上梁撓曲微分方程

Winkler地基上梁的荷載分配分析見圖1。圖中：x為到遠點的距離；p為基底反力，p(x) 為點x處的基底反力；q為分布荷載，q(x)為點x處的分布荷載；M為彎矩；V為剪力。

圖1 Winkler地基上節點荷載分配分析簡圖Fig.1 Sketch of load distribution of joint on Winkler foundation

Winkler地基上梁撓曲微分方程為[14-15]

式中：Ec, I分別為基礎梁的彈性模量和慣性矩；

k為地基抗力系數；

b為基礎梁的寬度；

w為梁的撓度。

2.2 Winkler地基上無限長梁的節點荷載分配

在Winkler地基上的無限長梁上分別施加一集中力P、集中力偶M0，從而得無限長梁的撓度w、轉角 、彎矩M及剪力V，見圖2[16]。圖中，為彈性地基梁的特征系數，Ax, Bx, Cx, Dx均為參數，且

圖2 Winkler地基上無限長梁的撓曲和內力Fig.2 Deflection and inner force of infinite beam on Winkler foundation

2.3 Winkler地基上半無限長梁集中力作用點處撓度

如圖3所示，在半無限長梁上作用集中力P0，作用點O距梁端A的距離為，則作用點O處梁的撓度[7]

令

從而得

圖3 集中力作用下的半無限長梁Fig.3 Semi-infinite beam under concentrated force

圖4 為集中力作用下懸挑影響系數曲線。

圖4 集中力作用下的懸挑影響系數曲線Fig.4 Cantilever-influence coefficient curve under concentrated force

2.4 Winkler地基上半無限長梁集中力偶作用點處的撓度

如圖5所示，在半無限長梁上施加集中力偶M0，作用點O距梁端A的距離為利用疊加原理求解作用點O處梁的撓度，求解方法如下：

將梁從A端向外無限延伸形成無限長梁，按無限長梁方法求解力偶M0在A截面產生的彎矩Ma、剪力Va。由于原半無限長梁A端為自由端，彎矩及剪力均為0，故在無限長梁A處加上彎矩MA、剪力VA以抵消M0在無限長梁上A處產生的彎矩Ma、剪力Va，滿足自由端彎矩及剪力為0的條件。求得彎矩MA、剪力VA后，分別求力偶M0、彎矩MA、剪力VA在無限長梁O處的撓度，然后疊加求出O處的撓度。

求解步驟如下：

1）根據圖2b中公式，力偶M0在無限長梁A截面產生的彎矩Ma、剪力Va為

2）根據在無限長梁A處施加的彎矩MA、剪力VA，在該處產生的彎矩、剪力分別為-Ma,-Va的條件，由圖2中公式，建立如下方程：

求解方程（7）得

3）由圖2中公式分別求得力偶M0、彎矩MA、剪力VA在無限長梁O處的撓度，疊加得

令

從而得

圖5 集中力偶作用下的半無限長梁內力和撓度計算Fig.5 Calculation of deflection and inner force of semi-infinite beam under concentrated couples

圖6 為集中力偶作用下懸挑影響系數曲線。

圖6 集中力偶作用下的懸挑影響系數曲線Fig.6 Cantilever-influence coefficient curve under concentrated couples

3 十字交叉基礎節點荷載分配

在如圖7所示的十字交叉基礎簡圖上，任一交叉點處都作用有從上部結構傳來的豎向荷載Fi和x,y方向的力矩Mix, Miy。不考慮扭轉變形的影響，即一個方向的條形基礎有轉角時，不引起另一方向條形基礎的內力，Mix, Miy分別由x, y方向基礎承擔[17]。

圖7 十字交叉基礎簡圖Fig.7 Sketch of crossed foundation beams

考慮基礎與地基的共同作用，對任一節點，荷載分配必須滿足以下2個條件：

1）靜力平衡條件。節點處分配在x, y方向條形基礎的豎向荷載之和等于柱荷載，即

式中：Fi為任一節點上作用的柱荷載；

Fix, Fiy分別為分配在x, y方向條形基礎梁上的豎向荷載。

2）變形協調條件。即x, y方向條形基礎梁在節點處的撓度相等。

式中，wix,wiy分別為x, y方向條形基礎梁在節點處的撓度。

文獻[13]在分配十字交叉基礎節點荷載時，把交叉基礎分成6種不同的類型，本文采用文獻[7]的分類方法，統一把節點分成3類：內柱節點，見圖8a；邊柱節點，見圖8b；角柱節點，見圖8c。

圖8 交叉基礎節點類型Fig.8 Various joints of crossed foundation beams

3.1 內柱節點荷載分配

對內柱節點（圖8a所示），Fix, Fiy分別為柱荷載Fi分配在x, y方向條形基礎梁上的豎向荷載。根據Winkler地基上無限長梁的解，x方向條形基礎梁在Fix作用下，i節點產生的撓度為

式中：bx為x方向基礎寬度；

Sx為x方向基礎的彈性特征長度，

同理，y方向條形基礎梁在Fiy作用下，i節點產生的撓度為

式中：by為y方向基礎寬度；

Sy為y方向基礎的彈性特征長度，

由式（12）～（15）解得

3.2 邊柱節點荷載分配

對邊柱節點（圖8b所示），節點柱荷載Fi可分解為作用在無限長梁上的Fix和作用在半無限長梁上的Fiy。由式（5）和式（11）可知，y方向條形基礎梁在Fiy, Miy作用下，i節點產生的撓度為

3.3 角柱節點荷載分配

對角柱節點（圖8c所示），節點柱荷載Fi可分解為分別作用在半無限長梁上的豎向荷載。同3.2節類似，x方向條形基礎梁在Fix, Mix作用下，i節點產生的撓度為

由式（12）～（13）和式（17）～（18）解得

在將節點上的柱荷載進行分配的過程中，基底面積重復計算一次，使基底單位面積上的反力較實際的反力減少，計算結果偏于不安全，必須進行調整修正。經調整后，i節點x, y方向基礎梁上的荷載為[16]

式中：ΔAi為i節點多算了的基底面積；

p為調整前的基底壓力平均計算值。

4 算例

本文選取文獻[12]中算例，圖9為某框架結構基礎平面。

圖9 計算實例Fig.9 The calculation example

已知柱荷載F1=2 400 kN，F2=3 200 kN，F3=4 000 kN，F4=4 500 kN；彎矩M1x=30.0 kN·m，M1y=33.8 kN·m，M2x=23.8 kN·m，M2y=28.0 kN·m，M3x=35 kN·m，M3y=33.0 kN·m，M4x=26.3 kN·m，M4y=28.0 kN·m。持力層地基抗力系數k=5×104kN/m3，基礎混凝土彈性模量Ec=2.55×107kN/m2，x方向基礎梁的寬度、慣性矩、懸挑長度分別為3.0 m, 0.127 m4, 1.5 m，y方向基礎梁的的寬度、慣性矩、懸挑長度分別為2.0 m, 0.110 m4, 1.8 m。

4.1 節點荷載分配

對JL-1基礎梁，有bx=3.0 m，Ix=0.127 m4，

對JL-2基礎梁，有by=2.0 m，Iy=0.110 m4，

采用式（16）、式（18）和式（21）分別計算分配在x, y方向條形基礎梁上的豎向荷載Fix, Fiy，計算結果見表1。

表1 節點豎向荷載分配Table 1 Distribution of vertical load on joints

4.2 分配荷載調整

作用在諸節點上集中力的總和為

基礎的實際底面積為

交叉基礎各節點重疊的基地面積之和為

調整前的基底壓力平均計算值為

由式（16）可得各節點經調整后的分配荷載。計算結果見表2。

表2 節點分配荷載調整Table 2 Adjustment of distributed loads on joints

5 結語

1）基于對Winkler地基上無限長梁的解答，推導出集中力偶作用下半無限長梁在作用點處的撓度，提出了集中力偶作用下的懸挑影響系數的計算公式。

2）根據靜力平衡和變形協調條件，建立了豎向荷載和力矩共同作用下十字交叉基礎的邊柱和角柱節點分配荷載的一般公式。

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（責任編輯：鄧光輝）

Investigation on Load Distribution of the Joint of Cantilever Crossed Foundation Beam

Lin Liping，Luo Wan，He Jianqing
（School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology，Xiangtan Hunan 411201，China）

Semi-infinite beam is extended from free end to infinitely long beam. Based on solutions for infinitely long beam on Winkler foundation, the shear force and bending moment at the free end of semi-infinite beam under the concentrated couples are derived. The external load applied at the free end is obtained by using the condition of the free end to meet zero moment and zero shear. The deflections at the action points are calculated separately under external loads and concentrated couples and the deflection at the action points are calculated under superposition of concentrated couples and external loads, and the calculation formula for cantilever influence coefficient with the action of concentrated couple is presented. According to the conditions of static equilibrium and deformation compatibility, general formulas for distribute load on joints of cantilever crossed foundation beams under vertical load and moments are given.

Winkler foundation；crossed foundation beam；semi-infinite beam；joint；load distribution

TU471

A

1673-9833(2015)02-0031-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.02.006

2015-01-21

湖南科技大學研究生創新基金資助項目（S140009）

林麗萍（1989-），女（滿族），吉林遼源人，湖南科技大學碩士生，主要研究方向為巖土工程，E-mail：1286979743@qq.com