淺談夯實(shí)基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)

吳靈喜

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)，先夯實(shí)基礎(chǔ)，通過套題、變式題對(duì)定義進(jìn)行理解。教師要鞏固學(xué)生對(duì)拋物線的定義，并會(huì)簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)；變式題；推理能力

圓錐曲線在數(shù)學(xué)上是一個(gè)非常重要的幾何模型，有很多幾何性質(zhì)，這些重要的幾何性質(zhì)在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及其他科學(xué)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對(duì)于提高自身的素質(zhì)是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類，在高考中有著重要的地位.特別地，在導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué)，對(duì)拋物線的考查就更為頻繁.在學(xué)習(xí)了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質(zhì)之后，為了更好地理解拋物線的定義，筆者從下面幾個(gè)方面進(jìn)行說明.

一、鞏固拋物線的定義

1.到點(diǎn)A（1，1）的距離與到直線l：3x-4y+1=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

解析：粗看滿足拋物線的定義，再仔細(xì)一看，易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A∈l，點(diǎn)的軌跡為經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于直線l的一條直線.這有助于理解拋物線的定義——直線外的一點(diǎn).

2.經(jīng)過點(diǎn)F（2，0）且與直線l：x=-2相切的動(dòng)圓的圓心M的軌跡是（ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

解析：由圓的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)可知，圓心到切線的距離等于半徑，又點(diǎn)F在圓M上：即圓心M到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l的距離，滿足拋物線的定義，所以動(dòng)圓心M的軌跡是拋物線.

變式1：到點(diǎn)F（2，0）的距離比到直線l：x=-1的距離大1的點(diǎn)的軌跡是（ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

解析：把直線l向左平移一個(gè)單位，可以轉(zhuǎn)化為l′∶x=-2，到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于到定直線l′：x=-2的距離，滿足拋物線的定義。

變式2：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足等式： = ，則點(diǎn)M的軌跡為（ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

解析：等式可化為： = .

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離公式可得，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于到定直線l：3x+4y-2=0的距離，滿足拋物線的定義（不是我們所熟悉的標(biāo)準(zhǔn)條件下的拋物線）.

二、拋物線定義的簡單應(yīng)用

1.求焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)A（3，m）到焦點(diǎn)的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2px（p>0），如果運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，待定系數(shù)法聯(lián)立方程組解得，運(yùn)算量較大.所以可根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)A到準(zhǔn)線：x=-p/2的距離等于5，可得到p的值，從而求得拋物線的方程.

2.已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P在拋物線上，有一定點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：由定義可知，拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，所以求|PA|+|PF|的最小值，轉(zhuǎn)化為求|PA|+d的最小值，由點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線中垂線段最短可得，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂線段長即為所求的最小值，該垂線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

變式：已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P在拋物線上，有一定點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，求|PA|+d的最小值.

解析：P到y(tǒng)軸的距離，可以延長到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.

3.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l的位置關(guān)系 .

解析：過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別是A1，B1，取AB的中點(diǎn)為C，過C作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C1，由拋物線的定義可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.

∴|AB|=|AA1|+|BB1|.

∵CC1是梯形ABB1A1的中位線.

∴2|CC1|=|AA1|+|BB1|.

∴|AB|=2|CC1|，即圓心C到準(zhǔn)線的距離等于半徑.

∴以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切.

變式：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的弦AB，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足為A1，B1，求證：A1F⊥B1F.

解析：在△AA1F和△BB1F中，根據(jù)拋物線的定義可知，|AF|=

|AA1|，|BF|=|BB1|，

∴2∠A1FA+∠A1AF=180°，

2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，

∴∠A1AF+∠B1BF=180°，

∴∠A1FA+∠B1FB=90°，

∴∠A1FB1=90°，即A1F⊥B1F.

4.已知AB是拋物線y=x2上的動(dòng)弦，且|AB|=a（a為常數(shù)且a>1），求弦AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值.

解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），過A，B，M分別作準(zhǔn)線l∶y=- 的垂線，垂足分別為A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN為梯形的中位線.

∴MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .

連接AF，BF，在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，當(dāng)且僅當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)取“=”.

根據(jù)拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，

∴MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，

∴當(dāng)弦AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)，中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)有最小值： a- .

5.如下圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程是（ ）

A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x

解析：過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，B1，準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)K，則|BF|=|BB1|.

∵|BC|=2|BF|，∴|CB|=2|BB1|，∴∠B1CB=30°，

∴|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，

∴F為AC的中點(diǎn).

∴FK= AA1= ，即p= ，

∴拋物線的方程為y2=3x.

通過以上幾個(gè)例子，讓我們能夠進(jìn)一步理解拋物線的定義，能更好地解決與拋物線有關(guān)的焦半徑問題和焦點(diǎn)弦問題，解決有關(guān)拋物線的最值問題和定點(diǎn)、定值問題.重視概念的理解是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的第一步，是發(fā)展學(xué)生基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

任志鴻.高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練：數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社，2012-09.

編輯 韓 曉