時空非均勻采樣下雙基地MIMO雷達收發角及多普勒頻率聯合估計方法

鄭志東 方 飛 袁紅剛 于彥明 陶 歡

1 引言

隨著MIMO通信的快速發展、以及現代雷達研究的不斷深入，多輸入多輸出（MIMO）雷達[13]-應運而生。其中，雙基地MIMO雷達[412]-是將雙基地雷達與MIMO技術相結合而形成的一種MIMO雷達體制，它不僅兼具了MIMO雷達在參數估計方面和雙基地雷達在“四抗”方面的優勢，還有效降低了雙基地雷達在“三大”同步（空間、時間、頻率）方面的要求，因而受到了廣泛地關注。雙基地MIMO雷達只需從接收信號中估計出目標的發射角（Direction Of Departure, DOD）和接收角（Direction Of Arrival, DOA），便可以實現對目標的定位，無需復雜的三大同步技術以及額外的收發通信鏈路支持，極大地簡化了雷達的系統設備。

對未知目標的參數估計是雷達信號處理的一個關鍵內容，現有關于雙基地MIMO雷達參數估計算法大都是針對靜止目標或者假設目標多普勒頻率已知，僅是對目標的發射角和接收角進行估計[48]-。目前，對于雙基地MIMO雷達的收發角以及多普勒頻率聯合估計的研究很少，文獻[9]給出了發射波束域-平行因子分析（PARAFAC）的目標角度和多普勒聯合估計方法，通過對發射功率的充分聚焦，提高了接收端的信噪比，從而改善目標的參數估計性能；文獻[10]利用相鄰時刻接收的信號，提取出含有多普勒頻率的旋轉不變因子，再對接收數據進行重構，利用最小二乘算法估計出目標的DOD和DOA，并實現了自動配對；文獻[11]利用收發陣列間的空間相位差以及多級延遲器之間的時間相位差，提取旋轉不變因子，實現了目標的收發角度及多普勒頻率聯合估計，但該算法需要額外的配對算法，增加了計算量，而且文獻[9-11]都只能用于收發陣列為均勻配置的情況，當收發陣列采用非均勻配置時，上述算法的性能將急劇下降；文獻[12]將時域多級延遲器的輸出作為第4維，提出了基于平行因子四線性分解的DOD, DOA以及多普勒頻率聯合估計算法，并實現了參數之間的自動配對，該方法本質上與平行因子三線性方法相一致。眾所周知，雙基地MIMO雷達具有陣列孔徑擴展的優勢，同時，采用合適的非均勻配置，也能擴展時域和空域的自由度，因此，如果能夠將兩者結合起來，將進一步擴展MIMO雷達的時域和空域自由度，從而獲得更好的目標參數估計性能。

本文考慮發射、接收陣列以及多級延遲器皆為非均勻配置時的雙基地 MIMO雷達聯合參數估計問題。首先在接收端引入時域多級延遲器，建立雙基地MIMO雷達時空信號模型，利用矩陣Khatri-Rao積的性質，對數據矩陣實施行置換運算，實現了MIMO雷達空域和時域虛擬二次自由度擴展，而后對所得數據進行時空“滑窗”處理，利用ESPRIT算法估計出目標的DOD, DOA和多普勒頻率，并實現參數的自動配對。

2 時空信號模型

雙基地 MIMO雷達的收發陣元采用非均勻配置，記 λ tm/2 （ m = 1 ,2,… , M ） 為M個發射陣元的位置， λ rn/2（n = 1 ,2,… , N ）為N個接收陣元的位置，分別以發射1號和接收1號陣元作為各自的參考陣元，即 t1= 0 ,r1= 0 。假設P個點目標位于收發陣列遠場，第p個目標的DOD, DOA和多普勒頻率分別為 θp, φp和 fdp。發射陣列發射不同的正交編碼脈沖信號，在第 q（ q = 1 ,2,… , Q ）個發射脈沖下，接收端的匹配濾波輸出為[11,12]

式 中 Ck=diag（ ej2πkτfd1T, ej2πkτfd2T, … ,ej2πkτfdPT） ∈CP×P,wk（q ） = w （ q + kτ）, k =0,1,…,K -1為延遲級數。將接收數據經過K級延時，并將所有的輸出表示為列向量形式：

圖1 K級非均勻延遲器

其中Y∈CMNK×P, D =[d （1）,d （2）,… ,d （Q）]∈ CP×Q為散射系數和多普勒信息構造的矢量，N為MNK×P維的噪聲項。

3 基于二次自由度擴展的ESPRIT算法

由式（4），可求得接收數據的協方差矩陣為其中Λ=diag（h），由于各目標間互不相關，因此Λ為對角陣，且 h =[, …]T。

由式（4）可知，雙基地 MIMO 雷達通過匹配濾波處理之后，本身具有空時孔徑擴展的功能，即M發N收K級延遲的配置，將產生MNK個接收數據（一次自由度擴展）。以下通過對 RY的變換處理，使得在發射陣列、接收陣列、以及延遲器為最小冗余配置時，雙基地MIMO雷達的空時孔徑自由度進行再次擴展，得到大于 MNK維的虛擬接收數據，本文將其稱為時空二次自由度擴展。

3.1 時空二次自由度擴展

進一步，對式（5）進行列向量化操作可得其中符號vec（.）和“*”分別表示向量化、共軛運算，1=[e1T,e2T, …]T∈R（MNK）2×1, ei∈RMNK×1表示第i（ i = 1 ,… , M NK）個元素為1，其他元素為0的列向量。在對式（6）進行數據變換之前，首先給出矩陣Khatri-Rao的計算規則。

122⊙D1，其中?表示Kronecker積，表示：僅矩陣的第（i, j）元素為1，其余元素項為0。同時矩陣的 Khatri-Rao積滿足交換律 （D1⊙D2） ⊙ （F1⊙F2）=D1⊙ （ D2⊙ F1）⊙ F2。

利用上述性質 1，構造如下 （M N K ）2×（M N K）2的置換矩陣：

在式（8）的推導過程中，利用了矩陣Khatri-Rao的交換律性質。進一步，構造維數為（M N K）2×（ M N K）2的置換矩陣：

表1 最小冗余陣列

由式（11）可知，4元最小冗余陣的差分同置結構將獲得位置為{-6:1:6}λ/2的虛擬陣元，并且只有在位置0處有4個冗余，其余位置均不存在冗余現象。由此便實現了由4個實體非均勻陣列，擴展成為13個虛擬孔徑自由度的目的。

綜上分析可知，為了得到最大的二次孔徑擴展自由度，并獲得最小的孔徑冗余自由度，可以對發射陣列、接收陣列以及延遲器采用最小冗余配置方式（空域和時域均為非均勻采樣）。這樣既可以獲得最大的二次孔徑擴展自由度，也節約了收發陣列和延遲器配置的硬件成本。

與此同時，從式（11）進一步可知，盡管采用了最小冗余陣列配置，使得形成的擴展陣列具有最小的冗余度，但在個別陣元位置仍存在冗余。因此，首先應通過構造去冗余矩陣，對式（10）中的數據r進行去冗余處理。由于不同的最小冗余陣列配置下，經過差分同置結構的孔徑擴展后，其冗余項的位置不同。因此，所需構造的去冗余矩陣也不相同，但對于某一固定的冗余陣列，可以預先離線設計好去冗余矩陣的結構。下面以式（11）中的結構為例，設計如下去冗余矩陣Γ：

將式（11）兩邊左乘去冗余矩陣Γ，可得新的方向矢量：

由式（13）可知，新的方向矢量中不再存有冗余項，它等效為13個均勻實陣元構成的方向矢量。上述僅以4個最小冗余陣為例來說明去冗余矩陣的構造，不失一般性，對于任意的最小冗余配置，都可以經過類似的方法實現去冗余處理。對式（10）左乘去冗余矩陣（空域和時域去冗余），則新的數據向量為

由式（14）可知，通過對協方差數據的一系列變換處理，實現了空域和時域孔徑的二次自由度擴展，使得 MNK維數據擴展成（2M + 1 ）（2N + 1 ）（2K +1）維數據。這里將M發N收K級延遲所形成的MNK個接收數據稱為一次自由度擴展（由 MIMO雷達的自身性質完成）。

3.2 數據矢量的時空“滑窗”處理

由于經過變維處理之后，數據r為列矢量，為此，本文基于文獻[15]中多維頻率估計的方法，對數據r進行空-時“滑窗”處理，將其轉換為類似于協方差結構的數據矩陣。令M~= M +1, N~ = N +1,K~ = K + 1 ， 構 造 如 下M~N~K~ × （ 2M + 1 ）（2N +1）?（2K+1） 維的選擇矩陣：

式（17）的化簡過程可根據文獻[15]中的附錄 B推導~得到，在此不再詳述。其中K= C（K~）⊙ B（M~）⊙A（N）為時空擴展導向矢量， （? ）（i）表示取矩陣的后i行運算。

由式（17）可知，新得到的數據R具有與傳統協方差相同的結構，因此，可以利用現有的多種算法[10-12]進行求解。為了方便計算，以下給出基于ESPRIT的求解方法。對R進行特征分解，可得由P個大特征值所對應的特征矢量構成的信號子空間Es∈，它與時空擴展導向矢量K張成相同的子空間，因此，存在可逆矩陣U使得 Es=KU-1。令 Es1和 Es2為 Es的前行，則根據導向矢量K的結構，有

其中 Φ （ fd） 為多普勒旋轉不變因子。由式（18）可知，Us與U均為的特征矢量，兩者之間滿足：

其中Δ為列比例因子矩陣，H為列置換矩陣。由式（19）可知，Us和U之間僅是列的排列順序和比例系數不同，并不會影響到 Us中行與行之間的比例關系。因此，可直接根據K︿= EsUs得到擴展導向矢量的估計值。當得到K︿之后，根據擴展導向矢量的內部結構，可進一步獲得目標的發射角、接收角及多普勒頻率的估計值。

由于收發角度以及多普勒頻率均從同一列導向矢量中估計得到，因此所得三參量能夠實現自動配對，雖然上述滑窗處理，對孔徑自由度有一定的損失，但是由以下分析可以看出，本文算法的總孔徑自由度仍然優于傳統的算法。

對比式（5）和式（17）兩個協方差矩陣可知，M發N收K級延遲的非均勻配置雙基地MIMO雷達，利用本文算法可以將其等效為發收級延遲的均勻配置雙基地 MIMO雷達，由于,M＞＞ N ,＞ K ，因此，本文算法極大地擴展了空域和時域的孔徑自由度。例如：對于4發4收4級延遲的非均勻配置MIMO雷達（64維孔徑自由度），最終可擴展為7發7收7級延遲的均勻配置MIMO雷達（7×7×7=343維孔徑自由度）。與此同時，為了保證參數唯一可識別性，信號子空間 Es1和 Es2都應滿足列滿秩，即P ≤ K （ M + 1 ）（N + 1 ） ，因此，本文算法的最大可識別目標數目為K（ M + 1 ）（N + 1 ），而對于發射、接收、延遲器采用均勻配置的雙基地MIMO雷達，其最大可識別目標數為MN（ K- 1 ），因此，本文算法極大地提高了目標的最大可識別數目。

4 實驗仿真和數據分析

本節首先驗證所提算法的有效性，并與文獻[11]中的多維 ESPRIT算法、文獻[12]中的四線性分解算法（QALS）的參數估計性能進行比較。假設目標處于復高斯白噪聲背景下，其散射系數服從復高斯分布，發射端發射相互正交的Hadamard編碼信號，且在每個重復周期內的相位編碼個數 256，分別進行如下實驗。

實驗 1 算法的有效性驗證 考慮 4發 4收 4級延遲的雙基地MIMO雷達配置情況，利用本文算法進行參數估計時，發射陣列、接收陣列以及多級延遲器均采用最小冗余配置方式，即 { tm}m4

=1=0.5λ [ 0 , 1,4,6], { rn= 0 .5λ [0 , 1,4,6]，延遲器組的各級延時為[0 , 1,4,6] τ。利用多維ESPRIT算法時，收發陣列采用半波長均勻配置，延遲器采用等均勻延時。假設存有 3個不相關目標，其位置為：（60°,1 5°,1 0 0 Hz）,（10°,- 4 0°,2 0 00 Hz）,（- 4 0°,- 5°,1300 Hz），脈沖數 Q = 1 00，重復周期為 T = 1 0-4s。

圖 2（a）和 圖 2（b）分 別 為 本 文 算 法 與 多 維ESPRIT算法下目標的定位結果。實驗時 Monte-Carlo次數為200, SNR=0 dB。由圖2可知，本文算法能夠實現對多目標的發射角、接收角和多普勒頻率的聯合估計，且實現了參數間的自動配對。比較圖 2（a）和圖 2（b）可知，在 SNR=0 dB 時，本文算法的估計精度優于多維ESPRIT算法。

實驗 2 不同算法間的估計性能比較 比較本文算法、QALS算法以及多維ESPRIT算法的估計性能。目標的個數以及位置參數同實驗 1。當利用本文算法進行求解時，仿真條件與實驗1相同（空域和時域均采用最小冗余配置 M=N=K=4），當利用QALS算法和多維ESPRIT算法時，發射、接收陣列以及多級延遲器采用均勻配置，且參數設置為M=N=K=5。圖 3（a）, 3（b）和 3（c）分別為 3 種不同算法下目標參數估計的RMSE隨SNR的變化曲線。

圖2 兩種算法的目標定位結果

圖3 目標DOD, DOA及多普勒頻率的RMSE隨SNR變化曲線

由圖3可知，不論在高SNR還是低SNR條件下，本文算法的參數估計精度最優，QALS算法性能次之，而多維ESPRIT的3個參數估計性能均差于上述兩種算法。這主要是由于：雖然在設置仿真條件時，本文算法所用到的實體陣元數和延遲級數少于QALS算法和多維ESPRIT算法，但由于空域和時域孔徑的二次虛擬擴展，使得虛擬擴展后的總孔徑維數為M~ × N~ × K~ =7 × 7×7 =343，而QALS算法和多維 ESPRIT算法擴展的虛擬孔徑數為M×N×K=5 × 5 × 5 =255，因此，經過二次虛擬孔徑擴展，使得本文算法所能利用的孔徑自由度大于QALS算法和多維ESPRIT算法，因此，本文算法均有最高的估計精度。與此同時，由于多維ESPRIT算法存在一定的陣元孔徑損失，而QALS算法利用了全部的輸出信息，且經過每次迭代都有精確的最小二乘閉式解，因此QALS算法的估計性能優于多維ESPRIT算法。

5 結論

針對發射、接收陣列和多級延遲器皆為非均勻配置的MIMO雷達，本文提出了基于空域和時域二次自由度擴展的 ESPRIT新算法。首先利用矩陣Khatri-Rao積的性質，對接收數據進行行置換和去冗余運算，實現了最小冗余配置下空域和時域孔徑自由度的二次擴展，然后將數據進行矩陣換維操作，利用ESPRIT算法分別估計出目標的收發角及多普勒頻率，并實現了各參數的自動配對。理論和仿真實驗表明：通過時空虛擬孔徑的二次自由度擴展，能夠將非均勻配置陣列等效為收發陣元數及延遲級數均大于實體數目下的均勻配置形式，極大地擴展了空域和時域的孔徑自由度。在同等實體陣元和延遲級數情況下，本文算法的估計精度優于四線性分解算法和多維ESPRIT算法，較傳統雙基地MIMO雷達，本文算法能夠識別出更多的目標。此外，通過最小冗余配置，減少了陣列中的冗余信息，極大地降低了陣列和延遲器的配置需求，更利于實際工程應用。

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