旋轉運動導電圓板磁彈性振動分析

李 哲，胡宇達，姚臻臻

（1.燕山大學建筑工程與力學學院，河北秦皇島066004；2.燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北秦皇島066004）

旋轉運動導電圓板磁彈性振動分析

李 哲，胡宇達?，姚臻臻

（1.燕山大學建筑工程與力學學院，河北秦皇島066004；2.燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北秦皇島066004）

研究了磁場中旋轉運動導電薄板在外激勵作用下的強迫振動問題。在給出動能、應變能和電磁能表達式的基礎上，根據哈密頓原理導出旋轉圓板在磁場中橫向載荷作用下的軸對稱磁彈性振動方程。假設位移函數并運用分離變量法分離時間變量和空間變量，應用伽遼金積分法，得到激勵作用下圓板的強迫振動微分方程并求解。通過數值計算得到簡支和固支兩種邊界條件下的幅頻曲線和相軌跡圖，分析磁感應強度、圓板的厚度、半徑和轉速的變化對振動的影響。

磁彈性；旋轉圓板；振動；軸對稱；伽遼金法

0 引言

在現代高新技術工程領域中，導電導磁類構件在航空航天、核工業、發動機、電磁傳感器等裝置中有著廣泛的應用。處于磁場環境下的導電圓板、圓環板因受到電、力、磁等多場耦合作用，其運動行為較為復雜。目前許多學者對旋轉導電圓板研究并取得了一些成果。Bauer H F等［1］研究了不同邊界條件下等厚度旋轉圓板的振動問題。Touzé C等［2］應用多尺度法計算自由邊界圓板的強迫振動問題。Mu T R［3］分析了復合材料圓板的強迫振動問題，運用瑞利?里茲法給出了強迫振動的近似解并進行數值分析。Celep Z等［4］對Winkler支撐的剛性圓板強迫振動進行了分析。Xiang Y等［5］針對階梯圓板在不同邊界條件和參數下的自由振動進行了大量研究。Allahverdizadeh A等［6］分析了功能梯度圓板的自由振動和強迫振動。Dong C Y［7］運用切比雪夫?里茲法對圓板的電彈性和磁彈性振動進行了研究，并針對不同材料進行了計算和分析。余水豐等［8］針對周期均布載荷作用下軸對稱變厚度圓板的非線性強迫振動進行了分析，用小參數攝動法對振動方程進行了求解。胡宇達等［9?11］對磁場中的圓形、矩形板的強迫振動及自由振動進行了研究，得到了很多的研究成果。賈乃文等［12］運用分離變量法分析了剛／粘塑型圓板的強迫振動并給出了振動時的撓度與內力解。徐旭等［13］針對厚圓板的軸對稱振動進行了研究，求解了厚圓板在固支和簡支條件下的對稱與反對稱的自由振動問題。杜國君等［14］針對階梯圓板和環板運用修正迭代法對大撓度振動問題進行了研究。王晉瑩等［15］推導出了具有初撓度圓板的振動方程并運用伽遼金法和攝動法求解出振動的周期解。本文得到旋轉圓板的磁彈性軸對稱強迫振動方程并對其求解，針對周邊簡支和夾支兩種邊界條件下的圓板，繪制幅頻曲線并分析磁感應強度、圓板半徑和厚度變化對振動的影響。

1 旋轉圓板磁彈性振動方程

1.1 動能與勢能

對于在磁場中做旋轉運動的圓形薄板，設薄板內任意一點的位移矢量在柱坐標系3個方向的分量為

式中，ur、uθ為薄板的中面位移；w為薄板的橫向位移；和為轉角位移；r、θ、z分別為徑向、環向和法向坐標；t為時間變量。

根據式（1）～（3），通過求導運算，得到旋轉運動薄板的速度分量表達式：

旋轉運動薄板由彎曲變形引起的形變勢能Uε1表達式為

旋轉運動薄板的中面應變勢能為

式中，Mr、Mθ為彎矩；Mrθ為扭矩；κr、κθ為曲率；κrθ為扭率；Nr、Nθ、Nrθ為中面內力；εr、εθ、γrθ為中面應變。

1.2 哈密頓原理建立振動方程

根據哈密頓原理，在固定時刻t0和t1上積分：

將式（5）～（7）代入式（8）中，并考慮軸對稱振動問題，經過變分運算，推得旋轉運動圓形薄板的磁彈性軸對稱振動方程：

1.3 電磁力表達式

在磁場中做旋轉運動的薄板將受到洛侖茲力的作用，薄板單位體積內電磁力表達式為

其中，J＝σ0（e＋V×B）；e為電場強度矢量；V為板內各點速度矢量；σ0為電導率。

對式（11）沿板厚方向積分，忽略電場強度的影響，可得到式（9）和（10）中薄板所受電磁力和力矩的表達式為

2 橫向磁場中旋轉運動圓板的強迫振動

2.1 圓板軸對稱強迫振動微分方程

針對在橫向磁場環境中的旋轉運動圓板，將對應的動能、彎矩內力、中面內力和電磁力、電磁力矩表達式帶入到振動方程（10）中，得到旋轉運動薄板關于橫向撓度的磁彈性軸對稱振動方程：

設滿足邊界條件的位移解為如下展開形式：

其中，R為圓板半徑。系數選取為：周邊夾支約束情況取 C1＝－2、C2＝1；周邊簡支約束情況取

將式（16）代入到式（15）中，應用伽遼金法進行積分，得到激勵作用下圓板的強迫振動微分方程：

2.2 圓板強迫振動微分方程求解

給定激勵力Pz＝q0sin（ωt），q0為激勵力幅，ω為激勵力頻率。則振動微分方程化為

其中，系數b＝b2／b1，無阻尼固有頻率＝b1／b4。

振動方程（19）的一個特解為

其中，振幅A＝βqst；放大因子響應與激勵的相位差；頻率比

3 算例分析

針對鋁制圓板磁彈性強迫振動問題計算分析。主要參數：密度ρ＝2 670 kg／m3；半徑R＝0.5 m；板厚h＝16 mm；電導率σ0＝3.63×107（Ω·m）－1；泊松比μ＝0.34；彈性模量E＝71 GPa。

圖1可以得到在兩種邊界條件下放大因子隨頻率比的變化規律：當s＜1時，放大因子呈上升趨勢；s＞1時，放大因子呈下降趨勢；當s＝1時，系統激勵頻率接近固有頻率，放大因子迅速增大，系統發生共振，由于存在阻尼，最大值在s＝1偏左處；當s＝0時，放大因子β＝1，即激勵頻率遠小于系統固有頻率時，系統的響應振幅近似等于系統的靜位移；當s→∞時，放大因子β→0，即激勵力頻率遠大于系統固有頻率時，振幅趨近于0。當頻率比一定時，隨著磁感應強度的增加，放大因子隨之減小。在相同條件下，簡支邊界圓板的振幅比固支邊界圓板的振幅小。

圖2～4可以得到圓板在不同邊界條件下，放大因子在不同參數變化時的曲線圖。圖2可以得出，板厚一定時，放大因子隨著轉速的增加而減小；轉速一定時，隨著板厚增加到某一值時，放大因子迅速增加，進入共振區域；隨著板厚的繼續增加，放大因子迅速減小并趨近于0。圖3可以得到，當磁感應強度比較小時，兩種邊界條件下圓板出現共振區域；當磁感應強度不斷增加時共振峰值逐漸減小最后變化平緩。當圓板半徑一定時，兩種邊界條件下放大因子隨著磁感應強度的增加而隨之減小。圖4可以得到在簡支邊界條件下，放大因子隨著圓板轉速的增加而減小。在固支邊界條件下隨著磁感應強度的增加，不同轉速的曲線出現交叉點，當磁感應強度取值小于交叉點時，放大因子隨著轉速的增加而減加；當磁感應強度取值大于交叉點時， 放大因子隨著轉速的增加而減小。

圖1 磁感應強度變化幅頻曲線圖Fig.1 Curve of amplitude?frequency with different magnetic induction intensity

圖2 不同邊界條件下圓板的放大因子?轉速?板厚圖（B0z＝4 T、ω＝200 rad／s）Fig.2 Curve of amplification factor?rotation speed?plate thickness with different boundary conditions（B0z＝4 T、ω＝200 rad／s）

圖3 不同磁感應強度下放大因子?半徑曲線圖（n＝9 000 r／min、ω＝200 rad／s）Fig.3 Charactertic curve of amplification factor?radius with different magnetic induction intensity（n＝9 000 r／min、ω＝200 rad／s）

圖5～7為兩種邊界條件下的不同參數對應的相軌跡圖，可以得到在頻率比一定時，兩種邊界條件下圓板的振幅隨著磁感應強度和板厚的增大而減小、隨著轉速的增加而增加。相同激勵時簡支邊界圓板的振幅比固支邊界圓板的振幅大。對于兩種邊界條件可以看出，板厚的變化對振動影響最大。

圖4 不同轉速下放大因子?磁感應強度特性曲線圖（h＝8 mm、ω＝200 rad／s）Fig.4 Charactertic curve of amplification factor?magnetic induction intensity with different rotation speed（h＝8 mm、ω＝200 rad／s）

圖5 不同磁感應強度下相軌跡圖（n＝9 000 r／min、ω＝250 rad／s、h＝10 mm）Fig.5 Phase trajectory with different magnetic induction intensity（n＝9 000 r／min、ω＝250 rad／s、h＝10 mm）

圖6 不同轉速下相軌跡圖（B0z＝4 T、ω＝100 rad／s、h＝100 mm）Fig.6 Phase trajectory with different rotation speed（B0z＝4 T、ω＝100 rad／s、h＝100 mm）

圖7 不同板厚的相軌跡圖（B0z＝4 T、ω＝100 rad／s、n＝9 000 r／min）Fig.7 Phase trajectory with different plate thickness（B0z＝4 T、ω＝100 rad／s、n＝9 000 r／min）

4 結論

1）導出了旋轉運動圓板在橫向磁場中的強迫振動方程并對其求解。

2）數值計算結果得到：a）畫出幅頻曲線圖，給出了不同磁感應強度下放大因子與頻率比的關系，得到了系統的共振區域；b）給出放大因子與板厚、半徑和轉速的關系，并得到了在不同轉速和半徑條件下放大因子與磁感應強度的關系；c）通過相軌跡圖給出了振幅與磁感應強度、轉速和板厚的關系，其中板厚對系統振動影響最大。

［1］Bauer H F，Eidel W.Transverse vibration and stability of spinning circular plates of constant thickness and different boundary condi?tions［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，300（3／5）：877?895.

［2］Touzé C，Thomas O，Chaigne A.Asymmetric non?linear forced vibrations of free?edge circular plates.part1：theory［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，258（4）：649?676.

［3］Mu T R.Forced vibration of the two?layer piezoceramic and metal composite thin circular plate with different diameter for each layer［J］.Chinese Journal of Acoustics，1983，2（3）：229?243.

［4］Celep Z，Gen?o lu M.Forced vibrations of a rigid circular plate on a tensionless Winkler edge support［J］.Journal of Sound and Vibra?tion，2003，263（4）：945?953.

［5］Xiang Y，Zhang L.Free vibration analysis of stepped circular Mindlin plates［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，280（3／5）：633?655.

［6］Allahverdizadeh A，Naei M H，Bahrami M N.Nonlinear free and forced vibration analysis of thin circular functionally graded plates［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，310（4／5）：966?984.

［7］Dong C Y.Vibration of electro?elastic versus magneto?elastic circu?lar／annular plates using the Chebyshev?Ritz method［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，317（1／2）：219?235.

［8］余水豐，夏永旭.變厚度圓板的非線性強迫振動［J］.上海力學，1992，13（3）：59?66.

［9］胡宇達，杜國君.磁場環境下導電圓形薄板的磁彈性強迫振動［J］.工程力學，2007，24（7）：184?188.

［10］胡宇達，孫建濤.磁場中軸向運動導電薄板的強迫振動分析［J］.應用力學學報，2013，30（3）：339?343.

［11］胡宇達，徐耀玲，白象忠.橫向磁場中圓板的軸對稱振動［J］.振動與沖擊，1998，17（4）：71?74.

［12］賈乃文，余華昌.剛／粘塑性圓板的強迫振動［J］.振動與沖擊，1999，18（2）：65?68.

［13］徐旭，何福保.厚圓板軸對稱振動的彈性力學解［J］.力學季刊，2000，21（1）：59?65.

［14］杜國君，胡宇達.階梯圓形和環形薄板的大幅度基本振動［J］.應用力學學報，1998，15（1）：71?78.

［15］王晉瑩，陳科進.具有初撓度的柔韌圓板的振動問題［J］.應用數學和力學，1993，14（2）：165?171.

Forced oscillation of conductive rotating circular plate in magnetic field

LI Zhe1，2，HU Yu?da1，2，YAO Zhen?zhen1，2
（1.School of Civil Engineering and Mechanics，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；2.Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures of Hebei Province，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China）

Forced oscillation of a conductive rotation thin circular plate under external excitation in magnetic field is investigated.By using Hamilton principle，the magneto?elastic vibration equations of a conductive rotating thin circular plate are deduced under the ac?tion of transverse load with the expressions of kinetic energy and strain energy considered.According to the set of a displacement func?tion and the separation of time and spatial variables with the method of separation of variables，forced oscillation differential equation with the load is obtained and solved through the application of Galerkin integral method.The amplitude?frequency and phase trajectory curves are obtained with fixed and simply supported boundary condition through the numerical calculation，the stability.The influence of magnetic induction intensity，rotation speed，plate thickness and radius on the vibration of the spinning plate are analyzed finally. Key words：magneto?elastic；forced oscillation；round plate；axial symmetry；Galerkin integral method

O442；O327

A

10．3969／j．issn．1007?791X．2015．05．014

1007?791X（2015）05?0464?07

2015?07?07 基金項目：國家自然科學基金資助項目（11472239）；河北省自然科學基金資助項目（A2015203023）；河北省高等學校科學技術研究重點項目（ZD20131055）

李哲（1990?），男，黑龍江鐵力人，博士研究生，主要研究方向為磁彈性動力學；?通信作者：胡宇達（1968?），男，黑龍江牡丹江人，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為非線性振動、磁彈性力學等，Email：huyuda03＠163.com。