萬有引力與重力的關系

彭程

摘要：“萬有引力定律及其應用”是中學物理的主干知識點，可是中學生往往對萬有引力與重力關系中的一些問題感到困惑。本文采用中學物理和大學物理知識，即在慣性參考系和非慣性參考系中對萬有引力與重力關系做了仔細分析和深入討論。把地球當作慣性參考系時，重力為萬有引力的分力，向心力只占萬有引力的很小一部分。重力和重力加速度隨緯度的升高而增加，在南北兩極最大，在赤道上最小。重力的豎直方向隨緯度的變化而變化，它不是垂直于與地面相切平面的方向。地球在自轉，是一個非慣性參考系，在非慣性參考系中，萬有引力為重力的分力，在兩種參考系中分析出的重力不變。

關鍵詞：萬有引力；重力；豎直方向；慣性參考系；非慣性參考系

中圖分類號：G633.7 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）50-0190-02

近幾年全國新課標高考物理考試大綱中明確列出“萬有引力定律及其應用”內容屬于Ⅱ類，即屬于應理解其確切含義及與其他知識的聯系，能夠進行敘述和解釋，并能在實際問題的分析、綜合、推理和判斷等過程中運用的內容，換言之“萬有引力定律及其應用”是主干知識點，與航天、天體運行等問題有緊密聯系，是幾乎每年必考的內容。可是中學生在學習過程中經常在如下問題上感到困惑：（1）萬有引力和重力是否是同一個力？它們的大小、方向到底有何關系？重力的方向是豎直向下，豎直向下就是重力的方向，這就陷入了一個死循環，那豎直向下到底是個什么方向？（2）南北極，赤道上物體重力沿什么方向？（3）為什么說重力是萬有引力的一個分力，而老師有時又說萬有引力是重力的分力？關于這些問題，目前中學物理教材上的解釋過于籠統，欲言又止，似乎在回避某些問題，導致學生們總是在這些問題上認識模糊、似懂非懂。為了解決上述問題，下面在慣性參考系和非慣性參考系中分別討論，徹底弄清萬有引力與重力的關系。

一、高中物理中萬有引力與重力的關系

高中物理中把自轉的地球當作慣性參考系，采用牛頓運動定律研究物體的運動，地球上物體和地球之間的相互作用力就是萬有引力。假設地球為球形，地球的質量M=5.98×10kg，半徑R=6371km，其自轉角速度ω===7.27×10rad/s，質量為m的物體靜止于緯度為θ處的地面上，據萬有引力定律，地球和物體之間的萬有引力F，方向指向地心，如圖1（a）所示。而重力則是指由于地球的吸引而使物體受到的力，萬有引力是物體重力產生的原因。萬有引力的一個分力就是物體m繞地球自轉軸轉動的向心力，其大小Rcosθ，另一個分力即為重力，即處于緯度為θ的地面上時，則，所以緯度越高，向心力減少，重力增加，這也表明重力加速度g隨緯度升高而增大。因此在南北兩極由于向心力等于零，物體重力最大，重力等于萬有引力，重力加速度也最大；在赤道上向心力最大，物體重力最小，重力加速度最小。要注意的是實際上的重力加速度不僅與緯度有關，還與地球各部分的地質構造有關，一般作理論計算時，只考慮重力加速度與緯度的關系。處于不同緯度時的萬有引力與重力、向心力的關系分別如圖1（b）和圖1（c）所示。雖然在赤道上向心力最大，但是它與萬有引力相比仍然很小，可算出此時：，這就是有時將重力大小近似為萬有引力大小的原因，此時G=mg，得到黃金代換式GM=gR。因此在沒有自轉（或自轉很慢，可忽略）的天體表面也可應用黃金代換式。

在此須特別注意，重力的方向為豎直方向，由圖1可見，重力的豎直方向不是沿著半徑指向地心的方向、不是某一個固定的方向，不同緯度處重力方向不同，也不是垂直地面某點切線方向，其方向由矢量加法所服從的三角形法則或平行四邊形法則確定（南北極和赤道上除外）。可見有人將地球看作球或橢球，認為與球或橢球表面相切的平面（線）為水平面（線），垂直該面（線）的方向就是重力在該點的豎直方向的說法是不正確的。

二、大學物理中萬有引力與重力的關系

大學物理教材中講到地球因為自轉，是一個非慣性參考系，不是一個嚴格的慣性參考系。在該非慣性參考系中，牛頓運動定律不成立，只有假想存在慣性力以后，牛頓運動定律才成立。地面上質量為m的物體受萬有引力和慣性離心力（沒有施力物體）的作用，它們的合力為重力，也就是說萬有引力是重力的一個分力。萬有引力的大小F方向仍指向地心，也就是說物體在非慣性參考系中的萬有引力同于在慣性參考系中的萬有引力，慣性離心力的大小為，方向為垂直地球自轉軸指向地球外，其大小等于慣性參考系中的f。這時物體處于不同緯度上時的萬有引力與重力、慣性離心力關系如圖2所示，可見在非慣性參考系中分析得出的重力大小和方向與慣性參考系是一致的。

根據以上分析，說重力是萬有引力的一個分力，是將地球當作慣性參考系時的說法，說萬有引力是重力的分力則是在非慣性參考系中的說法。由于中學物理中只涉及在慣性參考系中研究問題，所以可認為兩種說法都正確。

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