歐拉公式在含參量積分中的應用

何其祥

摘要：歐拉公式是復變函數里一個著名而又簡單的公式，它將定義和形式完全不同的指數函數與三角函數聯系起來，為我們研究這兩種函數的有關運算及其應用性質架起了一座橋梁，特別是對某些類型的積分很是實用。本文將通過實例介紹了該公式在含參量積分中的應用，歐拉公式的應用可以大大簡化計算的復雜性。

關鍵詞：歐拉公式；三角函數；積分；含參量積分

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）15-0149-02

一、引言

1748年，歐拉在其著作中陳述出公式：eix=cosx+isinx，其中x為任意實數，i為虛數單位。這就是著名而又簡單的歐拉公式，它自于復指數函數。可以容易得到如下公式：

該公式給出了指數函數與實三角函數的聯系，從而就有了在某些含三角函數的積分中應用此公式把積分變為指數函數的積分的可能，并能使計算簡化，先看下例。

從上例中，我們可以看出用歐拉公式的來計算積分比直接采用分部積分進行計算更為簡便。此外，該公式在含參量積分中有許多應用。

二、歐拉公式在含參量積分中的應用

1.含參量正常積分。

例2.計算含參變量積分。

于是有：

可以看出，本例中先引入含參量正常積分，再通過交換積分次序后利用歐拉公式一下算出兩個積分，也要比用分部積分法簡單。

2.含參量反常積分。有些反常積分同樣可以利用歐拉公式計算，可以使計算簡化。

例3.計算含參變量反常積分。

三、小結

從以上例子可以看出歐拉公式可以用來計算一部分含參量的積分，并能使計算大大簡化。當然，歐拉公式也可以用來計算一般的定積分、不定積分等，這里不再贅述。

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