低階方陣的高次冪的計算技巧

田凱

摘要：方陣的高次冪的計算是線性代數、矩陣理論中的常見問題。本文結合實例介紹了利用特征多項式、最小多項式計算低階方陣的高次冪，以及簡化方陣多項式的技巧。

關鍵詞：方陣的冪;Hamilton-Cayley定理;特征多項式;最小多項式

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）25-0197-02

在線性代數、矩陣理論相關課程中，一類比較常見的問題是，計算方陣的冪。方陣的冪，是矩陣理論中非常簡單的概念。若A是n階方陣，則A的m次冪定義為

A ?= ?，其中m表示任一正整數。

若方陣A可對角化，即存在可逆矩陣P使得

其中Λ=diag（λ ?，λ ?，…，λ ?），λ ?，λ ?，…，λ ?是A的特征值，則A的冪是容易計算的，因為

而且Λ ?=diagλ ? ?，λ ? ?，…，λ ? ?，所以在這種情況下，我們可以寫出方陣A的任意次冪的顯示表達式。若方陣A不可對角化，尤其是當m比較大的時候，計算A的冪就成為一個復雜的問題。

本文介紹低階方陣高次冪的計算技巧，希望對讀者有所幫助。我們所介紹技巧的理論基礎是著名的Hamilton-Cayley定理及矩陣的最小多項式。為方便讀者閱讀，首先回顧相關定理、定義與重要性質。

Hamilton-Cayley定理：n階方陣A的特征多項式f（λ）=det（λI-A），則f（A）=0。

若多項式p（λ）使得p（A）=0，則稱p（λ）為A的化零多項式。Hamilton-Cayley定理告訴我們，方陣A的特征多項式總是其化零多項式，因此任意方陣A的化零多項式總存在。方陣A的次數最小且首項系數為1的化零多項式稱為A的最小多項式。基于此定義不難證明，A的最小多項式能整除其所有化零多項式。因此，A的最小多項式是其所有化零多項式的最大公因式，故最小多項式必存在且唯一。利用下面的結論，可以確定給定方陣A的最小多項式。

定理：已知方陣A，若B（λ）是矩陣（λI-A）的伴隨矩陣，d（λ）是B（λ）各元素的最大公因式，則方陣A的最小多項式ψ（λ）是ψ（λ）= ?。

例如：3階方陣

的特征多項式是

（λI- ?）的伴隨矩陣

該方陣的所有元素的最大公因式d（λ）=λ+1，因此方陣 ?的最小多項式為

ψ（λ）=（λ+1） ?。

問題：對上例中的3階方陣 ?，試求 ?5。

我們應該注意到，方陣 ?有一個特征值-1，其代數重復度為3，而幾何重復度為2，所以 ?最多有兩個線性無關的特征向量， ?不可對角化。因此，我們不能借助對角矩陣計算5（如本文第一段所述）。

根據Hamilton-Cayley定理，方陣 ?的特征多項式f（λ）是其化零多項式，即：

上式可改寫為：

反復利用該式，我們可將方陣A的任意次冪轉化為方陣A的二次多項式，例如：

我們還可以借助方陣的最小多項式簡化方陣冪的計算，仍以3階方陣 ?為例。根據上文， ?的最小多項式是ψ（λ）=（λ+1） ?，于是

或等價的寫成

反復上式，我們有

基于上式，容易得到

顯而易見，借助最小多項式，我們將 ?的冪轉變為 ?的一次多項式，這大大降低了計算的復雜度。

不論是特征多項式，還是最小多項式，它們在計算方陣的冪的過程中發揮著類似的作用，即：以化零多項式提供一個等式，幫助我們將方陣的冪轉化為次數較低的多項式，以達到簡化計算的目的。作為次數最小的化零多項式，最小多項式能最大程度簡化方陣冪的計算。這種方法在計算低階方陣的高次冪時，效果尤其突出。

最后，需要指出的是，最小多項式（或特征多項式）也可用于簡化方陣的高次多項式的計算。例如：計算 ?的5次多項式

事實上，利用多項式帶余除法，不難得到

于是，我們有

請注意，（λ+1） ?是 ?的最小多項式，（ ?+I）2=0，因此我們得到

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數（第五版）[N].北京：高等教育出版社，2007.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.endprint