菲涅爾理論在《光電子學與光電器件實驗》課中的應用

牛立剛 賀媛 劉媛媛 張彤

摘要：在《光電子光電器件實驗》課程中，引入菲涅爾理論的應用。把計算機軟件的應用與具體實驗內容相結合，探索了在實驗課程中將基礎理論、實踐內容、計算機應用三者相結合的教學方法。通過設計與分析高階菲涅爾透鏡的性質，使學生對光電子學的色散等概念有了更全面和深入的理解，培養學生分析問題和處理問題的能力。

關鍵詞：菲涅爾；光電子學；光場分析

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）05-0254-03

《光電子學與光電器件》是一門實踐性與應用型很強的課程。學生在學習了光電子學的基本理論知識的同時，還需要通過實驗課進一步理解和消化一些基本原理和基本元件，掌握光電子學的基本技能。相應的實驗課的建設直接影響學生的培養質量，影響學生今后進行科研的能力，是學科建設的重要內容之一。如何構建課程體系以及在課程中引入相應的知識訓練，是一個重要的研究課題。隨著光通信系統技術的飛速發展，光學元件的制作工藝也在突飛猛進。菲涅爾透鏡作為一種二元光學元件，在制作工藝上有著加工工藝簡單、成本低、易于與其他光路集成等優點，在光束整形、光互連、光照明、太陽能利用等方面都有著廣泛的應用前景。菲涅爾透鏡又叫菲涅爾波帶片，是基于光的衍射理論制作的光學元件。根據菲涅爾衍射理論，在對波前進行比較粗糙的分割，組成一些同心圓環，使得到達波前一點的光程相差半個波長，經過振幅疊加可以達到聚焦的目的。為加強學生對波動光學方面基礎知識、基本理論和基本技能的理解和掌握，養成用波動理論分析光學問題的思維習慣，了解菲涅爾透鏡的設計與分析方法，吉林大學電子科學與工程學院特為本科生開設《光電子學與光電器件》課程這門專業課。

一、幾何光學的局限性

因為在日常生活中遇見的有關光的問題絕大多數都屬于幾何光學的問題，幾何光學比較直觀，解決問題的方法比較簡單，本科生在進行光電子學實驗的時候往往習慣于用幾何光學的知識去理解激光，思考問題僅僅停留在宏觀尺度上。但是幾何光學有局限性，除了直線傳播定律之外，作為幾何光學基礎的另外兩條定律——反射定律和折射定律，也都只在波長很小的條件下或者在宏觀尺度上應用才能成立。幾何光學原理的適用范圍是有限度的。光電子學實驗主要是培養學生用微觀的思維去理解光、了解光的波動性。按照幾何光學的知識，激光通過凸透鏡會聚焦到一點，如果這個點沒有大小，此處能量密度將是無窮大，這是不符合科學的，所以，聚焦的焦點處應該為一個焦斑，用幾何光學的知識無法計算出此處焦斑的大小及其能量分布情況。實驗過程中，可以測的激光焦點最小為光波長量級的光斑，稱為埃里斑，能量主要集中在埃里斑的中心，在埃里斑的周圍會有光環，其能量分布如圖1所示。

學生這種幾何光學的思維定勢會影響他們對實驗結果的分析以及面對問題時所采取的解決方法。為了讓學生在現有知識條件下，就能理解解決這一光學問題，從而改變他們這種思維定勢，我們在《光電子學與光電器件實驗課》引入菲涅爾理論的應用，對實驗項目中的實驗現象盡可能讓學生用波動光學的知識去理解，從而改變學生波動光學的思維習慣。

二、菲涅爾理論

根據菲涅爾理論，波前上每一個點都可以看成一個新的震動中心，它們發出的次波在空間某一點振動的所有次波的相干疊加即為該點的光強。利用公式描述如下：

其中（P）是波面上P點的復振幅，K是比例常數，F是傾斜因子，d∑是面元。

通過這一公式的形式我們可以看出，經過一個復雜的曲面積分，按照理論，可以計算出激光光場中任何一點的光強。但是這個積分計算是非常復雜的，一般的學生很難完成。如果我們的實驗課中讓學生進行這樣枯燥無味的數學計算，不但不能提高學生波動光學的思維習慣，同時還會影響學生的學習興趣，這與我們實驗課培養學生實驗技能的宗旨是相違背的。

可以利用上面的公式，不需要復雜的曲面積分，借助于計算機的快速處理能力，設計出一個激光光場分析系統，在比較短的時間內計算出各種光學元件的光場情況，從而讓學生用波動光學的知識去理解激光。在利用菲涅爾公式進行光場分析的時候，學生需要了解激光波長、材料折射率、光學元件的形貌等參數，這些都是光電子學中比較重要的概念。

如在進行《氦-氖激光器模式分析》實驗項目的時候，學生可以利用光場分析系統模擬出氦氖激光的情況，然后利用CCD等儀器測量實際的模式，經過對比就可以發現兩者之間的誤差，并進行誤差分析。再比如《氦-氖激光器高斯光束與發散角測量》實驗項目，可以讓學生在分析系統中計算發散角的大小，以及利用最小二乘法對激光光強分布情況進行擬合，對高斯分布情況進行分析，從而讓學生對高斯激光有一個更深入的了解，然后利用CCD對高斯激光發散角測試系統進行測試。這一過程對學生來說可以深入強化其對光電子學概念的理解，同時提高他們對光電子學的興趣。

三、光場分析系統

光場分析系統為我們自主研發的一套分析軟件。該軟件主要是針對《光電子學與光電器件實驗》教學而設計，學生在使用過程中可以自由設計實驗系統中各個光學元件的參數。比如，學生可以設置激光波長，不同的波長會根據光的顏色來進行區分；可以任意設定凸透鏡的表面形貌，從而可以讓學生了解球面透鏡與非球面透鏡的區別；可以設定高斯光束中能量分布情況，從而可以比較準確地測量高斯光束的發散角等參數；還可以對菲涅爾波帶片的聚焦情況進行模擬，同時還可以模擬非對稱的橢圓形波帶片，這種非對稱光學元件在邊發射激光器光束整形方面有很大的應用前景。

四、八階梯相位型菲涅爾透鏡設計與分析

根據菲涅爾衍射公式，我們可以設計菲涅爾波帶片，每個圓環的半徑滿足以下公式：

其中，R1為最小圓環的半徑。如果我們對前面所提到的波帶片每個波帶進行劃分，根據不同的波帶設定不同的光程，可以制作高階波帶片。公式如下：

rm+f=（f+mλ/2）2 （3）

（由于光波長一般較短，我們可以認為mλ<

波帶片衍射效率公式為：

當n=2、4、8時，波帶片理論衍射效率分別為40.5%，81%，95.1%。為產生相位匹配，必須考慮材料折射率，適當選擇每個波帶的厚度。

為獲得更高的衍射效率，我們設計高階波帶片陣列。當n=8時，波帶片理論衍射效率為最高95.1%。為產生相位匹配，必須考慮材料折射率，適當選擇每個波帶的厚度。厚度公式如下：

其中N為波帶片階數，n為材料折射率，對于n=

1.56的材料，為波帶片達到相位匹配，我們設計每層高度為118納米，一共8層亞波帶，半徑為18微米，根據公式（4）可以求得該菲涅爾透鏡焦距為74微米，模型如下圖所示。

然后，我們利用光場分析系統模擬這種菲涅爾透鏡的聚焦情況。首先分析主軸上光強分布情況，得到菲涅爾透鏡主焦點位置。從圖中我們可以看出，主焦點的位置與利用公式獲得的主焦點位置比較符合。

然后我們繼續分析焦點位置在徑向的光場分布情況，獲得如下光場能量分布圖形與焦點處能量分布情況（圖4）。

從圖中我們可以看出，實際的聚焦情況與我們分析系統分析出的菲涅爾透鏡焦點情況基本完全符合。下圖為焦點處光場分布的立體圖。

五、總結

光電子學是光學和電學相結合并加以融合的技術領域，相應的實驗課在學習光電子學過程中非常重要。本文根據光電子學與光電器件實驗課程的特點以及學生在實驗過程中所面臨的問題，在教學過程中引入菲涅爾理論的應用，設計匹配實驗項目的光場分析系統，本文合理采用計算機軟件應用作為教學手段，提高授課質量，增加課程設計性實驗環節，將實驗教學與科研培訓相結合，引導學生發現并解決問題。

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