求圓錐曲線中心離心率的取值范圍的方法

肖重明

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個特別重要的知識點，求解圓錐曲線離心率的取值范圍，是平面解析幾何中的重難點，其自然會成為高考考查的重點。就求解圓錐曲線離心率取值范圍提出一些方法見解。

關鍵詞：圓錐曲線；離心率；取值范圍；不等式

求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，關鍵就在于由已知和潛在條件得到一個關于基本量a，b，c，e的一個不等式，再化簡為形式，就可以從中求出離心率范圍，關鍵就在于構建不等式。

一、利用點與圓錐曲線的關系構建不等式

可以充分考慮點和圓錐曲線的關系，利用向量、坐標法或其他方法進行不等式的構建解析。如例題1：有橢圓 +y2=1，n>0，在這個橢圓上有兩個關于直線x+y=1的對稱點A，B。求橢圓的離心率取值范圍。此題可用點差法求出線段AB的中點G坐標（用n表示），G點定在橢圓內，根據橢圓內部點坐標遵循不等式 +y2<1，求出n的取值范圍，因為e2=1- ，再把n的取值范圍帶入，再結合橢圓離心率大于0、小于1的特性綜合求出e的取值范圍。

二、利用直線和圓錐曲線的關系條件

部分求解圓錐曲線離心率的題目中，是以直線與圓錐曲線位置設置問題條件的，那就利用這個關系，再結合代數知識構建不等式求解離心率范圍。例如命題者普遍會將雙曲線同直線交點個數問題作為限制條件，讓求解離心率。因為存在交點，就可以整合直線方程和雙曲線方程構造新的一元二次方程，轉化成該方程根個數的問題，據此分情況列出不等式求離心率。

三、結合其他知識塊構建不等式

在求解離心率的過程中不能只局限與圓錐曲線的知識，還要結合其他知識模塊，找到解題思路，通常運用較多的知識模塊有二元一次方程、均值不等式、三角形三邊關系等，其中均值不等式多結合余弦定理使用。

四、利用圓錐曲線自身性質構建不等式

充分理解圓錐曲線的性質對其離心率范圍的求解大有好處，比如雙曲線的焦半徑取值范圍、橢圓上的點與兩焦點連線間夾角最大時，這個點在橢圓的短端點上。例如題目：橢圓（a>b>0）上存在點P使得其與兩個焦點連線夾角∠F1PF2為120°，求離心率e的取值范圍。根據橢圓上的點與兩焦點連線間夾角最大時，這個點在橢圓的短端點上的性質，只要保證∠OBF2≥60°即可，即sin∠OBF2=≥ ，e的范圍也就可以求出來了。

參考文獻：

張利平.揭秘高考圓錐曲線離心率的幾種常規求法[J].數學學習與研究，2015（09）.

編輯 謝尾合