任意波形失真度的一種評價方法

孫璟宇，王中宇，梁志國

(1.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100191;2.北京長城計量測試技術研究所，北京100095)

在波形測量中，實際獲取的信號與原始信號(或期望的信號)的一致性是首要關注的問題，否則測量結果的可信性將受到質疑.通常，對于“簡單”的波形，二者的一致性可能通過這些波形的典型參數來描述，例如波形的幅度、頻率、時間或相位偏移、幅度偏移等，更進一步地，包括波形的“面積”(如有效值)等參數;但對于復雜波形來說(例如一般意義上的“任意波形”)，這些參數可能不具有“典型”意義(例如噪聲的幅度)，或者無法進行定義(例如噪聲的頻率)，抑或不具有校準的唯一性意義(例如具有相同有效值的兩個波形不能推斷兩個波形一致).而從人們的主觀感受出發，波形的“失真度”卻可以反映兩個波形之間不一致的程度.

通常，人們定義了正弦波形的失真度指標，用來衡量其諧波分量的大?。?］，并有大量的文獻對此進行了研究［2-11］;在某些文獻中，脈沖信號的失真也被定義和提及［12-13］.而對于其他波形，特別是一般形式的任意波形，為了表征測量波形與原始波形的一致性，人們也嘗試定義了相應的失真度指標，并給出了測量方法［14］.本文則站在對任意波形校準的立場上，就任意波形失真度的評價問題展開討論.

1 任意波形失真度的定義與評價前提

1.1 任意波形失真度的定義

文獻［14］中給出了任意波形總失真度的定義:周期信號實際波形與其最優期望波形間殘差的有效值和最優期望波形交流分量有效值之比.即，對于周期為T的已知信號x(t)，其實際波形函數為 y(t)，存在 G，Q，t0∈R，且

使得

則y(t)相對于其最優期望波形的總失真度DT定義為

其中，t0為y(t)與x(t)之間的時間延遲;G為波形(幅度)比例因子;Q為波形(幅度)位置偏移量;x(t)為期望波形;f(t)為最優期望波形;為最優期望波形的均值;fr為最優期望波形交流分量的有效值;ρ為y(t)與f(t)之間殘差的有效值，表述波形失真.

1.2 任意波形失真度評價的基本前提與假設

為了進行任意波形失真度的評價，有如下的基本前提與假設:

1)談論到任意波形，人們通常的理解是“任意”給定的波形，或者按照人們的意志“隨意”給定的波形.這在通常意義下是對的，也就體現了“任意”性.但談到對于任意波形的校準，這樣的任意顯然是行不通的，因為假如人們事先對于所要校準的任意波形一無所知，則校準根本無從談起.因此，談到對任意波形的校準，事先必須已知被校準任意波形的模型或參數，然后才能針對這一模型或參數進行校準.

為此，在物理可實現的情況下，周期為T的周期性任意波形一般可以表示為如下形式:

其中，τ為一個實數，代表與t=0時刻相對應的值在曲線函數中的位置;波形在一個周期內可以分割為m段，每段的函數規律和占用的時間比都是嚴格已知的.

2)本文后續的討論，均認為研究的任意波形是周期性的.實際上，對于“單次”的任意波形，可以通過周期延拓的辦法將其拓展為周期波形，因此不影響相應的討論過程與結論的得出.

3)用于評價的采樣設備的參數或性能指標已知.包括采樣使用的采樣速率、有效位數、量程等，以及相應參數的不確定度.

2 任意波形失真度評價的過程

任意波形失真度評價的過程，簡單地來說，需要使用數據采集系統、數字示波器等波形采樣設備獲得任意波形，然后對采集到的實際波形與已知任意波形進行比較，從而給出波形的失真度.具體過程如下:

1)對于已知模型的目標任意波形，選取采集系統適當的量程(一般使任意波形的峰峰值達到其80% ～90%)、采集速率rs(根據采樣定律，理論上采樣速率應高于被校任意波形最高諧波頻率的2倍;實際中根據需要選擇可接受的將被忽略的最高諧波頻率)進行采樣，獲得相應的采樣序列 y(k)，k=1，2，…，m.

2)由于此時采集的y(k)相對于式(1)所示目標波形的“初始位置”一般不會一致，因此需要將目標波形進行相應的平移，亦即對目標波形延遲τ0得到 x(t－τ0)，使二者在起始時間上“對準”.這一過程，就是要對目標波形x(t)延遲時間τ，使用相同的采樣速率rs進行采樣得到x(k)，并與實際采樣序列y(k)進行非線性最小二乘擬合運算，找出“最佳的”延遲時間τ0，并得到此時的目標波形 x0(t)的采樣序列為 x0(k)，k=1，2，…，m.

此時，由于實際采集序列y(k)與目標序列x0(k)存在幅度的比例關系(由于采集系統傳遞函數的模不為1，亦即對于波形采集存在幅度的“放大”或“縮小”)，因此以下證明，即使二者存在這種幅度的比例關系，上述最小二乘擬合運算的結果也是正確的.

為此，假設y(k)對應的連續波形y(t)與目標波形x(t)恰好“對準”，亦即

則

注意到，由于x(t)以T為周期，因而有

于是

于是就有ε≤0，也就是說，即使實際測量的信號幅度按比例進行了縮放，但在“相似對齊”的情況下，其與目標信號的誤差平方和也是最小的.

3)為敘述方便，以下將x0(t)簡記為x(t);并令與測量波形y(t)最小二乘最優的期望函數為f(t)=G·x(t)+Q.即，選取合適的G與Q，使得

則有

測量數據的總失真度:

修正掉測量設備的A/D位數DB的影響后，則信號 y(t)的總失真度為［15］

式中，ξ為周期信號交流有效值和峰值之比;η為周期信號峰峰值與測量設備量程之比.

3 實驗驗證

為了驗證上述評價過程的可行性，選取典型的心電圖波形進行實驗，如圖1所示.為簡化驗證過程，只選取心電波形中包含P波和QRS波的P-R間期和 QRS時限.對此建立函數模型如下(單位:mV;周期 0.4 s，峰值 0.7 mV，峰峰值1.1 mV):

圖1 正常心電圖示意圖Fig.1 Sketch of normal electrocardiogram

1)按照上述評價過程，首先使用Tektronix AWG20212任意波發生器模擬產生該波形(實際模擬發生時將幅度放大3 000倍，即:峰值2.1 V，峰峰值3.3 V)，并使用Tektronix TDS7104數字存儲示波器進行采集，獲得采樣波形y(k)，見圖2中序列1.

圖2 采樣波形與擬合序列Fig.2 Sample waveform and fit waveform

2)使用相同的采樣速率采樣x(t－τ)，并與上述采樣波形進行非線性最小二乘擬合，得到擬合波形x(t－τ0)，如圖2中序列2.

3)構造f(t)=G·x0(t)+Q，并與y(k)進行最小二乘擬合;按照式(2)、式(3)得:G=2.9952，Q= －0.0167 V，如圖2中序列 3.從而根據式(4)計算:

DTs= ρ/fr=0.02789/0.4153=6.7%

4)修正測量設備的A/D位數DB的影響(使用數字存儲示波器的量程為5V，DB的位數為6.1 位)，根據式(5)計算:

4 結論

任意波形的失真度，能夠反映被測信號中“無用”或“有害”信號的大小，從而反映信號的品質.對其進行評價，在諸如軍事、工業測控、醫療、科學實驗與仿真等領域具有特別的需求.從本文的討論中，可以得出以下結論:

1)文獻［14］所描述的任意波形失真度的一般定義具有廣泛的適應性，可以從時域角度定量描述被測波形與其期望波形之間的差異，并且在現實中是完全可以實現的.

2)經過理論推導，可以使用簡便的方法，通過波形非線性擬合，得到被測任意波形的最佳擬合波形，從而得出被測波形的失真度.

3)由于該方法使用時域計算就能完成整個評價過程，對數據采樣沒有整周期或者同步的要求，可以完全避免頻譜分析方法所固有的柵欄效應或頻譜泄漏帶來的評價誤差問題，從而使所有采集到的數據均得到有效利用.同時，也因為避免了繁瑣的頻域計算與時頻域轉換過程，而且步驟簡單易行，甚至在目前的技術條件下，使用普通的個人計算機就能夠達到實時評價的程度.

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