淺談解數(shù)學(xué)題的策略

陳海彥

解數(shù)學(xué)題時(shí)，一般先經(jīng)過思考、類比、聯(lián)想應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理公式等為依據(jù)是提高分析問題、解決問題的能力，加快解決速度的重要保障。下面介紹一些解題的技巧和方法。

一、由大到小

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，范圍（指定義域、值域、知識(shí)點(diǎn)等）越小，越便于尋找解題途徑。

例1.求函數(shù)y= + + + 的值域

用x取值范圍太大，難于考慮，若退到只考慮x在某個(gè)象限時(shí)，難則變易，如當(dāng)x屬第一象限角時(shí)，可得y=4；當(dāng)x屬第二象限角時(shí)， =1， =1，…，故y=-2.

因此解得y∈{4，0，-2}

二、由生到熟

當(dāng)我們遇到以前沒有接觸過的陌生題時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成曾經(jīng)解過的或熟悉的題目，利用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)順利解出原題。

例2.已知f（x）= + ，則f（x）的最小值

（ ）

A.2 B. C.0 D. +

解：f（x）= + = +

則此題轉(zhuǎn)化為（x，0）到（-1，-1）和到（2，-1）距離之和的最小值，易得答案為 。

三、由特殊到一般

例3.（2012年高考江西卷理7）在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則 （ ）

A.2 B.4 C.5 D.10

解：取一等腰直角三角形ABC，∠C=90°，如上圖所示：再取AC=BC=2，則AB=2 ，AD=CD= ，PC= ，PA=PB= = = ，所以 =10

四、由反到正

當(dāng)一道題從正面入手復(fù)雜繁瑣，或找不到解題的依據(jù)時(shí)，要隨時(shí)改變思維的方向，從結(jié)論的反面進(jìn)行思考，化難為易地解出原題。

例4.從正方體的6個(gè)面中選出3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ）

解：此題正面思考困難，但可這樣考慮：從6個(gè)面中任選3個(gè)面共有C36種，但正方體的每個(gè)頂點(diǎn)都有3個(gè)面相鄰不符合題意，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為C36-8=12種。

例5.若關(guān)于x的方程4cosx-cos2x+m-3=0恒有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.[-1，+∞） B.[-1，8] C.[0，5] D.[0，8]

解：將方程問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解，

即方程可化為m=cos2x-4cosx+3=（cos2x-2）2-1，由cosx∈[-1，1]，得m=[0，8]，故選D。

五、由整體到部分

當(dāng)按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算繁冗的題目時(shí)，要適當(dāng)調(diào)整視角，把問題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，從整體特征的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。

例6.設(shè)f（x），g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且

f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0，則當(dāng)a

A.f（x）g（x）>f（b）g（b） B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（b）>f（b）g（x） D.f（x）g（x）>f（a）g（a）

解：由f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0知 ′<0，則可把 看成一個(gè)整體，可令h（x）= ，所以h（x）在x∈（a，b）上單調(diào)遞減，則h（a）>h（x）>h（b），即f（x）g（b）>f（b）g（x），故選C。

因此，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果常規(guī)的思維思考受挫時(shí)，我們換一個(gè)角度思考，可能會(huì)透云見日、豁然開朗。

編輯 謝尾合