一類具有時滯和放養的擴散系統的周期解

王暉

（內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼 028000）

一類具有時滯和放養的擴散系統的周期解

王暉

（內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼 028000）

研究一類具有Beddington功能反應和放養的Lotka-Volterra 擴散系統。證明了系統正周期解的存在性，并通過構造適當的Lyapunov泛函，給出了正周期解全局穩定的充分條件。

時滯；擴散；放養；正周期解；全局穩定性

1 研究背景

國內外很多學者對具有功能反應的捕食周期系統進行了大量研究[1-8]。如：文獻[6]研究了時標上具有階段結構的三種群捕食系統。運用時標上連續拓撲度定理，得到了系統存在周期解的充分條件，其研究方法使系統的連續時間情形和離散時間情形的周期解問題得到了統一。文獻[7]研究了一類具有保護區和避難所效應的捕食系統周期解存在性。利用重合度理論，得到系統至少存在8個正周期解的充分條件,并舉例子說明了結果的有效性。由于環境的變化、人為的干預或外來物的影響，都不同程度地影響著生物的持續生存和滅絕，于是越來越多的現實因素被考慮到模型中來。不論是野生的還是人工飼養的種群，人們常采取擴散和放養（食餌補充）來加以保護或控制。特別是當捕食者種類多、密度大或捕食能力強時，常通過補充食餌使種群的數量趨于穩定，以達到生態平衡。

文獻[8]研究了具有擴散和放養的兩種群競爭系統，得到了系統周期解的存在性，唯一性和全局漸近穩定性的充分條件，但文獻[8]研究的種群比較少，且沒有給出捕食者種群的捕食率，而生態系統中多見的是多種群相繼捕食的生物鏈。因此，本文在文獻[8]的基礎上考慮了捕食率為Beddington型功能反應的三種群相繼捕食的擴散模型，即如下模型：

式中：xi(t)(i=1, 2, 3, 4)分別為被捕食種群和捕食者種群的密度，x1(t), x2(t)分別為被捕食種群在斑塊Ⅰ和Ⅱ中的密度，而捕食者種群被限制在斑塊中不能擴散；

x3(t)以x1(t)為食，x4(t)以x3(t)為食，如此相繼捕食，形成了一個生物食物鏈；

Di(t)(i=1, 2)，Si(t)(i=1, 2)分別為被捕食種群在斑塊Ⅰ或Ⅱ中的擴散率和投放率，

ri(t), ai(t), ci(t),i(t) (i=1, 2, 3, 4)均為模型的系數；

ki(s)（i=1, 2, 3, 4）, v(t), h(t)均表示函數。

2 基本概念和假設

3 解的正性

4 周期解的持久性

由定義1和引理2可得如下定理：

定理1 如果模型（1）滿足條件H1～H7，則模型（1）是一致持久的。

5 周期解的唯一性和全局穩定性

定理2 假設在H1～H7下，還有：

因此，模型（1）的周期解是唯一的且是全局穩定的。

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[3]Chen Fengde，Shi Jinlin，Chen Xiaoxing.A Nonautonomous Diffusion Predator-Prey System with Functional Response and Time Delay[J]. Pure and Applide Mathematics，2003，19(4)：311-317.

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[6]徐昌進. 時標上具有階段結構的三種群捕食系統的周期解[J]. 經濟數學學報，2013，30(1)：5-11. Xu Changjin. Periodic Solutions for a Three Species Predator-Prey System with Stage-Structure on Time Scales[J]. Journal of Quantitative Economics，2013，30(1)：5-11.

[7]賈素娟，魏鳳英. 具有保護區和避難所效應的捕食系統周期解的存在性[J]. 福州大學學報：自然科學版，2012，40(4)：423-428. Jia Sujuan，Wei Fengying. Existence of Solutions to Predator-Prey Systems with Protected Areas and Refuges [J]. Journal of Fuzhou University：Natural Science Edition，2012，40(4)：423-428.

[8]陳福來，文賢章. 具有擴散和放養的時滯競爭系統的正周期解[J]. 生物數學學報，2006，21(1)：57-67. Chen Fulai，Wen Xianzhang. Positive Periodic Solution for Delay Competition System with Diffusion and Stock[J]. Journal of Biomathematics，2006，21(1)：57-67.

[9]Barbalat I. Systems D’equations Differentielle D’oscillations Nonlinraires[J]. Rev. Roumaine Math. Pures Appl.，1959，4：267-270.

（責任編輯：鄧光輝）

The Periodic Solutions of Diffusion System with Stock and Time Delay

Wang Hui
（Mathematics College，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao Inner Mongolia 028000，China）

Researches a Lotka-Volterra diffusion system with Beddington function response and stock. Proves the existence of positive periodic solution for the system, and by constructing appropriate Lyapunov function, provides sufficient conditions for the global stability of positive periodic solution.

time delay；diffusion；stock；positive periodic solution；global stability

O175.13

A

1673-9833(2015)03-0094-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.03.018

2015-04-04

內蒙古自治區高等學校教學改革研究基金資助項目（2013NMJG032），內蒙古民族大學教育教學研究基金資助項目（MDYB201406）

王 暉（1982-），女，四川德陽人，內蒙古民族大學講師，碩士，主要研究方向為生物數學，E-mail：whll_clam@163.com