基于FFT的微弱GPS信號頻率精細估計

張洪倫 巴曉輝 陳 杰 周 航

1 引言

GPS接收機信號處理流程包括信號的捕獲、跟蹤和解算，為了盡快捕獲到信號，頻率搜索步長通常設置得比較大，捕獲得到的頻率誤差在幾十到幾百赫茲，通常需要FLL（Frequency-Locked Loop）將頻率牽引至一定范圍后，再交給PLL（Phase-Locked Loop）進行跟蹤。在弱信號情況下，環路等效噪聲帶寬設置比較小，使得環路鎖定時間延長甚至無法正確牽引，影響接收機的TTFF（Time To First Fix）。同時，近年來高靈敏度GPS接收機設計[13]-受到廣泛關注，文獻[4,5]中提到了高靈敏度捕獲方案，其中文獻[4]能夠捕獲到20 dBHz的衛星信號，這樣低的信號想要快速正確地轉入跟蹤狀態，首先要取決于頻率牽引能否成功。

已經有一些文獻提出了針對頻率精細估計的解決方案，文獻[6,7]提到了基于相位測量的方法，文獻[8]提出一種基于多項式擬合的方式，文獻[9]提出用切比雪夫線性最小二乘曲線擬合法得到多普勒頻移的精細化估計值，但是這些方法只適用于較強信號下的頻率估計。文獻[10-12]用線性調頻 Z變換（CZT）對頻率進行局部精細估計，提高了局部頻率分辨率，但如果不克服比特跳變影響，也不適用于弱信號下頻率估計。文獻[6]在弱信號下用相干累加的同相分量作平方運算消除調制數據的影響，再作FFT運算，在理論上估計出的只是頻率偏移的絕對值，并且忽略了正交分量的作用，性能無法達到最佳，而文獻[13]中給出的基于FFT頻率精細估計方法，充分利用相干累加能量值，對弱信號頻率能夠進行有效的牽引，文獻[14]也提到這種方法，但是這兩篇文章都沒有對算法進行深入分析，并且只考慮了20 ms相干累加的情況，牽引范圍只有[-12.5 Hz,12.5 Hz]。本文基于文獻[13]，給出3種基于FFT的微弱GPS信號頻率精細估計的建模方法，并且對這3種方法的性能進行分析對比。

文章由以下幾部分構成，第1節為引言；第 2節為FFT頻率估計原理；第3節為噪聲性能分析；第4節為計算復雜度分析；第5節為實驗結果；第6節對全文進行總結。

2 FFT頻率估計原理

接收到的衛星信號可以表示為

P為接收的信號功率，D（ t）為導航數據，c（ t）為C/A碼，fc為信號載波頻率，n（ t）為高斯白噪聲。

以fL表示捕獲階段得到的載波頻率估計，cL（t）為本地產生的C/A碼，且認為碼相位與接收信號對齊，相干累加時間為 Tb，假設 Tb時間內沒有比特反轉， Ts為采樣間隔， L = Tb/Ts，經過載波剝離和碼剝離后，第k次相干累加結果為

其 中 Δ f = fc- fL, φ =π（fc- fL） （L - 1）Ts+φ,D（ k）表示第k次相干累加時的調制數據，NIk和 NQk是均值為零，方差為 σ2，并且相互獨立的高斯隨機變量。

從式（2）中得到，相干累加結果中還有調制的數據信息，并且每個比特周期為 20 ms，因此無法對式（2）的結果直接進行FFT運算獲得頻率偏移Δf的估計值。在現代化的GNSS信號中，為了獲得更好的性能，一般都增加了導頻通道，雖然導頻通道沒有調制數據信息，但是調制了二次碼，二次碼在頻率牽引時還沒有對齊，產生與數據信息相同的影響。

為了解決這個問題，需要對式（2）的結果進行處理，消除比特反轉帶來的影響，從而可以利用更長的數據進行FFT運算，以適應弱信號下頻率估計。下面通過變量構造方法，消除比特反轉影響，使得到的變量適用于FFT頻率估計。

算法1 平方法構造變量

構造的新變量已經沒有比特信息影響，頻率和相位變為原來的兩倍，噪聲項為

算法2 差分法構造變量

構造的新變量中，還存在比特信息，后面將會對這個問題進行分析，噪聲項為

算法 3 在比特邊沿已知的情況下，每一個比特周期內構造一個變量，利用前10 ms相干累加和后10 ms相干累加，差分法構造變量

這種構造方法與算法2相同，但是比特信息影響被消除，代價是每20 ms的數據只利用了10 ms的能量，噪聲項如算法2。

以算法1構造的變量 Xk為例，對FFT頻率估計方法進行說明，分析過程忽略噪聲影響。首先對Xk作N點FFT運算，并取模得

使（）f n幅值最大的n對應的譜線作為估計頻率值，即

頻率分辨率為 1 /2TbN，頻率覆蓋范圍 - 1/4TbHz至 1 /4TbHz，由此得出，在FFT點數不變的情況下相干累加時間越長，頻率分辨率越高，但是頻率覆蓋范圍變小，在20 ms相干累加時頻率覆蓋范圍僅為[-12.5 Hz, 12.5 Hz]。因此即使導頻通道中不考慮二次碼的影響，出于對頻率覆蓋范圍的要求，也不可以任意增加相干累加時間長度，并且當載體相對衛星具有較大動態時，長時間相干累加會導致頻譜擴展，計算出的峰值下降，使得發現概率減小。

不考慮比特信息的影響，算法2和算法3構造的變量，頻率估計方法與分析方法相同。

3 噪聲性能分析

通過變量構造，雖然消除了比特反轉的影響，但是引入了更多的噪聲項，不過構造的新變量，不受調制數據的影響，可以使用更長的數據長度，以提高檢測弱信號的能力。下面對構造變量的噪聲性能進行分析。由于 NIk, NIk-1,NQk和NQk-1是均值為零、方差為 σ2，并且相互獨立的高斯隨機變量，因此得到噪聲項均值為 0。噪聲方差的計算中用到一個結論，即若ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是四元聯合正態分布的隨機變量，且均值都為0，則有

經過計算得到噪聲方差為

在不考慮比特反轉的情況下，并且相干累加時間相同，kX與kY的信號幅值相同，噪聲對kY影響明顯小于kX，理論上算法2具有更好的性能。

差分法構造變量的方法，由于前后兩個相干結果的噪聲項不相關，因此受到噪聲影響要比平方法小，但是比特反轉對算法2的影響相對算法1更嚴重。比特反轉位置與相干累加時間段有兩種關系，一種是相干累加沒有跨越比特邊界，另一種是相干累加時間跨越比特邊界，以2 ms相干累加為例，分別如圖1（a）和圖1（b）所示，下面針對這兩種情況分別進行討論，分析這兩種情況對算法1和算法2的影響。

圖1 相干累加時間與比特反轉關系示意圖

（1）如圖 1（a）所示，當所有相干累加時間段內不存在比特反轉時，比特反轉對算法1沒有影響，而算法2構造的變量Yk在比特跳變處引入一個負號。考慮最壞情況，即每個比特邊沿都有跳變，假設第n條線譜對應正確頻率點，r為20 ms內相干累加次數，當2 ms相干累加時r等于10，則每r個相干累加結果中就會引入一個負號，則FFT運算峰值結果為

從式（16）得到，由于比特反轉造成算法 2信號能量利用率并沒有達到100%，對FFT峰值有貢獻的能量僅為全部信號能量的（ 2）/r r- 。1 ms相干累加時，能量利用率為90%，而4 ms相干累加能量利用率為60%。

（2）如圖1（b）所示，當有相干累加時間段跨越比特邊界時，對算法1和算法2都會造成影響，在比特邊界處構造的kX和kY會產生新的頻率成分。對于Xk在20 ms內只會影響1個構造變量，對于 Yk則會影響連續的兩個構造變量，受到影響的構造變量對FFT峰值不但沒有貢獻，還將產生不利影響。此時算法 1能量利用率為（r - 1 ）/r，算法 2還是（r - 2 ）/r。

由上面分析得出，算法1和算法2通過增加相干累加時間，可以提高性能，但是隨著相干累加時間增加，由于比特邊沿未知，能量利用率也隨之下降，與增加相干累加時間產生相反的作用，并且增加相干累加時間，能夠估計的頻率范圍減小。同時，幅值A隨著頻率偏移增大而減小，如果估計的頻率剛好在兩條譜線之間，也會造成頻率泄漏，這些都對估計性能產生影響。

4 計算復雜度分析

各種頻率估計方法，一般都是對相干累加結果進行處理，因此不考慮相干累加之前的各種運算。平方法和差分法構造變量都需要N次復數乘法運算，FFT 運算需要 N l og2N次復數加法和（N / 2）log2N次復數乘法運算，因此這兩種構造變量方法用于FFT頻率估計時運算量相同，平均對每一個相干累加結果進行處理的計算量為 lo g2N次復數加法和 1 + （log2N ）/2次復數乘法，表1列出N取1024, 2 ms相干累加與N取64, 20 ms相干累加的平均計算量，其中已將復數運算換算為實數運算。而傳統的基于FLL的頻率估計（牽引）方法，需要對每次相干累加結果進行鑒頻和環路濾波，涉及到除法、反三角函數等運算，相位鑒別器輸入為相干累加正交與同相分量比值，需要 1次除法，文獻[15]給出一種快速除法算法，進行 3次迭代誤差小于0.002，需要3次加法和6次乘法，文獻[16]給出一種反正切函數實現方法，若逼近多項式取到五階，則需要5次加法和9次乘法，計算頻率差值需要2次加法和1次乘法，文獻[17]給出的二階環路濾波器需要3次加法和2次乘法，因此FLL的頻率估計總運算量為13次加法和18次乘法。通過表1對比，可以得出本文給出的基于 FFT頻率估計方法的運算量與傳統方法相當。

表 1 FFT頻率估計與FLL頻率估計平均運算量對比

5 實驗結果

為了驗證前面方法的可行性，排除其它因素對FFT頻率估計的影響，并且能夠方便進行實驗對比，產生的采樣信號中頻載波頻率設定為1.25 MHz，采樣率為5 MHz，采樣點用浮點表示（沒有量化），碼相位已經對齊，各個實驗所用的數據長度相同為1.28 s，當估計的頻率值與實際頻率偏差小于1.5 Hz時即認為頻率估計正確。為了驗證產生的中頻率數據是正確的，將中頻采樣數據利用窄帶-寬帶方法[18]進行載噪比估計，所產生數據的信號強度與估計結果非常吻合。實驗產生的中頻數據如果存在調制信息時，考慮最壞情況，即每個比特都存在反轉。

5.1 1 ms相干累加

設置頻率偏移為 50 Hz，考慮沒有數據調制和有數據調制兩種情況，實驗結果如圖2所示。沒有數據調制時，算法2在22 dBHz時頻率正確估計概率在95%以上，比算法1高出1 dB，即使有調制數據，在最壞情況下，算法2依然好于算法1。1 ms相干累加，在有數據調制時，算法 1能量利用率100%，而算法2存在能量損失，但是其受噪聲影響相對較小，即使10%的能量沒有利用其性能依然比算法1高出1 dB。

5.2 2 ms相干累加

設置頻率偏移為50 Hz，在調制數據后，2 ms相干累加，比特反轉會產生兩種影響，實驗中考慮了所有情況。實驗結果如圖3所示，圖中沒有特別說明的認為一次相干累加時間內不存在比特反轉，在相干累加時間內存在比特反轉的，用偏移量來標

圖2 1 ms相干累加時頻率估計性能

記，例如圖1（b）所示2 ms相干累加時，在第1 ms處出現比特反轉，記1 ms偏移。實驗結果顯示，兩種算法在沒有數據調制情況下，算法2比算法1性能高出約2 dB，在有數據調制時，算法2性能有所下降，但是在21 dBHz時頻率估計正確概率仍高于95%，比算法1高約1 dB。

5.3 4 ms相干累加

頻率偏移設置為25 Hz，實驗結果如圖4所示。在不考慮數據調制時，算法2的性能在19 dBHz時能夠達到95%以上的發現概率，但是由于比特反轉，最壞情況下造成40%的能量損失，使得其性能開始低于算法1。算法1在21 dBHz時，最壞情況下的發現概率能夠達到90%以上。

5.4 20 ms相干累加

在數據比特邊沿已知的情況下，可以實現20 ms相干累加，實驗結果如圖5所示，頻率偏移為10 Hz時，算法1和算法3在19 dBHz時發現概率在95%以上，頻率偏移為5 Hz時，算法1在17 dBHz時仍然能夠達到90%以上的發現概率。算法3構造變量的方法，在消除了比特邊沿的同時，犧牲了一半的能量，因此性能相比算法1差一些。在5 Hz頻率偏移的情況下，算法1發現概率比10 Hz頻率偏移時高出1 dB，原因在于幅值A受到頻率偏移的影響，頻率偏移越大，幅值A越小，從噪聲中檢測出信號的概率越低。

通過前面的分析，結合實驗結果，得到如下結論：

（1）在1 ms, 2 ms相干累加時，算法2比算法1性能高出1 dB, 1 ms相干累加時算法2在22 dBHz時發現概率能夠超過 95%, 2 ms相干累加時在 21 dBHz時發現概率超過95%；

（2）4 ms相干累加時，算法1性能開始超過算法2，算法1在21 dBHz時發現概率在90%以上；

（3）20 ms相干累加時，算法 1與算法 3在 19 dBHz時，發現概率均超過95%。

圖 3 2 ms相干累加時頻率估計性能

圖 4 4 ms相干累加時頻率估計性能

圖 5 20 ms相干累加時頻率估計性能

由此得到，當要估計的頻率偏差比較大時，可以使用算法2, 2 ms相干進行頻率估計，當要估計的頻率范圍比較小時，并且信號非常弱，用算法 1，20 ms相干累加。實驗中所用的數據長度是固定的，在實際應用中，可以通過增加數據長度的方式提高頻率估計性能。實驗中考慮比特反轉時，假設比特反轉每次都發生，實際中能量利用率要高于實驗中的情況，因此得到的FFT峰值比實驗中要高。

在沒有比特邊沿先驗信息的情況下，又想得到比較高的性能時，需要20 ms相干累加，并且利用更長的數據，這時可以對20個可能的比特邊界逐個進行檢測，運用算法1或者算法3進行FFT運算，得到20個峰值，取最大峰值對應的估計頻率作為最終結果。

本文給出的3種方法，能夠在GPS信號強度較弱的情況下，根據不同情況和需求，經過一次FFT運算即可實現較大范圍的頻率估計。

6 結束語

本文針對傳統 GPS接收機弱信號下頻率牽引速度慢、成功率低等問題，給出 3種基于 FFT的GPS微弱信號頻率精細估計的方法。算法經過了理論推導、噪聲和性能分析，并且通過實驗驗證，結果表明本文給出的方法在沒有比特邊沿先驗信息情況下，2 ms相干累加時差分法比平方法性能更好，前者能夠實現21 dBHz信號強度下的頻率估計，在有比特邊沿先驗信息情況下，差分法比平方法性能稍差，兩種方法在信號強度低至19 dBHz時，頻率估計正確率都能達到95%以上。

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