差分進化算法在傳熱反問題求解中的應用

付劍波

摘 要：本文耦合差分進化算法和數值傳熱學求解方法，發展了一種新的傳熱學反問題求解方法。以二維對流換熱反問題為例，高精度的反演了熱流密度，證明了該算法的正確性和魯棒性。考察了測量點數目對反問題求解的影響，計算表明存在一個最少測量點數，并給出了確定最少測量點數的方法。研究了測量誤差對算法的影響。結果表明該算法具有很強的抗噪能力，證明該算法具有很強的穩定性和實用性。

關鍵詞：差分進化算法；傳熱反問題；測量誤差

引言：傳熱反問題在數學上常常是的不適定性， 其求解比正問題要復雜和困難得多。傳熱反問題具有以下特點：

（1）傳熱反問題的解具有不唯一性和不穩定性的特點；（2）目標函數與優化變量之間沒有解析的函數關系式，目標函數的可微性難于保證，求解目標函數的梯度非常復雜；（3）目標函數具有多峰值、非凸函數的特點。本文采用新近發展并得到廣泛應用的差分進化算法，耦合傳熱學數值求解方法，發展了一種新的反問題求解方法，并以高溫超導實驗中平行平板管道壁面熱流密度的測量問題為例，驗證了該方法的正確性和實用性。

一、差分進化算法簡介

進化算法（Evolutionary algorithms）具有以下特點：1）尋優過程中僅利用函數本身的信息，對目標函數及約束條件的可微性、凸性沒有要求，且對各類優化問題的處理流程基本一致，具有很強的通用性；2）具有較強的全局尋優能力和優秀的魯棒性，能以較大概率收斂到全局最優解；3）采用隨機優化算子而不是嚴格的確定性運算，可直接逼近多目標優化問題；4）采用群體搜索而不是單點搜索，對初始解沒有要求。

由Storn和Price于1996年提出的差分進化算法（Differen

tial evolution，簡稱DE），是進化算法的一個重大改進，獲得了廣泛的關注。圖1是DE算法的操作流程圖。

DE算法通常采用實數編碼，與傳統的進化算法有兩點區別：1）采用差分算子代替了傳統進化算法中的交叉和變異算子；2）采用一對一選擇策略生成新的種群。設第t代中第i個染色體表示為：CHti=（chti，1，chti，2，chti，j，chti，n） （1）

圖1差分進化算法流程圖圖 2linear_quadratic問題迭代收斂史

設chtbest，t是第代最優個體，chtp，j和chtq，j是第t代隨機選出的不同個體，差分算子可表示為：

（2）

其中r是[0，1.0]之間的隨機數。DE算法操作十分簡單，在尋優過程中只需要兩個參數：定標因子F和闕值因子CR。其中F∈[0，1.0]，文中取0.85，CR∈[0，1.0]，文中取1.0。從式（2）可以看出，差分算子利用種群中多個個體的信息，正是這一特點使得

DE算法較傳統的進化算法具有更優秀的魯棒性和全局尋優能力。本文選擇linear_quadratic問題，驗證DE算法在處理多峰值、高維問題時的魯棒性和全局尋優能力。linear_quadratic問題定義為：

（3）

其中ui∈[-200，200]， i﹦1，2，…，45。該函數具有參數相互關聯的特點，優化難度相當大。對該函數，本文采用DE算法進行100次隨機試驗，圖2給出了函數優化過程的迭代收斂史。

二、傳熱反問題求解方法及應用

本文以差分進化算法為核心，耦合數值傳熱學求解技術，發展了一種適用于求解傳熱反問題全局自動求解算法。圖3是該算法的執行流程圖。

圖3 傳熱反問題求解算法流程圖

（一）數學模型。本文考慮一個平行平板的層流受迫對流的情況。其中管道的一個壁面絕熱， 而另一壁面受到隨空間變化的熱流。流體進入管道的流體溫度為T0 ，如圖4所示。

圖4 二維對流換熱問題示意圖 圖5 迭代收斂史

該問題的數學模型可表示為：

以um 表示流體的平均速度，u（y）可表示為：

一般情況是已知熱流密度q（x）求溫度分布，這就是所謂的正問題。該問題可通過數值傳熱的方法直接求解。但在工程測量和科學實驗中熱流密度往往是未知的或難以測量的，通過在管道內壁附近沿流線方向放置若干個測溫熱電偶， 可以測量得到流體溫度場的一些離散信息， 通過方程（1） 求管道壁面的熱流密度，這就是一個已知若干測量點的溫度值求解未知的邊界熱流q（x）的二維對流換熱反問題。

（二）目標函數和優化變量。本文目標函數定義為試驗測定點的溫度和給定壁面熱流條件下采用數值傳熱方法計算出該測量點的溫度的差，可表示為： fobj=■T■■-T■■ （6）

其中n為測量點的個數，Tm表示測量溫度值，Tc表示計算溫度值。該問題的優化變量為壁面熱流密度。

三、計算結果及分析

（一）參數設定。本文中給定進口流體的溫度T0=293k，平行平板管道的長的b=1.6m，間隔L=0.01m，熱電耦放置的位置為y=

0.00923m，流體參數為：ρ=845kg/m3，Cp=2200J/（kg·k），λ=0.

137W/（m·k），平均流速um=0.04m/s。假設管道壁面上方受到一個已知的正弦變化熱流：q（x）=3000 ·sin（πx/0.55）+700 （7）

并定義熱流密度計算誤差： q=■■q■■-q■■ （8）

其中n為x方向網格點數，qm表示理想溫度值，qc表示計算熱流值。在每個算例的優化過程中，DE算法中的父代個體數為200，最大計算代數為1000。溫度場求解的網格數為。

（二）算法正確性驗證。為了驗證本文提出的反問題求解算法的正確性，設定在y=0.00923m上均勻分布的51個點的計算溫度為測量溫度，進行5次獨立運算，反算熱流密度。5次獨立運算的熱流密度誤差都約等于2.2，證明了該算法的穩定性和正確性。

圖6 最優溫度變化 圖7 最優熱流變化

（三）測量點數對熱流密度的影響。本節研究測量點的數目對反問題解的影響，給出了一種確定最少測量點數目的方法，同時也研究的測量點數對解的唯一性的影響。

圖8 熱流密度誤差隨測量點的變化圖 9 最優熱流密度隨測量點的變化

圖8給出了熱流密度誤差隨測量點數目的變化，圖9給出了最優熱流密度隨測量點數目的變化。應用本文提出的傳熱反問題求解算法，通過計算熱流密度誤差隨測量點數的變化，可以確定測量點數目的最小值，為試驗測量點的敷設提供參考。

（四）測量誤差對熱流密度的影響。抗噪性能和穩定性是反問題研究關注的重要內容之一。為驗證其抗噪能力，本文假設各點溫度的測量值具有相同的標準偏差，測量點上的目標溫度值設定為在理想溫度值加上隨機的測量誤差，即：

Tmi=Tmi+r （9）

其中r是[-σ，σ]之間的隨機數。圖10給出了在y=

0.00923m上均勻分布的34個點的計算溫度為測量溫度，分別取0.1，0.5，1.0時的最優溫度分布和最優熱流分布。

從圖中可以看出，隨著測量誤差的增大，反算的熱流密度誤差隨之增大。但在時求得的熱流密度能基本反映輸入熱流密度的特征，表明該算法有很強的抗噪能力。

四、結論

1）本文耦合差分進化算法和數值傳熱學求解方法，發展了一種新的傳熱學反問題求解方法。以二維對流換熱反問題為例，以理想的計算溫度為測量溫度，5次獨立運算均能高精度的反演熱流密度，證明了該算法的正確性和魯棒性。2）考察了測量點數目對反問題求解的影響，計算表明存在一個最少測量點數，當測量點的數目大于這個最小值時，測量點數對熱流密度的計算精度影響不大，但當測量點的數目小于這個最小值時，熱流密度誤差急劇增加。給出了確定最少測量點數的方法。

3）研究了測量誤差對反問題解的影響。計算表明，該算法具有很強的抗噪能力。表明該算法具有很強的穩定性和實用性。

參考文獻：

[1] Beck J V ， Blackwell B ， Haji2Sheikh A. Comparison of inverse heat conduction methods using experimental data [J] . International Journal of Heat Mass Transfer， 1996 ，39 （17） ：3649 - 3657.

[2] Hrstka O. A Competitive Comparison of Different Types of Evolutionary Algorithms， Computers & Structures， 2003.