n（3?RPS）混聯機構靜力學和剛度模型

胡 波，宋春曉，王安東，崔 鶴，李 博，于晶晶

（1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北秦皇島066004；2.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室（燕山大學），河北秦皇島066004）

n（3?RPS）混聯機構靜力學和剛度模型

胡 波1，2，?，宋春曉1，2，王安東1，2，崔 鶴1，2，李 博1，2，于晶晶1，2

（1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北秦皇島066004；2.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室（燕山大學），河北秦皇島066004）

建立了一種混聯機構n（3?RPS）的靜力學和剛度模型。首先，基于這類機構運動特性分析了n（3?RPS）機構的速度傳遞關系。其次，基于虛功原理建立了n（3?RPS）機構的靜力學模型。最后，建立了n（3?RPS）機構的剛度模型，求取了n（3?RPS）機構的變形。為驗證機構剛度和變形模型的正確性，建立了2（3?RPS）機構和3（3?RPS）機構的有限元分析模型并進行仿真，研究結果表明計算結果和有限元仿真結果基本一致。本文中建立n（3?RPS）機構剛度的方法也適合其它混聯機構。

混聯機構；靜力學；剛度；變形

0 引言

近幾十年來，并聯機構引起了國內外學者的廣泛研究，新機構不斷涌現［1?3］，并聯機構的一些基本理論體系已經初步建立。然而，和并聯機構相比，混聯機構的研究卻相對較少，這里所指的混聯機構是由兩個或多個并聯機構串聯而成的機構。這類機構兼具串聯和并聯機構的共同優點，相對并聯機構具有較大的工作空間和活動能力，相對串聯機構具有較強的剛度，可用作鍛造機混聯操作手、仿生機器人、微納加工機器人等機械本體［1］。在該領域，HU和LU［4］研究了由一個3?RPS機構和一個3?SPR機構構成的混聯機構的運動學問題。JAIME［5］研究了2（3?RPS）混聯機構的自由度問題。Zeng［6］對這類機構開展了型綜合研究。在并聯機構的剛度研究方面，國內外學者也做了很多工作，GOSSELIN［7］建立了只考慮驅動因素的剛度模型，TSAI［8］分析和比較了Tricept機構和3?UPU機構的剛度模型。Klimchika［9］研究了內力和外力共同作用下的并聯機構剛度模型，ZHANG［10］采用建立的運動靜力學模型分析機構剛度。李劍鋒等［11］對具有大位置空間的2PUS?PU并聯機構剛度進行了分析。對于由并聯機構串聯而成的混聯機構的研究一直很緩慢，且針對這類機構研究也多停留在由兩個并聯機構串聯而成的機型上［4?6］。對于由任意個并聯機構串聯而成的機構，理論研究相對滯后。基于此，本文致力于建立由n個少自由度3?RPS并聯機構串聯得到的混聯機構n（3?RPS）的靜力學和剛度模型。針對該機構建立的理論模型同樣適合于其他混聯機構。

1 n（3?RPS）機構介紹

本文所研究的n（3?RPS）機構是由n個具有相同構型的3?RPS機構串聯而成的機構。第i（i＝2，…，n）個3?RPS機構的下平臺和第 i－1個3?RPS機構的上平臺共面，尺寸相同，并且中心重合。第i個3?RPS機構的下平臺相對于第i－1個3?RPS機構的上平臺逆時針旋轉（－1）i60°。圖1為一個由3個3?RPS機構組成的3（3?RPS）混聯機構的機構簡圖。

圖1 3（3?RPS）機構簡圖Fig.1 Sketch of 3（3?RPS）manipulator

n（3?RPS）機構的第i個3?RPS機構有1個下平臺ni0，1個上平臺ni1和3個RPS分支rij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，3）。ni0和ni1都是等邊三角形，其中下平臺ni0中心到其各端點的距離為Li，上平臺ni1中心到其各端點的距離為li。rij通過球副S連接上平臺ni1于Bij點，通過轉動副R與下平臺連接于Aij，rij垂直于其對應的R副。沿著rij有1個移動副P。則ni0可視為基座，ni1可視為該混聯機構的末端平臺。

規定第i（i＝1，2，…，n）個3?RPS機構的上平臺中心為oi，則其下平臺中心為oi－1，第1個3?RPS機構的下平臺中心為o0。規定｛ni0｝為以各機構下平臺中心oi－1（i＝1，2，…，n）為原點建立的坐標系oi－1?XiYiZi，｛ni1｝為以各機構上平臺中心oi為原點建立的坐標系oi－xiyizi（i＝1，2，…，n）。坐標軸滿足（Xi∥Ai1Ai3，Yi⊥Ai1Ai3，Zi⊥Xi，Zi⊥Yi，xi∥Bi1Bi3，yi⊥Bi1Bi3，zi⊥xi，zi⊥yi）。

2 n（3?RPS）機構的速度傳遞關系

n（3?RPS）機構第i個3?RPS機構下平臺各端點Aij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，3）在坐標系｛ni0｝中的坐標為

端點Bij在｛ni0｝中的坐標表達如下

由文獻［12］知，對于單個的3?RPS機構，當分別給定第i個3?RPS機構上平臺相對于下平臺的獨立位姿參數為αi、βi、Zoi時（其中αi、βi為上平臺相于下平臺旋轉的歐拉角，在文獻［12］中用來表達上平臺相對于下平臺的姿態，Zoi為上平臺中心相對于下平臺的坐標），上機構和下機構的桿長rij可由下式求出：

由于第i個3?RPS機構的下平臺相對于第i－1個3?RPS機構的上平臺逆時針旋轉了60°，可得坐標系｛ni0｝相對于｛n（i－1）1｝的旋轉矩陣為

其中，θ＝60°×（－1）i－1，i＞1。

末端平臺相對于基座的旋轉矩陣可表達為

末端平臺相對于靜平臺的角速度可表達為

設有任意兩矢量m＝［mxmymz］T，n＝［nxnynz］T，

則兩矢量及S（m）滿足

對式（7）求導，并結合（10）可得

其中，n≥2，結合式（9），（11）可得

3 n（3?RPS）機構靜力和剛度模型

對于第i個3?RPS機構，有

式中，Ji為第i個3?RPS機構的反解Jacobian矩陣。υrij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，3）為沿著rrij的速度。結合式（12）和虛功原理可得

式中，Frij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，3）是第i個3?RPS機構中的沿著rij的驅動力。Fpij是第i個3?RPS機構中的過 rij上的球副平行于該分支 R副的約束力［12］。

由式（14），可得

由式（15）可得

令Frij產生的拉伸變形為δdrij，可得

Fpij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，3）在RPS分支上產生撓度變形（圖2），設 δdpij為 Fpij產生的撓度變形，有

圖2 約束力在RPS分支上產生的變形Fig.1 The deformation produced by constrained force for RPS leg

由式（17）、式（18），可得

其中，

基于變形體的虛功原理，可得

式中，ρ為末端平臺的六維變形。由式（20），可得

結合式（16），（19）和（21），可得

4 數值算例

4.1 n（3?RPS）機構靜力和剛度計算

分別以2（3?RPS）和3（3?RPS）機構為研究對象進行數值計算。機構中各獨立3?RPS機構的結構尺寸參數如表1所示。其中3（3?RPS）機構的第1、2獨立機構與2（3?RPS）機構的第1、2獨立機構尺寸相同。

給定兩機構末端負載為AFod＝［－20－30－60］TN，ATod＝［0 0 0］TN·m。機構靜力學計算結果如表2所示。

表1 第i個獨立3?RPS機構尺寸參數Tab.1 Structure parameters of the i?th single 3?RPS manpulators

表2 2（3?RPS）和3（3?RPS）機構所受驅動力和約束力Tab.2 Active force and constraint force of the 2（3?RPS）and 3（3?RPS）manipulators

各機構的一些相關參數為Sij＝7.065×10－4m2，E＝2.11×1011N／m2，I＝1.256×10－7m4。2（3?RPS）機構和3（3?RPS）中主動力產生的沿驅動桿的拉伸變形和約束力產生的撓度變形如表3所示。

表3 2（3?RPS）機構和3（3?RPS）機構的分支變形Tab.3 The leg deformations of the 2（3?RPS）and 3（3?RPS）manipulators

2（3?RPS）機構和3（3?RPS）機構末端六維變形如表4所示。

表4 2（3?RPS）機構和3（3?RPS）機構末端六維變形Tab.4 Deformations of the terminal platform of the 2（3?RPS）and 3（3?RPS）manipulators

4．2 n（3?RPS）機構有限元模型

為驗證模型的有效性，建立兩機構的有限元模型，在SolidWork軟件中構造2（3?RPS）和3（3?RPS）機構的3維實體模型，兩機構的尺寸參數和材料特性按照理論計算部分相應的參數設置，采用軟件系統默認的網格劃分，運行得到結果如圖3和4所示。

圖3 2（3?RPS）機構有限元模擬結果Fig.3 Solved results of elastic deformations of 2（3?RPS）FE model

圖4 3（3?RPS）機構有限元模擬結果Fig.4 Solved results of elastic deformations of 3（3?RPS）FE model

表5、表6是2（3?RPS）機構和3（3?RPS）機構末端變形的理論計算結果和有限元結果的對比。

表5 2（3?RPS）機構變形的計算結果和有限元結果對比Tab.6 Comparison of the deformation between the analytical result and the finite element model result for 2（3?RPS）manipulator

表6 3（3?RPS）機構變形的計算結果和有限元結果對比Tab.6 Comparison of the deformation between the analytical result and the finite element model result for 3（3?RPS）manipulator

有限元模擬結果和網格劃分、邊界條件、加載方式等有關，因此有限元模擬得到的結果只是一個近似的結果。通過對比表明，理論模型得到的機構末端3個方向的變形結果和有限元模擬結果基本一致。由此，仿真結果充分驗證了剛度模型的正確性。

5 結論

1）對n（3?RPS）混聯機構的速度傳遞關系進行了分析，為剛度模型建立奠定了基礎性工作。

2）對n（3?RPS）混聯機構來說，分支中存在拉伸變形和撓度變形，這些變形對機構末端的變形都有影響，機構的剛度矩陣為一6×6對稱矩陣。

3）由于考慮了約束反力的因素，這種建立剛度模型的方法更符合實際，剛度模型的結果已經得到有限元驗證，本文中的方法也適合其它混聯機構。

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Statics and stiffness model of n（3?RPS）serial?parallel manipulators

HU Bo1，2，SONG Chun?xiao1，2，WANG An?dong1，2，CUI He1，2，LI Bo1，2，YU Jing?jing1，2
（1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；2.Key Laboratory of Advanced Forging＆Stamping Technology and Science（Yanshan University），Ministry of Education of China，Qinhuangdao，Hebei 066004，China）

A statics and stiffness model of the n（3?RPS）serial?parallel manipulator is established.First，the transfer relation of ve?locity for the n（3?RPS）serial?parallel manipulator is analyzed based on the kinematics property.Second，the statics of n（3?RPS）serial?parallel manipulator is solved based on the principle of virtual work.Third，the stiffness model of the n（3?RPS）serial?parallel manipulator is established，and the deformation of this serial?parallel manipulator is solved.The finite element（FE）models of 2（3?RPS）and 3（3?RPS）serial?parallel manipulators are established，and the validity of the analytic model is verified by the simulation results.The methodology for establishing stiffness model of n（3?RPS）serial?parallel manipulator is also suitable for other serial?par?allel manipulators.

serial?parallel manipulator；statics；stiffness；deformation

TH112

A

10．3969／j．issn．1007?791X．2015．05．004

1007?791X（2015）05?0408?06

2014?10?27 基金項目：國家自然科學基金資助項目（51305382）；河北省高等學校科學技術研究優秀青年基金資助項目（YQ2013011）；燕山大學“新銳人才”工程支持計劃項目

?胡波（1982?），男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要研究方向為并聯機器人理論，Email：hubo＠ysu.edu.cn。