奇偶函數在對稱區域上的曲線積分公式及其證明

郭高榮，燕艷菊

（安陽工學院數理學院，河南安陽 455000）

奇偶函數在對稱區域上的曲線積分公式及其證明

郭高榮，燕艷菊

（安陽工學院數理學院，河南安陽 455000）

探討了奇偶函數在對稱區域上的第一類曲線積分公式和第二類曲線積分公式，并給出了積分公式的證明，以簡化某些積分的運算。

第二類曲線積分；對稱性；奇函數；偶函數

引言

針對幾種不同版本的《高等數學》教材上曲線積分、曲面積分計算，都有利用對稱性簡化運算的例題和習題，可是在這些教材中根本沒有與之相應的定理和定理的證明。文獻[1]研究了二元奇偶函數在對稱區域上的積分公式及其證明，沒有研究曲線積分；文獻[2]對計算某些特殊的第二類平面曲線積分進行了研究；文獻[3]對對稱弧段上的對弧長的曲線積分進行了研究；文獻[4]，[5],[6]研究對稱性在曲線積分及曲面積分計算中的應用和教學探討，但都沒有研究奇偶函數在有向平面曲線和空間上的第二類曲線的積分計算，文獻[7]中沒有討論函數關于原點中心對稱的情況，本文對此進行了一些研究，同時在這些參考文獻中，有關函數關于坐標原點中心對稱的定義存在錯誤之處，本文給出更準確的定義.

1計算第一類曲線積分的對稱性方法

定理1設函數f(x,y)在分段光滑的平面曲線L上連續，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關于坐標軸x=0(或y=0)對稱，則

2）L關于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，則

證明：設L關于y軸對稱L：y=y(x)，-a≤x≤a，由y(-x)=y(x)，有

同理可以證明L關于坐標軸y=0對稱，由定理1的1）的結論容易得到定理1的2）的結論.

如果把定理1從平面上推廣到空間上，則有如下結論：

定理2設函數f(x,y,z)在空間分段光滑的曲線上L連續，如果L關于坐標面

x=0(y=0，z=0)對稱，則

其中L1={}

(x,y,z)∈L,x≥0(y≥0;z≥0).

2 計算第二類曲線積分的對稱性方法

定理3設函數P(x,y)在分段光滑的有向平面曲線L上連續，L1,L2與L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關于坐標軸x=0對稱，則

2）L=L1+L2,L1,L2關于坐標軸y=0對稱，則

3）L關于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1與L同向，則

證明：

1)設L：y=y(x)關于坐標軸x=0對稱，由y(-x)=y(x)，有

2)設L關于坐標軸y=0對稱，L1：y=y1(x)，L2：y=y2(x)，由于y1（x）=-y2(x)，可以得到如下等式：

由定理2的1）、2）的結論容易得到定理2的3）的結論。

同理可以證明

定理4設函數Q(x,y)在分段光滑的有向平面曲線L上連續，L1,L2與L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關于坐標軸x=0對稱，則

2）L=L1+L2,L1,L2關于坐標軸y=0對稱，則

3）L關于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1與L同向，則

注明1：二元Q(x,y)關于坐標原點中心對稱，本文中定義Q(-x,y)=Q(x,-y)=Q(x,y)，而在文獻1,4中的定義是Q(-x,-y)=Q(x,y)，舉反例：Q(x,y)=xy，按照文獻1,4中的定義，這個函數既是x又是y的奇函數，同時又是xy的偶函數，矛盾.

注明2：本文中f(x,y,z)可以簡記為f.

[1]張青娥,郝新生.二元奇偶函數在對稱區域上的積分公式及其證明[J].數學的實踐與認識，2005,35(5).

[2]時統業,周本虎.第二類平面曲線積分的對稱性質及其應用[J].高等數學研究，2006，9(2)：25-29.

[3]晉慧峰，張福偉.對稱弧段上的對弧長的曲線積分的研究[J].太原理工大學學報，2011，42(3)：320-322.

[4]紀榮芳,婁本平.對稱性在曲線積分及曲面積分計算中的應用[J].泰山學院學報，2004，26(3):11-14.

[5]程希旺.對稱性在曲線積分和曲面積分計算中的應用[J].遵義師范學院學報，2007，9(5)：72-75.[6]江蓉，王守中.關于曲線積分與曲面積分教學的探討[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012，37（2）:142-146.

[7]王慧，葉永升.對稱性在兩類曲線積分中的應用[J].淮北師范大學學報(自然科學版)，2011，32（4）：72-75.

[8]同濟大學數學系.高等數學（下）[M].北京：高等教育出版社，2007，185-200.

Curvilinear Integral Formulae and Demonstration of Odd-even Function in Symmetric Area

GUO Gaorong,YAN Yanju
(Faculty of Science,Anyang Institute of Thechnology,Anyang 455000,China)

In this paper,first curvilinear integra formulae and second curvilinear integra formulae of odd-even function in Symmetric area are discussed.The integral formulae of two-variable odd-even function in Symmet?ric area are obtained and the integral formulae are demonstrated to simplify the calculation of some integral.

second curvilinear integra;symmetry;odd function;even function

G642

A

1673-2928（2015）06-0088-03

(責任編輯：郝安林）

2015-07-26

2014年安陽工學院教學項目（基于應用型人才培養的具有專業特色的大學數學教學研究與實踐）。

郭高榮(1978-),女,河南省汝南縣人，安陽工學院講師,碩士,從事偏微分方程研究。