無源線性網絡與Bott—Duffin綜合

范迪 劉英敏 呂常智

摘要：論文介紹了無源網絡的阻抗函數及正實函數的性質。無源線性網絡可以實現具有正實函數特性的阻抗函數，且僅能實現正實函數。Bott-Duffin綜合建立了線性網絡和正實函數的對應關系，對于把電工原理課程和自動控制原理聯系在一起提供了重要的指導方法。

關鍵詞：無源網絡；阻抗函數；正實函數；Bott-Duffin綜合

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）50-0187-03

一、前言

無源網絡綜合主要研究通過有限多個電阻、電感、電容及變壓器等無源元件來實現給定網絡描述函數的問題[1]。由有限個電阻、電感及電容等無源元件所組成的線性網絡，稱為無源線性網絡，研究其輸入導抗（即阻抗或導納的總稱）的性質，在電工課程的教學中有重要意義[2]。

本文介紹了無源線性網絡的阻抗特性，這是一個復變函數作為網絡阻抗的必要條件，而滿足這些條件的阻抗也恰好是無源線性網絡可以實現的。Bott和Duffin構造出了一種無變壓器綜合方法，即著名的Bott-Duffin綜合法。它指出了無源網絡的能力和局限，并且將無源網絡和正實函數一一對應起來，使得無源網絡的研究轉變為某類單復變函數的研究。Bott-Duffin綜合被自然地應用到自動控制系統的綜合中，搭起了電工原理課程和自動控制系統的橋梁。

二、無源線性網絡的阻抗特性與正實函數

由R、L、C等無源元件組成的網絡，其驅動點函數是有理正實函數（下文介紹），這是無源單口網絡可以實現的充分必要條件，是無源網絡綜合的基礎。作為單個元件，電感的電壓—電流關系式是：u（t）=Ldi（t）/dt。其中u（t）、L、i（t）分別是電感兩端的電壓、電感值和電流。利用Laplace變換，可以寫成U（s）=sLI（s），s是復變量。電阻和電容的關系式分別是U（s）=RI（s），U（s）=I（s）/Cs。多個電阻、電感和電容串聯或者并聯可以組成一個無源線性網絡。記這個無源網絡的阻抗為Z（s），則Z（s）作為單個復變量s的函數，它具有以下特性：

（1）Z（s）是一個有理函數，也就是兩個多項式的比值；

（2）對實數s，Z（s）是實數；

（3）對實部大于零的復數s，Z（s）的實部也大于零。

以上三個特性都與電路網絡的特性相對應。

兩個有理函數經過（1）的運算后，仍然是有理函數，故特性（1）成立；如果外加的電壓是直流電，網絡表現為純電阻特性，特性（2）成立；特性（3）指出無源線性網絡的電壓、電流相位差不超過π，或者反相無法實現。特性（3）對無源網絡成立也是這類網絡不能持續輸出能量的結果。滿足這三個特性的復變量函數叫作正實函數（Positive Real Function，簡記為PRF），它是阻抗函數可以由網絡函數實現的必要條件。正實函數及其性質是無源網絡綜合理論的基礎。正實函數的其他一些特性可以由定義中的三個特性導出，列舉如下：分子分母多項式的系數是實數；分子分母多項式的次數最多差一次；零、極點全部在左半平面和虛軸上（或無窮遠處）。因此，任一正實函數必屬于下列四種情形之一：在虛軸上有極點；在虛軸上有零點；在虛軸上不等于零，實部有最小值R>0；有一個頻率ω>0，使得Z（ω）=jωL，其中L>0。

三、Bott-Duffin綜合

（一）Bott-Duffin綜合的規則

具有上述的三個特性的無源線性網絡的阻抗函數構成所謂的正實函數，是否任何一個正實函數都可以由一個無源網絡實現，或者說，是不是任意給定一個正實函數，總能構造一個網絡，使它的阻抗函數正好是給定的正實函數呢？Bott-Duffin綜合的內容肯定地回答了這個問題，即把無源網絡和正實函數一一對應起來，把無源網絡的研究轉變成某類單復變函數的研究。

把正實函數的分子和分母多項式的次數相加得到的非負整數叫作函數的階。明顯地，零階函數，也就是常數函數，可以由單個電阻實現。再假設低于n階的函數是可以實現的，Bott-Duffin綜合的四條規則如下：

（1）如果Z（s）在虛軸上有極點，可以用如圖1（a）所示的一個電感和電容并聯組成的諧振元再與一個Z′（s）串聯實現，其中Z′（s）是比Z（s）低階的阻抗函數。

（2）如果Z（s）在虛軸上有零點，可以用如圖1（b）所示的一個電感和電容串聯組成的諧振元再與一個Z′（s）并聯實現，其中Z′（s）是比Z（s）低階的阻抗函數。

（3）如果Z（s）的實部在虛軸上不等于零，設R是一個正數（可以認為是電阻），把Z（s）寫成Z（s）=R+Z0（s），那么Z0（s）是階次不大于Z（s）的正實函數，從而可以用如圖1（c）所示電路實現。

（4）若上述三種簡化均不能進行，則存在ω>0使Z（jω）是純虛數。假設Z（jω）=jωL，其中L>0。利用P.I.Richards的一個關鍵定理，令

式（2）為Richards變換，實數k>0使得L=Z（k）/k。注意到若Z（s）為正實函數，則一定存在k>0使得通過Richards變換所得的函數在虛軸上存在零點或極點。在下節中我們將指出R（s）是一個階數不超過Z（s）的正實函數。由于R（s）為在虛軸上存在零點或極點的正實函數，則可進一步抽取出電抗元件得到具有更低階數的正實阻抗函數。總可以找到一個k，使L=Z（k）/k，這是因為當k從0變到∞時，L=Z（k）/k從∞變到0，對于這個k值，有R（jω）=0，也就是R（s）在虛軸上有零點。由式（2）解出Z（s），得：

根據數學歸納法，通過上述的四條規則可以實現任何一個正實函數。這樣，通過Bott-Duffin綜合，就建立起了無源線性網絡與正實函數的對應，任何一個正實函數都是可實現的，都對應到一個網絡；同時，任何一個網絡又可以計算其阻抗，得到一個正實函數。

Bott是匈牙利籍著名的數學家，BottDuffin綜合是收入他的論文全集的唯一一篇關于電氣網絡的論文，全文只有半頁，文章刊出時，Bott只有二十六歲，還是一名研究生。他改進了Brune關于網絡綜合的結果，用規則d代替了原來的第四條規則，去掉了理想變壓器的使用。他由于這篇文章被普林斯頓高級科學研究院的奧本海姆看中，開始了他的純粹數學家的職業生涯。

（二）Bott-Duffin綜合法規則的詳細說明

由于阻抗Z和對應的容抗Y=1/Z是正實函數，任何極點必須單階且其留數為正實數。假設W是至少一個極點在虛軸或無窮遠點的正實函數，則可寫成

通過計算得

四、自動控制系統綜合的實例

在自動控制系統的課程中，相位補償器必須是可以實現的，也就是說，它的傳遞函數必須是正實的。假設一個相位超前-滯后補償器的傳遞函數為

它可以由圖3的無源網絡實現。

五、總結

無源網絡是電工課程的重要內容，它的阻抗函數是正實函數。另一方面，任意給定一個正實函數，可以構造僅由有限個電阻、電容和電感等無源器件通過串聯或并聯組合而成的網絡來實現，Bott-duffin綜合就實現了這一功能。本文給予了說明和驗證。結合Kirchhoffs的電壓、電流定律，無源線性電路的大部分內容可以總結為三句話：電場是保守場（電壓定律）；電荷是守恒的（電流定律）；線性網絡和PRF一一對應。目前多數的教學安排中，單復變函數的課程通常安排在電工原理課程之后，但教師可以把這三句話貫穿在教學中，為學生指明學習的重點和方向。

參考文獻：

[1]陸志剛.線性無源二端網絡的近代綜合法[J].電信科學，1957，（05）：45-47.

[2]邱關源.電路[M].第5版.高等教育出版社，2006：75-296.