方差成比例時2個正態總體均值的假設檢驗

冒霜霜，焦肖紅，鄧錦葉

（中南大學 數學與統計學院，湖南 長沙 410006）

方差成比例時2個正態總體均值的假設檢驗

冒霜霜，焦肖紅，鄧錦葉

（中南大學 數學與統計學院，湖南 長沙 410006）

在方差未知但相等，或方差未知且大樣本的情況下，2個正態總體均值的假設檢驗已經給出了解決方法；但是在方差不等且小樣本的情況下，2個正態總體均值的假設檢驗少有研究。針對這一問題，給出了理論證明的處理方法，并設計了實現流程和用于實現的MATLAB程序，最后，以實際案例給出了實現的具體方法。與大樣本情況下的方法對比，該方法所需樣本數量較小。

概率論與數理統計；假設檢驗；方差成比例；MATLAB

1 研究背景

對于假設檢驗

有如下3種情形：

情形1 對于2個正態總體方差都已知，要檢驗2個正態總體均值是否相等，有檢驗統計量[1-2]

情形2 對于2個正態總體方差都未知但相等，要檢驗2個正態總體均值是否相等，有檢驗統計量

情形3 對于2個正態總體方差都未知，要檢驗2個正態總體均值是否相等，當m, n很大時(m, n≥50)，有檢驗統計量

對于方差不等且小樣本的情形下，2個正態總體均值的假設檢驗，目前的研究成果少見。本文給出對于方差不等且小樣本的情形下，2個正態總體均值的假設檢驗的方法。

2 方差成比例時2個正態總體均值的假設檢驗有關定理

3 方差成比例時2個正態總體均值的假設檢驗步驟

此時的拒絕域為

綜上所述，在小樣本的情形下，對于2個正態總體均值的假設檢驗可按圖1所示流程進行。

圖1 小樣本情形下2個正態總體均值的假設檢驗流程Fig.1 Flowchart of hypothesis test of the means of two normal populations in the case of small samples

4 應用案例

根據調查得知男女各250名的月收入[6]（見附表1）。首先，對數據進行正態性檢驗[7]（相應函數的MATLAB程序見附錄1），在MATLAB中輸入如下程序：

檢驗結果如下：

正態性檢驗的結果表明，男性和女性2組樣本均服從正態分布。

此時，樣本容量為250，屬于大樣本的情形，可直接利用函數fun_2[8-9]進行假設檢驗

在MATLAB中輸入如下命令：

運行結果如下：

現在考慮更符合實際的一種情況，由于抽樣受限，只得到了其中男女各40組數據。

男性：16 500，7 800，1 200，16 900，4 900，7 700，48 100，44 300，14 500，22 900，14 200，11 900，55 300，29 400，30 500，32 600，51 000，1 400，31 400，44 400，19 800，8 400，23 700，18 500，17 600，39 400，37 500，16 200，4 400，40 900，2 500，37 200，17 500，26 900，25 400，15 300，22 600，44 500，34 200，7 700。

女性：27 400，16 300，11 100，8 200，15 400，11 200，13 100，32 000，29 200，9 400，800，21 500，18 400，1 300，9 000，13 600，23 000，12 400，11 600，27 600，20 500，200，13 000，14 400，21 800，40 900，7 100，8 200，26 900，12 300，8 100，8 400，3 900，9 500，23 800，38 800，16 000，18 400，12 900，2 400。

此時，屬于小樣本情形，可按圖1給定的流程進行假設檢驗。

同樣地，首先對數據進行正態性檢驗，在MATLAB中輸入以下程序：

檢驗結果如下：

正態性檢驗的結果表明，男性和女性2組樣本均服從正態分布。

現為確定男性與女性的工資是否存在顯著差異，從男女中各隨機抽出20組數據。

男性：22 600，55 300，7 800，44 300，4 900，16 900，16 500，39 400，1 400，15 300，48 100，16 200，7 700，32 600，1 200，14 200，44 400，11 900，37 200，17 500。

女性：16 000，18 400，16 300，32 000，15 400，8 200，27 400，40 900，12 400，38 800，1 3100，8 200，2 400，13 600，11 100，800，27 600，21 500，8 400，3 900。

利用函數fun_3，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結果如下：

然后，進行假設檢驗

此時，用抽中的樣本確定常數，得c=2.139 1。

利用函數fun_4，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結果如下：

最后進行假設檢驗

利用函數fun_5，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結果如下：

綜合以上結果可知，男女工資均值不相等，方差成比例，因此男女工資存在顯著性差異。這與用大樣本的方法直接進行假設檢驗所得的結果一致。

5 結語

從以上實際應用可以看出，本文在方差成比例時2個正態總體均值的假設檢驗方法是可行的，而且此方法所需的數據量較少，在實際應用中具有一定的優勢。此外，本文編程得到的5個MATLAB函數fun_1，fun_2，fun_3，fun_4，fun_5，能為解決一些假設檢驗問題提供便捷的方法。

[1]鄧集賢，楊維權. 概率論及數理統計[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2009：81-102. Deng Jixian，Yang Weiquan. Probability and Mathematical Statistics[M]. 4th ed. Beijing：Higher Education Press，2009：81-102.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍. 概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004：285-304. Mao Shisong，Cheng Yiming，Pu Xiaolong. Tutorial of Probability and Mathematical Statistics[M]. Beijing：Higher Education Press，2004：285-304.

[3]姜培華. 兩正態總體方差比的最優區間估計和最佳雙邊檢驗[J]. 菏澤學院學報，2011，33(2)：1-6. Jiang Peihua. The Best Interval Estimation and the Best Two-Side Test of Variance Ratio of Two Normal Population [J]. Journal of Heze University，2011，33(2)：1-6.

[4]王兆軍，鄒長亮. 數理統計教程[M]. 北京：高等教育出版社，2014：148-152. Wang Zhaojun，Zou Changliang. Mathematical Statistics Tutorial[M]. Beijing：Higher Education Press，2014：148-152.

[5]Gurland J，McCullough R S. Testing Equality of Means After a Preliminary Test of Equality of Variances[J]. Biometrika，1962，49(3/4)：403-417.

[6]薛 薇. 統計分析與SPSS[M]. 2版. 北京：中國人民大學出版社，2007：136-145. Xue Wei. Statistical Analysis and SPSS[M]. 2nd ed. Beijing：China Renmin University Press，2007：136-145.

[7]易昆南. 基于數學建模的數學實驗[M]. 北京：中國鐵道出版社，2014：151-155. Yi Kunnan. Mathematical Experiment Based on Modeling [M]. Beijing：China Railway Press,，2014：151-155.

[8]傅 鸝，龔 劬.數學實驗[M].北京：科學出版社，2000：10-30. Fu Li，Gong Qu. Mathematical Experiment[M]. Beijing：Science Press，2000：10-30.

[9]劉二根，王廣超. MATLAB與數學實驗[M]. 北京：國防工業出版社，2014：116-141. Liu Ergen，Wang Guangchao. MATLAB and Mathematical Experiment[M]. Beijing：National Defend Industry Press，2014：116-141.

（責任編輯：鄧光輝）

附表1 男女各250名月收入表Appendix 1 Monthly income table of 250 men and 250 women

續表

續表

附錄1 fun_1～ fun_5的MATLAB程序

Hypothesis Test of the Means of Two Normal Populations with Proportional Variances

Mao Shuangshuang，Jiao Xiaohong，Deng Jinye
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410006，China）

For two normal populations with unknown but equal variances or unknown variances but with large sample size, hypothesis test of the means has given a solution. But there is short of research for unequal variances with small sample size. To address the problem, the processing method of theoretical proof is put forward, and the realizing process and MATLAB program for realization are designed. Finally an actual case is used to illustrate the feasibility of the method. Compared with the situation of large sample, this method needs less samples.

probability and statistics；hypothesis test；proportional variances；MATLAB

O212.1

A

1673-9833(2015)03-0101-08

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.03.019

2015-04-07

冒霜霜（1990-），女，湖南邵陽人，中南大學碩士生，主要研究方向為概率論與數理統計，E-mail：canjingdao@163.com