度規張量的幾何意義和物理意義

——紀念廣義相對論誕生100周年

蔡志東1 ,葛宇宏2

(1.鎮江高等?？茖W校 丹陽師范學院，江蘇 丹陽 212300；

2.南京科技職業學院 基礎教學部，江蘇 南京 210048)

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度規張量的幾何意義和物理意義

——紀念廣義相對論誕生100周年

蔡志東1,葛宇宏2

(1.鎮江高等?？茖W校 丹陽師范學院，江蘇 丹陽 212300；

2.南京科技職業學院 基礎教學部，江蘇 南京 210048)

摘要：度規張量是廣義相對論的核心,要想真正理解廣義相對論,必須首先理解度規張量.系統論述了度規張量的幾何意義和物理意義以及它的一些重要特性, 利用度規張量的意義和等效原理可以快速確定史瓦西度規.

關鍵詞：度規張量；基矢；張量勢；贗引力勢

度規張量究竟表示什么？為什么它能隨意升降張量的指標？迄今為止，尚未見到有人對此作出系統的論述，本文將用通俗易懂的語言系統回答這些問題.

1　張量的三種定義

首先介紹一下張量的一般定義：若有一個物理量,有a個上標λ1,λ2…λa,b個下標σ1,σ2…σb,每個指標均可以從1取到n,如果每一個上指標(逆變指標)均按照逆變矢量的變換規律而變,每一個下指標(協變指標)均按照協變矢量的變換規律而變,則該物理量就稱之為a階逆變,b階協變,總階數為(a+b)階的混合張量,其變換規律為

(1)

(2)

2　度規張量的定義及其對稱性

黎曼認為,在n維空間中,無限靠近的兩點之間的距離平方可以表示為：ds2=gμ νdxμdxν,它不隨坐標系的變換而變,是一個坐標變換的不變量或標量(這樣的空間稱之為黎曼空間),其中的gμ ν定義為黎曼空間的(協變)度規張量,簡稱為協變度規.事實上,因dxμ,dxν均為逆變矢量,所以根據張量的外積定義(張量可以看成矢量的外積)可知,dxμdxν=dxνdxμ為二階逆變對稱張量.由張量的內秉定義可得：gμ ν為二階協變張量.容易證明：對稱張量和反對稱張量的內積必為零.所以度規張量gμ ν和對稱張量dxμdxν的內積只有其對稱部分有貢獻,因此，我們一般認為度規張量gμ ν為對稱張量(事實上,這一性質可直接由它的意義得到).

3　度規張量具有升降指標的作用

AμAμ=λμ νAμAν=R=g0k1k2ds2=

g0k1k2gμ νdxμdxν=g0gμ ν(k1dxμ)(k2dxν)

(3)

4　度規張量的幾何意義

4.1混合度規張量的特性及n維空間中距離微元平方ds2的最一般表示

根據上面所述,度規具有升降指標的作用,由此我們可以寫出n維空間中,無限靠近的兩點之間的距離微元平方ds2的最一般表達式

ds2=gμ νdxμdxν=dxνdxν=dxμdxμ=

gμ νdxμdxν=dxνdxν=dxμdxμ=

(4)

4.2度規張量的幾何意義

4.2.1協變度規的幾何意義

迄今為止,很少見到有人能對度規張量的幾何意義和物理意義作出系統的解釋,這對初學者而言,是一個極大的障礙,是跨入廣義相對論大門的最大絆腳石.

眾所周知,選擇不同的坐標系實際上就是選擇不同的基矢，在球坐標系中(r,θ,φ),設3個正交方向的單位矢量分別為：er,eθ,eφ,則空間任意兩個無限鄰近的點之間的矢量為ds=drer+rdθeθ+rsinθdφeφ=(er)dr+(reθ)dθ+(rsinθeφ)dφ=αrdr+αθdθ+αφdφ,其中αr=er,αθ=reθ,αφ=rsinθeφ為3個方向的基矢,由此得ds2=ds·ds=(αr·αr)dr2+(αθ·αθ)dθ2+(αφ·αφ)dφ2=dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2.根據度規的定義可知,g11=grr=α1·α1=αr·αr=1,g22=gθθ=α2·α2=αθ·αθ=r2,g33=gφφ=α3·α3=αφ·αφ=r2sin2θ,其他交叉項gij=αi·αj=0(i≠j).

不失一般性,在任意n維非正交曲線坐標系中,無限靠近的兩點之間的空間矢量可以表示為ds=αμdxμ=ανdxν,因此,ds2=ds·ds=(αμdxμ)·(ανdxν)=(αμ·αν)dxμdxν,與黎曼的定義式：ds2=gμ νdxμdxν相比較,立即可得

(5)

特別聲明,上式中相同指標不表示求和(廣義相對論中,只有上下指標相同才表示求和),θμ ν為xμ,xν兩個曲線坐標軸相交于某點的兩個切向基矢之間的夾角.此公式極其重要,它表明,度規張量的幾何意義是：非正交曲線坐標系中,任意兩個坐標軸上的“切向基矢的點積”構成的張量, 每個分量的大小由相鄰兩個軸之間的夾角以及相鄰兩個軸上的基矢的長度確定.因此,度規張量能夠準確反映曲線坐標系對平直坐標系的偏離情況.對四維時空而言,度規張量能夠準確反映時空的彎曲情況.

4.2.2逆變度規和混合度規的幾何意義

彎曲空間在無限小范圍內可以近似看作平直空間,正如曲線坐標系在無限小范圍內可以近似看作平直坐標系一樣.在這樣一個近似的線性空間中,任意一個微元矢量ds可以有無數種表示方法.選擇不同的基矢就有不同的坐標.現在我們選擇一組基矢(協變基矢)(αμ)=(α1,α2…,αn),在這一組協變基矢下,微元矢量ds在每個坐標軸上的坐標分別為(dxμ)=(dx1,dx2…,dxn),它構成n維空間的逆變矢量.即：ds=αμdxμ,ds2=(αμ·αν)dxμdxν=gμ νdxμdxν.現在我們另取一組基矢(逆變基矢)：(βν)=(β1,β2…,βn),在這一組逆變基矢下,微元矢量ds在每個坐標軸上的坐標分別為(dxv)=(dx1,dx2…,dxn)，它構成n維空間的協變矢量,此時有：ds=βνdxν=βμdxμ,ds2=ds·ds=(βμdxμ)·(βνdxν)=(βμ·βν)dxμdxν=gμ νdxμdxν,由此得

(6)

式(6)中的θμ ν為坐標xμ,xv在某點切向基矢之間的夾角(注意因為都是上標,所以相同指標不表示求和).式(6)表明：逆變度規張量可以看成兩個“逆變基矢的點積”構成.

下面我們討論混合度規張量,這是真正的關鍵所在.根據上面的討論,顯而易見有

(7)

式(7)是一個極其重要的關系式,它表明：逆變基矢βμ和協變基矢αν之間滿足克羅內克關系,因此,我們可以從一組基矢導出另外一組基矢,或者說從一個坐標架構導出另一個坐標架構.再次強調一下：協變基矢對應逆變坐標微元矢量,逆變基矢對應協變坐標微元矢量,協變度規由兩個協變基矢點積而成,逆變度規由兩個逆變基矢點積而成.

兩組基矢之間的關系可以用一個簡單的圖表示,圖1以三維非正交曲線坐標為例,表示了兩組基矢之間的關系.其中的(α1,α2,α3)為非正交的3個協變基矢(虛線表示),而(β1,β2,β3)為3個逆變基矢(實線表示).

圖1　協變基矢和逆變基矢關系圖

根據圖1,我們可以非常清楚地知道：“為什么度規張量能夠隨意地升降張量的指標？”,原因在于,張量可以看成矢量的外積,而矢量可以有兩種表示方法,在協變基矢下為逆變矢量,在逆變基矢下為協變矢量.所謂“升降指標”實際上就是同一個東西(矢量或張量)用不同的方法表示而已.

4.2.3度規張量的基本性質

根據上面的討論,特別是根據圖1,立即可得度規張量的兩個重要性質：

(1)它是對稱張量(因αμ·αν=αν·αμ,βμ·βν=βν·βμ,所以gμ ν=gν μ,gμ ν=gν μ)

(2)在任意正交曲線坐標系中,只有非交叉項不為零,交叉項gμ ν=0(μ≠ν).正因為如此,所以在直角坐標系、球坐標系和柱坐標系中,均只有非交叉項如g11,g22,g33等.

4.2.4狹義相對論中不分逆變和協變的原因

5　度規張量的物理意義

通過和電磁場的比較,可以清楚地知道度規張量的物理意義.眾所周知,電磁場可以用電場強度E和磁感應強度B來描述,也可以用四維勢Aμ=(A1,A2,A3,iφ/c)描述.當用場強E、B描述時,電磁場方程就是麥克斯韋方程組(兩對四個),分別為

(8-1)

(8-2)

當我們用四維勢Aμ描述時,實際上這兩對方程可以合并為兩組關于Aμ的二階偏微分方程.令電磁場張量為：Fμ ν=?Aν/?xμ-?Aμ/?xν則式(8)中的兩對方程可分別寫為[5]：

(9-1)

或

(9-2)

(10-1)

或

(10-2)

(11)

式(11)中的□=?2/?xν?xν為洛倫茲標量算符,說明真正有用的方程是式(11),確定了Aμ,場強E和B均可以確定.由此可知,電磁場方程無非就是關于Aμ的4個二階偏微分方程而已.

類似地,引力場可以用場強g描述,也可以用“引力場的勢”描述.在愛因斯坦引力場方程Rμ ν-gμ νR/2=κTμ ν中,左邊的里奇張量Rμ ν和曲率標量R均是由黎曼曲率張量通過縮并而得,所以它們都包含了度規對時空坐標的二階和一階偏導數,所以場方程是關于gμ ν或gμ ν的二階非線性偏微分方程組.和電磁場比較,我們可以知道,度規相當于引力場的勢.

但是,“引力勢”既非電勢那樣的標量勢,也非磁勢那樣的三維矢量勢,而是具有16個分量的張量勢(只有10個獨立).它比用場強g描述引力場要好千萬倍,能夠真正全面地反映引力場的分布和它對時空的影響.知道了度規張量,也就知道了引力勢的時空結構,引力場的一切性質以及它對時空的影響就能了如指掌.度規之所以具有“勢“的特點,還因為勢具有一定的不確定性(勢能或勢是相對的),而度規也是這樣.把度規的各個分量都擴大或縮小若干倍,不影響引力場的性質.度規分量之間的內在聯系是絕對的,但是數值是相對的.

在正交曲線坐標系中,引力場的“張量勢”只有4個分量.一般情況下,由于時空互相影響,必須用16個分量的“張量勢”才能準確描述引力場的特性.

6　利用度規張量的意義和等效原理快速確定史瓦西度規

迄今為止，所有的相對論專著在求解“靜態球對稱的真空引力場方程的解”——即所謂的Schwarzschild(史瓦西)外解時，都是采用直接求解愛因斯坦引力場方程，從而獲得史瓦西度規的.這種方法繁瑣復雜，筆者利用度規張量的意義和等效原理，能夠快速確定史瓦西度規.下面詳述其過程.

第一步，根據度規的幾何意義，它表示曲線坐標軸上的切向基矢之點積.由于靜態球對稱引力場不隨時間而變，因此，這意味著時間坐標軸和三維空間坐標軸是正交的(因為時間變化時，空間分量可以不變，所以時間軸和空間軸必然互相垂直).另一方面，由于引力場僅沿著徑向分布，不影響角向，因此，空間部分可采用球坐標(r,θ,φ)來描述.這樣，4個坐標軸都是互相正交的.根據度規的幾何意義，立即可得：史瓦西度規只有4個分量不為零即：g11,g22,g33,g44(取x4=ict)或g00,g11,g22,g33(取x0=ct)，其余所有交叉項gμ ν=0(μ≠ν).

第二步，根據引力場具有球對稱性和上面的討論，可以大致確定史瓦西度規的形式為：ds2=g11dr2+g22dθ2+g33dφ2+g44d(ict)2，由于引力場不影響角向的度規或引力勢，因此中心對稱的引力場的度規分量g22,g33與無引力時的真空度規完全一致，即有g22=r2，g33=r2sin2θ.于是，我們只需要確定度規分量g11,g44即可.

第三步(最關鍵的一步)，利用等效原理，無限小范圍內，引力場等效于一個加速參照系(它會產生慣性力場).設想一個電梯從無窮遠處開始在球對稱引力場中向著球心自由下落，則在電梯內，一切物體都將處于完全失重狀態.因此，這樣的一個變加速系可以完全等效引力場，即引力場對時空的一切影響和一個“由無窮多個瞬時慣性系構成的變加速參照系”完全一致(這些瞬時慣性系均沿著徑向向球心運動).于是廣義相對論中的引力問題就轉化為了(無限小時空范圍內的)狹義相對論問題.眾所周知，狹義相對論中有

ds2=dr2/(1-v2/c2)+r2dθ2+r2sin2θdφ2+

(1-v2/c2)(icdt)2

(12)

很多人會提出疑問，認為這個是在弱場低速下導出的，未必適合強場高速.下面，筆者將對此作出解釋.當電梯從無窮遠處向引力中心(球心)下落時，電梯的速度越來越大，同時引力場也越來越強.在最一般的情況下，可以假定物體的動能和速度之間呈一種復雜的函數關系：T=T(v2)(寫成這種形式是考慮到動能和速度的方向無關，±v對應的動能相同，所以沒有寫成T=T(v)).根據級數理論，無論多么復雜的函數，只要令自變量小于1，總可以把它展開成無窮級數：即T=T0+T1(v2)+[T2(v4)+T3(v6)+…Tn(v2n)+…]，其中的T0為速度v=0時的動能(零點動能，一般認為是零)，T1(v2)為速度較小(高次項可以忽略)時的經典動能T1(v2)=m0v2/2.其他高次項(方括號中的項)為速度較高時相對論性修正項.根據狹義相對論，滿足洛倫茲變換的動能為

與此相似，滿足洛倫茲變換的引力勢能無論它和半徑r的關系多么復雜，總可以寫成U=U+U1(1/r)+[U2(1/r2)+U3(1/r3)+…Un(1/rn)+…]，其中的U為無窮遠處的勢能(通常假定它為零).U1(1/r)為離開引力中心較遠距離處的經典勢能(高次項可以忽略)，即牛頓引力勢能：U1(1/r)=-Gm0M/r，當離開中心較近時，引力勢能將不再符合牛頓公式，需要加上一個額外的相對論性修正項，即U表達式中的方括號項.如果我們假定在無窮遠處電梯的動能為零，引力勢能也為零，則在此后下落的任意一時刻，由于能量守恒，其總能量仍然為零，即

E=T+U=[T0+U]+[T1(v2)+U1(1/r)]+

(13)

式(13)中右邊的第1個方括號為零，第2個方括號在較遠距離處為零，因而第3個方括號在較遠距離處也為零.理所當然地，在較近距離處，第3個括號也為零，因此在較近距離處，第2個方括號仍然為零.即強場高速下，仍然有v2=2GM/r. 因而我們得出的史瓦西度規具有普遍的意義.

總而言之，了解度規張量的幾何意義和物理意義不僅對理解廣義相對論非常重要，而且在實際的應用中也有用處.

參考文獻:

[1]須重明 吳雪君.廣義相對論與現代宇宙學[M].南京：南京師范大學出版社,1999.

[2]趙崢 劉文彪.廣義相對論基礎[M].北京：清華大學出版社,2010.

[3]趙崢.廣義相對論入門講座連載④—度規張量[J].大學物理,2011,30(10)：60-61.

[4]梁燦彬 周彬.微分幾何入門與廣義相對論:上冊[M].北京：科學出版社,2006.

[5]郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社,1997.

[6]馮麟保 劉雪成 劉明成.廣義相對論[M].長春：吉林科學技術出版社,1995.

(編輯：郝秀清)

Geometricandphysicalmeaningofthemetrictensor

——Tocommemoratethe100anniversaryofthebirthofgeneralrelativity

CAIZhi-dong1,GEYu-hong2

(1.DanyangNormalCollege，ZhenjiangCollege,Danyang212300,China;

2.DepartmentofBasicScience,NanjingPolytechnicInstitute,Nanjing210048,China)

Abstract:Metric tensor is the core of the general theory of relativity.To truly understand the general theory of relativity,we must understand the meaning of metric tensor.The system discussed the geometric and physical meaning and some of its important characteristics of the metric tensor. Using the significance of metric tensor and principle of equivalent，we can quickly determines the Schwarzschild’s metric tensor.

Key words:metric tensor; the basic vector; tensor potential; counterfeit gravitational potential

中圖分類號：O412.1

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2015)04-0025-06

作者簡介：蔡志東,男,czd196261@sina.com

基金項目：江蘇省教育科學“十二五”規劃2013年度重點課題(B-b/2013/03/071)；鎮江高等?？茖W校科研團隊資助項目(ZJCKYTD 20 )

收稿日期：2014-09-30