淺論復變函數論的教學方法

王朝

摘要：針對高等院校復變函數論的教學現狀，結合自身的教學體會，提出了“引入、對比、反例、總結”式的教學方法。

關鍵詞：復變函數論；引入式教學；對比式教學；反例式教學；總結式教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）04-0145-02

復變函數論是高等院校數學專業的一門重要基礎課程。作為數學分析的后續課程，該課程的教學對數學專業學生的培養起著重要作用，它在數學其他分支、力學、工程學等領域中有著廣泛的應用。本文根據筆者自身關于復變函數論課程的教學實踐和體會，對“引入、對比、反例、總結”幾種教學方法略作芻議。

一、采用引入式教學方法

古語說“溫故而知新”，在教授新的理論時，要以已知理論為基礎。復變函數是數學分析中實變函數論在復數域內的推廣，其主要研究復數域上的解析函數。在課堂講授中，應該以實變函數的理論為源頭，引入復變函數的相關理論。例如，基于復數z=x+iy與復平面上的點（x，y）的一一對應關系，復變函數w=f（z）（其中w=u+iv）的定義可以由兩個二元實變函數引入，即f（z）=u（x，y）+iv（x，y）。具體到一些簡單函數，比如講授復變函數中正弦函數sinz的定義時，如何來確定此時的u（x，y）和v（x，y）的形式。應該首先考慮數學分析中正弦函數sinx的一系列性質（比如：周期性、奇偶性、連續性、可微性等）。在符合：①sinx是sinz限制在x軸上的表示，②sinz盡量滿足sinx具有的性質，這兩個條件的前提之下，確定u（x，y）=excosy和v（x，y）=exsiny，即sinz=ex（cosy+isiny）。該結構是sinx在復平面內的最有效的推廣。

二、結合對比式教學方法

三、嵌入反例式教學方法

四、注重總結式教學方法

復變函數論課程中概念、方法和定理眾多，這給教學帶來一定的難度。因此在教學過程中，引導學生對復變函數的相關內容進行歸納總結是非常有必要的。比如，在講授完復變函數積分理論以后，可以將求復積分的方法總結為如下幾種。

另外，要注意到方法1～3一般用于求解積分曲線是非閉的積分；方法4～6適用于求解積分曲線是簡單閉曲線的積分。照上述的總結，可以快速、準確地求解各類復積分。具體的例子在相關文獻中已有討論。

總之，在復變函數論的課堂教學中，應充分利用“引入、對比、反例、總結”式的教學方法，積極調動學生學習的積極性和主動性，不斷完善教學計劃和內容，這樣才能提高復變函數論課程的教學質量。

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