不確定非線性系統SISO的綜合終端滑模跟蹤控制器及擴展狀態觀測器

鐘曉珠，馬躍超，劉金憲，邢海龍，王知力

（1.河北科技學院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學理學院，河北秦皇島066004；3.青島農業大學信息與科學學院，山東青島266109）

不確定非線性系統SISO的綜合終端滑模跟蹤控制器及擴展狀態觀測器

鐘曉珠1，馬躍超2，?，劉金憲1，邢海龍3，王知力1

（1.河北科技學院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學理學院，河北秦皇島066004；3.青島農業大學信息與科學學院，山東青島266109）

對帶有線性動力學性能和非線性動力學性能及帶有系統內部不確定因素和外界擾動因素的單輸入單輸出系統，本文給出了終端滑模跟蹤控制方法。由于該系統狀態難以測量，本文將系統內部未知的復雜非線性動力學因素及系統外界擾動因素統稱為“總擾動”，并視其為系統模型的增廣狀態。該增廣狀態及系統狀態可以通過一個線性擴展狀態觀測器同步評估出來。本方法的特點是設計這樣一個觀測器以保證近似誤差一致最終有界于一個半徑為設計參數的函數的球內，該球半徑可以通過優化設計參數達到任意小的程度。基于所設計的線性擴展狀態觀測器的輸出，文中給出了保證系統輸出密切跟蹤所需信號的終端滑模控制器，數值模擬的結果表明所給出的控制器是有效的。

滑模控制；擴展狀態觀測器；非線性系統；一致最終有界

0 引言

在過去的幾十年里，各種不確定非線性系統魯棒控制技術已得到快速發展。在這些魯棒控制方法中，滑模控制（SMC）技術對于具有內部不確定性及外界擾動性的系統具有良好的魯棒性［1?7］。由于強勁的魯棒性，SMC技術被廣泛用來改進很多實際系統的性能，例如諧波振蕩器［8］、倒立擺系統［9］、雙罐系統［10］等。近年來，由于終端滑模跟蹤控制方法可在有限時間內使系統狀態達到平衡，從而吸引了眾多學者的關注。文獻［11］對單輸入單輸出（SISO）非線性系統，將快速終端動力學技術用于改進滑模控制性能。文獻［12］研究了多輸入多輸出（MIMO）線性系統的終端滑模控制（TSMC）方法。文獻［13］對于不確定多輸入線性系統提出了帶終端滑模的變結構控制設計方法。應用TSMC方法，文獻［14］研究了帶時滯的非線性系統的輸出調節方法。

然而，通常只有當系統的所有線性及非線性動力學性能已知的情況下，基本的滑模控制律才是可實現的。由于在實際中某些線性及非線性系統動力學性能通常是未知的，因而基本滑模控制難以直接應用到具有未知函數性能的非線性系統上。有鑒于此，近些年，對于非線性不確定系統，人們研究了綜合各種不同評估技術的SMC方法。該綜合控制方法應用某些評估技術以逼近系統未知動力學性能，逼近模型內部的不確定性能及模型外界擾動因素，基于這些估值則可設計出系統的SMC律。擾動觀測器（DO）及模糊邏輯系統常被用做評估手段。對于具有擾動影響的非線性系統，文獻［1 5］研究了基于控制的擾動觀測器（DOBC）及TSMC。文獻［16］提出了基于擾動觀測器的一類不確定非線性系統的滑模控制方法，利用模糊邏輯系統逼近未知系統函數。文獻［17］對一類具不確定性因素及外界擾動因素的SISO非線性系統，給出了一種自適應模糊滑模控制器，該控制器融合了一個魯棒積分控制律。然而，這些方法都要求系統狀態是可觀測的。當多變量系統狀態無法觀測時，研究不確定非線性系統的SMC問題就變得更具挑戰性。

眾所周知，擴展狀態觀測器具有很多良好的性質，諸如只要求系統模型很少的信息量，并能緊密跟蹤系統的外界擾動影響及系統狀態信息［18?23］。本文針對SISO非線性系統，研究了結合線性擴展狀態觀測器（LESO）的終端滑模跟蹤控制方法。該系統模型具有已知的線性動力學性能、未知的非線性動力學性能以及模型內部的不確定因素和外界擾動影響因素，并且系統狀態難以測量。所有這些因素被視為系統的“總擾動”，而本文方法主要特點是設計一個LESO用來評估系統“總擾動”及系統狀態。對“總擾動”的評估值用以反饋補償系統，以達到系統擾動的衰減與消除，從而將原系統轉化為一個線性系統。因而應用TSMC律設計生成一個線性系統以保證系統輸出緊密跟蹤所需信號。

1 問題的導出

考慮下述SISO非線性不確定系統

此處，b1，b2，…，bn及 g是已知實常數，u∈R及y∈R分別是輸入及輸出。未知函數f（·）表示復雜非線性動力學性質，函數Δb1，Δb2，…，Δbn－1及Δbn是模型的不確定性質，函數w是未知的外界擾動。記

W（t）＝Δb1x＋Δb2x′＋…＋Δbnx（n－1）＋f（·）＋w， W（t）被視為系統（1）的總擾動。對系統（1）引入下述假設。

假設：未知函數 w是連續可微的，記W·＝h。所有u，W，h及系統（1）的解是有界的，對于t≥0有｜h｜≤ρ，ρ是已知常數。

方程（1）用狀態空間形式改寫為

假設系統狀態是難以測量的，假定非線性系統（2）是可控的，輸入u是有界的，輸入增益g是非零的，因此不失一般性設g＞0。控制目的是設計終端滑模控制器，使得系統輸出y緊密跟蹤當前模型不確定性和外部擾動所生成的信號yd。

為了設計SISO不確定非線性系統（1）的終端滑模控制器，引入下述引理。

引理1［12］假設存在一個連續正定函數V（t）使得：V·（t）＋αV（t）＋λVγ（t）≤0對于?t＞0，則V（t）在有限時間內收斂于平衡點

2 LESO設計及收斂性分析

令xn＋1（t）＝W（t）是（2）的擴展狀態，相應的擴展系統（2）如下：

此處x＝（x1x2… xn＋1）T∈Rn＋1表示擴展系統狀態向量。上述擴展系統矩陣形式如下：

系統（3）的LESO如下：

增益參數a1，a2，…，an，an＋1及ε要滿足

其中，P及Q是對稱正定矩陣。

注1此處LESO（4）的參數矩陣不同于文獻［21］中的矩陣。此外選擇總擾動

作為擴展狀態，即xn＋1（t）＝W（t）。所以該擴展狀態并不包含已知線性動力學性能項b1x＋b2x′＋…＋bnx（n－1）。這一跟蹤技術完全不同于文獻［21］及［22］中給出的典型的ESO方法。引入觀測誤差Z＝（z1z2… zn＋1）T，其中，zi＝xi－i，i＝1，2，…，n＋1。由（3）減去（4）得到誤差動力學系統如下：

定理1考慮滿足假設（1）的系統（6）的誤差，方程（6）的解Z：［t0t1］?Rn＋1，Z（t0）＝Z0是一致最終有界的，其最終上界是 κ（ε）＝即對任何0＜ε＜1，有｜｜Z｜｜≤κ（ε），?t≥tf（ε），此處

是帶有正常數v0的有限時間，v0與ε無關，與初始值有關。

由此，所有的ηi，i＝1，…，n＋1滿足下述所有微分方程

另一方面，如果V0≤?2，則V≤?2（t≥t0），從而存在一個有限時間函數tf（ε）使得對于t≥t0＋ tf（ε），V≤?2并且有。結合?的定義，對于t≥t0＋tf（ε），有

進而，對于t≥t0＋tf（ε）有

注2由定理1在有限時間tf（ε）后，誤差估計進入到閉球｛Z：｜｜Z｜｜≤κ（ε）｝。易證上述閉球的半徑可以由設計參數ε調節，而且因為0，當ε?0誤差估計值Z?0，應當指出所提出的ESO方法是適用于具有已知線性及非線性動力學性能項的擴展狀態。

所以LESO（4）既可以對系統狀態進行評估，又可以對系統擴展狀態進行評估，即

3 終端SMC設計

這里對于所有適于應用LESO方法的系統狀態及總擾動給出終端SMC方法。為了得到終端滑模跟蹤控制，定義s1＝y－yd，則s1對時間的n階導數為。由上式，對系統（1）的TSMC方法進行的迭代如下［11］

這里αi＞0，βi＞0，pi及qi，（i＝1，2，…，n－1）是正的奇數并且pi＜qi，對于每一個si，i＝2，…，n－1，有

由此，基于終端滑模跟蹤控制方法的LESO可以設計為u＝－u0／g，

上述終端滑模控制設計方法可以總結為下述定理。

定理2 考慮具有模型不確定性及外界擾動的不確定非線性系統（1）及LESO被設計為（4）～（5）的形式在終端滑模跟蹤控制模型（15）中系統輸出y在有限時間內收斂于所需信號yd。

證明把（15）代入（14）得

根據引理1及（17）可以知道s1＝y－yd?0即y?yd。（證畢）

4 數值模擬

給定的數值模擬的結果說明了本文所提出的控制方法的有效性。考慮一個二階系統模型：

系統（18）的狀態空間形式為

這里模型的不確定性參數為Δb1＝0.02sin（πt），Δb2＝0.02cos（πt），系統非線性動力學函數，外界擾動參數 w（t）＝2sin（0.1πt）＋3sin，所以總擾動參數為

為了設計LESO及滑模控制，增益參數分別取做：ε＝0．01，a1＝2．825 2，a2＝4．408 5，a3＝0．912 9，α1＝50，β1＝0．5，δ＝60，μ＝0．8，p1＝5，q1＝7，初始狀態條件任意選擇為x1＝0．1，x2＝0．2，預定軌跡取作yd＝2sin（0.2t）。LESO及滑模跟蹤控制方法如下給定

圖1～2給出了將控制器（21）應用到系統（19）數值模擬結果。圖1（a）說明系統輸出曲線、所需信號曲線、跟蹤誤差曲線，圖1（b）分別給出了控制律曲線，由圖1（a）可以看到除了某些由LESO的高增益引起的尖點外，跟蹤誤差非常小，此外，圖1中的（b）說明控制量很小。圖2表明LESO的跟蹤性能，由圖2可以看到LESO的輸出可以緊密跟蹤系統狀態及總擾動因素，且誤差很小，所以系統狀態及總擾動被其估值替代其在系統控制律的設計當中可以被消除。

圖1 輸出值y，理想信號yd以及控制律u的曲線Fig.1 Trajectories of output y，desired signal ydas well as control law u

圖2 LESO的跟蹤性能Fig.2 Tracking performance of LESO

5 結束語

本文對于一類LESO非線性不確定系統提出了基于終端滑模跟蹤的LESO算法，這一LESO算法以任意小的誤差逼近系統狀態以及總擾動參數。該總擾動參數的估計值被用來補償原系統并進一步實現系統擾動的衰減和消除，本文所提出的終端滑模控制器可以保證系統輸出緊密跟蹤所需信號，最后數值模擬結果表明所提出的滑模跟蹤控制方法是有效的。

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Composite terminal sliding mode tracking control and extended state observer for SISO nonlinear uncertain systems

ZHONG Xiao?zhu1，MA Yue?chao2，LIU Jin?xian1，XING Hai?long3，WANG Zhi?li1
（1.Department of Public Courses，Hebei College of Science and Technology，Baoding，Hebei 071000，China；2.College of Science，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；3.Science and Information College，Qingdao Agricultural University，Qingdao，Shangdong 266109，China）

In this paper，the terminal sliding mode tracking control is proposed for the single?input and single?output systems with known linear dynamics，unknown nonlinear dynamics as well as internal model uncertainties and external disturbance.And the system states are unavailable for measurement.The terms including unknown complicated nonlinear dynamics，internal and external disturbances are defined as total disturbance，and it is considered as an augmented state of model plant.Then this augmented state and the system states can be estimated simultaneously through a linear extended state observer.This method is to design an observer which can guarantee the approximation error to be uniformly ultimately bounded with respect to a ball whose radius is a function of design parameters.So this ball radius can be arbitrarily as small as desired by tuning design parameters.Based on the outputs of the designed linear extended state observer，the terminal sliding mode controller has been proposed，which can guarantee the system out?put to closely track the desired signal.Numerical simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed controller. Key words：sliding mode control；extended state observer；nonlinear system；uniformly ultimately bounded

TP13

A

10．3969／j．issn．1007?791X．2015．05．008

1007?791X（2015）05?0431?07

2015?02?20 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61273004）；河北省自然科學基金資助項目（F2014203085）

鐘曉珠（1948?），男，河北樂亭人，教授，主要研究方向為差分方程理論、控制理論；?通信作者：馬躍超（1963?），男，遼寧鳳城人，教授，博士生導師，主要研究方向為控制理論，Email：myc6363＠126.com。