基于數(shù)據(jù)鏈的空戰(zhàn)對(duì)抗建模及增援決策分析

牛德智，陳長(zhǎng)興*，徐浩翔，李永賓，王卓，陳強(qiáng)

(1.空軍工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710051;2.空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710051)

在信息化戰(zhàn)爭(zhēng)條件下，航空武器系統(tǒng)越來(lái)越倚靠于高效可靠的通信手段來(lái)保障其性能發(fā)揮.數(shù)據(jù)鏈的出現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)共享、精確指揮控制和武器協(xié)同打擊的無(wú)縫鏈接［1－2］，成為武器裝備的生命線(xiàn).另外，衡量航空武器系統(tǒng)整體的作戰(zhàn)效能［3－5］，對(duì)于科學(xué)研判和有效分析系統(tǒng)的整體性能，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.從系統(tǒng)融合的角度出發(fā)［6］，將效能評(píng)估和作戰(zhàn)應(yīng)用銜接起來(lái)構(gòu)成環(huán)路，是研究現(xiàn)代空戰(zhàn)規(guī)律的必然要求，掌握空戰(zhàn)變化的內(nèi)部規(guī)律，無(wú)疑會(huì)使得整個(gè)空戰(zhàn)的安排部署和指揮決策更加合理和高效.

在現(xiàn)有針對(duì)航空作戰(zhàn)的研究中，主要集中在兩方面［7－9］:一種是不同想定場(chǎng)景不同衍化規(guī)律下的作戰(zhàn)雙方數(shù)量變化情況，這種研究一般戰(zhàn)場(chǎng)信息交互作用(數(shù)據(jù)鏈)考慮得少，也未針對(duì)不同武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能如何體現(xiàn);另一種是停留在僅從頂層設(shè)計(jì)作戰(zhàn)流程或過(guò)程的框架結(jié)構(gòu)上，考慮的因素和方面很廣但是難以有效聚合起來(lái)，形成量化或程式的部署和決策準(zhǔn)則.對(duì)于航空作戰(zhàn)這樣一個(gè)體系復(fù)雜的系統(tǒng)過(guò)程，需要通過(guò)全要素分析形成具有相互關(guān)聯(lián)的輸入輸出網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，從而將“作戰(zhàn)—評(píng)估—運(yùn)用”的環(huán)路有效連接起來(lái)，以期實(shí)現(xiàn)作戰(zhàn)效果的最優(yōu)化.文獻(xiàn)［10］用多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃的方法研究了數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)效能評(píng)估中的權(quán)重問(wèn)題，但是該方法實(shí)現(xiàn)起來(lái)具有一定的時(shí)間復(fù)雜度，且權(quán)重法獲得的效能本身主觀(guān)性就較大.文獻(xiàn)［11］分析了數(shù)據(jù)鏈對(duì)發(fā)現(xiàn)概率、擊毀概率的影響，并將這種影響體現(xiàn)到雙方參戰(zhàn)或退出戰(zhàn)斗飛機(jī)的數(shù)量中來(lái)，這實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)鏈與作戰(zhàn)過(guò)程的聯(lián)系，但是它主要側(cè)重于從不同作戰(zhàn)單元的打擊概率等描述整體的作戰(zhàn)能力，未能給出整個(gè)戰(zhàn)斗過(guò)程的兵力變化規(guī)律.文獻(xiàn)［12］考慮信息因素對(duì)作戰(zhàn)的影響，在藍(lán)徹斯特方程中引入了具有交互功能的戰(zhàn)場(chǎng)感知系數(shù)，進(jìn)而將其作用到交戰(zhàn)過(guò)程中的兵力變化，具有一定的借鑒意義，但是未能結(jié)合不同對(duì)象的作戰(zhàn)效能大小進(jìn)行研究.在藍(lán)徹斯特方程運(yùn)用方面，文獻(xiàn)［13］研究了基于藍(lán)徹斯特方程的兵力增援優(yōu)化控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［14］利用藍(lán)徹斯特方程和微分對(duì)策研究了最優(yōu)火力分配的優(yōu)化對(duì)策問(wèn)題，給出了作戰(zhàn)對(duì)策的最優(yōu)性條件和求解方法.

本文的出發(fā)點(diǎn)在作戰(zhàn)環(huán)路內(nèi)討論雙方力量構(gòu)成的變化規(guī)律.通過(guò)將效能評(píng)估的結(jié)果轉(zhuǎn)化為表征作戰(zhàn)效率的平均戰(zhàn)斗力水平，據(jù)此建立兵力變化數(shù)學(xué)模型，并主要對(duì)不同增援模式下的戰(zhàn)斗結(jié)果進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，確定了實(shí)際中應(yīng)采用的增援作戰(zhàn)形式.

1 飛機(jī)作戰(zhàn)效能

在對(duì)作戰(zhàn)飛機(jī)進(jìn)行效能評(píng)估時(shí)，可以采用計(jì)算空戰(zhàn)能力指數(shù)的方法來(lái)衡量.該方法選用有關(guān)空戰(zhàn)的7個(gè)主要項(xiàng)目來(lái)衡量飛機(jī)的空對(duì)空作戰(zhàn)能力［15］，并將空戰(zhàn)能力指數(shù)表示為

其中，I為空戰(zhàn)能力指數(shù);A1～A3分別為火力、機(jī)動(dòng)性、探測(cè)目標(biāo)能力參數(shù);ξ1～ξ4分別為生存力、電子對(duì)抗能力、航程、飛行員操縱效能系數(shù).空戰(zhàn)能力指數(shù)一般遠(yuǎn)大于1.空戰(zhàn)能力指數(shù)定量體現(xiàn)了戰(zhàn)機(jī)的作戰(zhàn)能力，在針對(duì)空戰(zhàn)對(duì)抗建模時(shí)需要將其轉(zhuǎn)化成單機(jī)對(duì)單機(jī)的毀傷效率(或毀傷能力)，這就是平均戰(zhàn)斗力水平.

為此，作如式(2)的變換，將空戰(zhàn)能力指數(shù)I變換為在區(qū)間(0，1)上的平均戰(zhàn)斗力水平γ(其中k為一正比例調(diào)節(jié)因子，引入它是防止變換所得的γ在數(shù)值上過(guò)于集中).

此處說(shuō)明，γ的物理意義就是空戰(zhàn)對(duì)抗時(shí)我方單機(jī)對(duì)敵方單機(jī)(或敵方單機(jī)對(duì)我方單機(jī))的毀傷效率.容易證明γ和I具有變化的一致性，即γ在保證空戰(zhàn)能力指數(shù)特性的情況下，可以用來(lái)作為平均戰(zhàn)斗力水平.

2 空戰(zhàn)力量對(duì)比的建模分析

2.1 數(shù)據(jù)鏈體制下的動(dòng)態(tài)力量變化微分模型

在對(duì)作戰(zhàn)兵力變化規(guī)律的研究中，藍(lán)徹斯特方程［16］可以反映兵力編成和裝備特性因素的變化結(jié)果，適用于多種類(lèi)型作戰(zhàn)模擬.本文的分析將以藍(lán)徹斯特方程為基礎(chǔ)，并以此對(duì)不同場(chǎng)景下的兵力變化過(guò)程進(jìn)行建模及仿真.此處給出藍(lán)徹斯特平方律方程的表達(dá)式為

式中，R和B分別為紅、藍(lán)軍在時(shí)刻t的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量;α和β分別為藍(lán)、紅軍每個(gè)戰(zhàn)機(jī)的平均戰(zhàn)斗力水平，其求解可通過(guò)式(1)～式(2)來(lái)實(shí)現(xiàn).用式(3)描述的模型為雙方均采用單一機(jī)型對(duì)抗時(shí)的雙方數(shù)量變化情況，若雙方作戰(zhàn)投入的是不同數(shù)量的多機(jī)型戰(zhàn)機(jī)，則相應(yīng)的雙方數(shù)量變化模型為

該模型中，藍(lán)、紅軍分別投入J種、L種機(jī)型，相應(yīng)的Bj和Rl表示不同機(jī)型的數(shù)量;αj，l表示藍(lán)軍第j種機(jī)型對(duì)紅軍第l種機(jī)型的平均戰(zhàn)斗力水平;βl，j的意義類(lèi)似.需要說(shuō)明的是，多機(jī)型對(duì)抗時(shí)，每種機(jī)型對(duì)敵方的某一機(jī)型的空戰(zhàn)能力指數(shù)I都是不同的，因?yàn)镮受7個(gè)不同參數(shù)的控制，而這些參數(shù)都是與參與作戰(zhàn)的雙方機(jī)型相關(guān)的，這樣就會(huì)有不同的平均戰(zhàn)斗力水平 αj，l和 βl，j.

在實(shí)際中，若要對(duì)多機(jī)型的情況進(jìn)行分析，則應(yīng)在式(4)的基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)公式的變化.在下文中，為了說(shuō)明空戰(zhàn)對(duì)抗的建模方法及求解過(guò)程，以及說(shuō)明不同增援模式的性能優(yōu)劣結(jié)論，仍以雙方為單機(jī)型對(duì)抗的情況進(jìn)行分析.對(duì)式(3)求其狀態(tài)解可得(B0和R0分別表示雙方的初始數(shù)量):

考慮紅軍(或藍(lán)軍)裝備數(shù)據(jù)鏈時(shí)的雙方對(duì)抗中的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量變化情況.數(shù)據(jù)鏈由于具有態(tài)勢(shì)共享和武器協(xié)同等優(yōu)勢(shì)，可以顯著提高飛機(jī)的空戰(zhàn)能力，所以在考慮數(shù)據(jù)鏈時(shí)若其對(duì)紅軍戰(zhàn)斗力水平的提升率為λ，則紅軍的平均戰(zhàn)斗力水平變?yōu)棣?1+λ)，對(duì)于未裝備數(shù)據(jù)鏈的藍(lán)軍，其戰(zhàn)機(jī)的平均戰(zhàn)斗力水平改變?yōu)棣?1－λ)，于是可建立數(shù)據(jù)鏈體制下雙方力量動(dòng)態(tài)變化的數(shù)學(xué)模型為

若雙方均采用數(shù)據(jù)鏈，需定義相對(duì)提升率并將其運(yùn)用到上式中，給出相對(duì)提升率為

由該定義式可知，λr可正可負(fù)，為正時(shí)雙方數(shù)據(jù)鏈的綜合作用是紅軍戰(zhàn)斗力水平得到提高，反之為負(fù)時(shí)藍(lán)軍得到提高.事實(shí)上，引入數(shù)據(jù)鏈的戰(zhàn)機(jī)，由于具有了態(tài)勢(shì)共享功能，在某種程度上說(shuō)它可使戰(zhàn)機(jī)具有先敵發(fā)現(xiàn)和遠(yuǎn)距離打擊的優(yōu)勢(shì).對(duì)應(yīng)到空戰(zhàn)能力指數(shù)的相關(guān)參數(shù)中，其可以影響探測(cè)目標(biāo)能力和電子對(duì)抗能力等［17－18］，進(jìn)而提升戰(zhàn)機(jī)的空戰(zhàn)能力.數(shù)據(jù)鏈對(duì)戰(zhàn)機(jī)作戰(zhàn)能力的影響，體現(xiàn)到模型中就是其影響了平均戰(zhàn)斗力水平，故本文采用一個(gè)對(duì)平均戰(zhàn)斗力具有綜合作用的提升率修改空戰(zhàn)對(duì)抗的數(shù)學(xué)模型，該提升率的大小與雷達(dá)搜索方位角、雷達(dá)探測(cè)距離、協(xié)同作戰(zhàn)時(shí)的機(jī)間距離等因素有關(guān).

進(jìn)一步，在有增援時(shí)，可建立該情形下的空戰(zhàn)模型為

式中，μ1(t)和μ2(t)為雙方的增援率;t1和t2為增援開(kāi)始的時(shí)刻;ε(t)為階躍函數(shù)，用它來(lái)表示只有當(dāng)增援時(shí)間開(kāi)始時(shí)，增援力量才能加入.

2.2 模型離散化和數(shù)值計(jì)算方法

借助相關(guān)軟件求解微分方程組的方法不易分析變量的變化規(guī)律，尤其本文考慮增援的情況下不易在求解中體現(xiàn)不同增援時(shí)刻的影響，故應(yīng)設(shè)計(jì)合理的數(shù)值求解方法.將式(3)中的第1個(gè)方程進(jìn)行離散處理，得其差分形式為

在式(9)中，Δt為一較小的時(shí)間步長(zhǎng)，其選取原則是，可維持原微分方程中變量的變化規(guī)律.在對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化處理時(shí)，依次令 t=0，Δt，2Δt，…，nΔt(n表示總戰(zhàn)斗回合數(shù)，即每個(gè)戰(zhàn)斗回合雙方均有對(duì)抗攻擊，但該回合內(nèi)并不能完全摧毀對(duì)方)，并記 RnΔt為 Rn，則式(9)化為

接下來(lái)，需確定如何選取合適的 Δt.文獻(xiàn)［12］中也對(duì)藍(lán)徹斯特方程進(jìn)行了差分處理，但其實(shí)質(zhì)是直接令Δt=1，這樣處理獲得的數(shù)據(jù)具有片面性，并未能完全體現(xiàn)出變量的變化規(guī)律，也不利于通過(guò)數(shù)據(jù)變化研究作戰(zhàn)規(guī)律.為此，寫(xiě)出式(10)的完整形式:

將上式中的n個(gè)等式進(jìn)行相加，得

若考慮藍(lán)軍失敗，則 Bn－1=0，這樣可將 Bn－1的變化規(guī)律近似用等差數(shù)列來(lái)描述，相應(yīng)的式(12)簡(jiǎn)化為

由上式可求

在式(5)中，若藍(lán)軍失敗則有B=0，于是

這樣綜合式(14)和式(15)就可以求得時(shí)間步長(zhǎng)Δt(實(shí)際計(jì)算時(shí)所取的時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)小于或等于該值).另外，若紅軍失敗，則相應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng)為

得到Δt后，則與模型式(6)對(duì)應(yīng)的離散模型為

若考慮增援以上模型需修改為

式中 m1，m2=0，1，2，…為整數(shù)，表示增援開(kāi)始時(shí)刻.戰(zhàn)斗結(jié)束時(shí)(n=N)獲勝方(如紅軍)共增援飛機(jī)數(shù)為 Rs=μ1·Δt·(N －nm1+1)，損失數(shù)為Rd=R0+Rs－RN.

2.3 增援作戰(zhàn)時(shí)的模型分類(lèi)

為了研究不同增援模式對(duì)空戰(zhàn)雙方兵力變化及戰(zhàn)斗結(jié)果的影響，考慮具有恒定和變化增援率的戰(zhàn)斗力量加入到雙方對(duì)抗的數(shù)學(xué)模型中，研究的目的在于給出在有限增援?dāng)?shù)量(可采取恒定或變化增援率的方案對(duì)作戰(zhàn)主體進(jìn)行增援)或者增援?dāng)?shù)量不足需要補(bǔ)充增援(以變化增援率的方案對(duì)作戰(zhàn)主體進(jìn)行增援，又可將其分為勻加速增援和勻減速增援)的情況下，哪種增援方式能夠使得獲勝方損失的戰(zhàn)斗數(shù)量少，同時(shí)所要求的增援總數(shù)不是很多.這樣，給出3種增援模式(勻速、勻加速、勻減速)下增援?dāng)?shù)量的變化規(guī)律為

式中，c為勻速增援的速率;c1和c2分別為變速增援時(shí)的起始速率.考慮勻速增援的總數(shù)為F，持續(xù)時(shí)間為 t，則，可得t=F/c.若在勻加速增援時(shí)維持相同的增援時(shí)間和總數(shù)，并且保持增援速率v一定，則可由求得初始時(shí)刻的增援速率為c1=(2F－vt2)/(2t).類(lèi)似地，可由求得c2=(2F+vt2)/(2t).

在確定了勻加速和勻減速的初始增援速率值以后，3種增援模式的離散變化規(guī)律可以表示成

為簡(jiǎn)化問(wèn)題起見(jiàn)，僅考慮紅軍有增援的情形，將式(20)代入到式(18)中，可得具有變速率增援的雙方力量動(dòng)態(tài)變化模型為

在式(5)、式(15)和式(21)中，考慮的都是增援一旦實(shí)施，就維持到戰(zhàn)斗結(jié)束直至一方獲勝.特別地，考慮勻速增援時(shí)的兩種特例，即勻速率增援至某一時(shí)間后停止增援、一次性增援一定數(shù)量的飛機(jī)后不再增援，其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如下.

勻速增援維持一段時(shí)間:

上式表示的含義為增援在［nm1，nm′1］(即時(shí)間范圍為［m1Δt，m′1Δt］)內(nèi)起作用.

一次性增援:

其中δ(n)表示沖激函數(shù)，用來(lái)說(shuō)明一次性增援量M只在nm1時(shí)刻加入.

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

設(shè)定參數(shù)為:紅、藍(lán)軍所用的機(jī)型為F－14A和F－15E，數(shù)量分別為10和15架.此處機(jī)型的選取只是為了將本文所建模型加以運(yùn)用，并按照一組選定的機(jī)型作戰(zhàn)給出不同增援方式的優(yōu)劣結(jié)論，所以并未選擇具有實(shí)際對(duì)立方或假想敵之間所采用的機(jī)型，如美制和俄制戰(zhàn)機(jī)等，若多機(jī)型對(duì)抗時(shí)則采用相應(yīng)的多機(jī)型戰(zhàn)機(jī)數(shù)量變化模型進(jìn)行仿真，特此說(shuō)明.根據(jù)式(1)可計(jì)算得二者的空戰(zhàn)能力指數(shù)為13.4和19.8(文獻(xiàn)［17］)，采用本文的平均戰(zhàn)斗力水平轉(zhuǎn)化方法，分別求得β=0.58和α=0.7(取k為1/10).該組參數(shù)下紅軍的整體實(shí)力較弱，考慮其引入數(shù)據(jù)鏈會(huì)使平均戰(zhàn)斗力水平提升25%，即λ=0.25.如前文所述，λ的數(shù)值與雷達(dá)搜索方位角、探測(cè)距離以及協(xié)同作戰(zhàn)時(shí)的機(jī)間距離等有關(guān)，若結(jié)合“數(shù)據(jù)鏈為武器效能倍增器”的性能描述，則取λ=0.33較為合適，因?yàn)榇藭r(shí)(1+λ)/(1－λ)=2，即戰(zhàn)斗力提高1倍.另外在文獻(xiàn)［17］所做的仿真實(shí)驗(yàn)中也指出，使用數(shù)據(jù)鏈一方相比未使用數(shù)據(jù)鏈一方的戰(zhàn)斗力強(qiáng)出約30%.在這些參數(shù)下研究雙方作戰(zhàn)的力量變化較為符合實(shí)際，但是經(jīng)本文算例實(shí)驗(yàn)得知，若λ較大時(shí)，會(huì)造成不同情況下雙方兵力數(shù)量變化的曲線(xiàn)維持時(shí)間較短，也不利于描述不同情況下的曲線(xiàn)性能差別所在，故文中設(shè)定了λ=0.25.

3.1 勻速增援時(shí)不同起始時(shí)間下的動(dòng)態(tài)損耗關(guān)系

設(shè)定c=2.0.為使模型演化過(guò)程中的數(shù)據(jù)變化符合連續(xù)系統(tǒng)微分方程中的規(guī)律，以式(16)求解的離散時(shí)間間隔為上限約束，取離散計(jì)算仿真時(shí)的 Δt=0.025.通過(guò)式(9)、式(17)和式(18)，仿真3種條件(原始實(shí)力下雙方作戰(zhàn)、紅軍僅引入數(shù)據(jù)鏈雙方作戰(zhàn)、紅軍同時(shí)擁有數(shù)據(jù)鏈和勻速增援力量雙方作戰(zhàn))下雙方的動(dòng)態(tài)損耗(動(dòng)態(tài)變化)如圖1所示.

圖1 3種狀態(tài)下的雙方動(dòng)態(tài)損耗Fig.1 Dynamic exhaustion under three statuses

圖1的縱坐標(biāo)表示飛機(jī)數(shù)量，橫坐標(biāo)描述的戰(zhàn)斗進(jìn)程表示廣義的時(shí)間單位(僅表示時(shí)間的數(shù)字大小)，實(shí)際時(shí)間大小在微分方程模型中的時(shí)間量度給定以后可確定，在下文的仿真圖像中亦如此.由圖可知，原條件下的紅軍實(shí)力較弱最后失敗(數(shù)量為0即失敗).在引入數(shù)據(jù)鏈后，戰(zhàn)斗進(jìn)程延長(zhǎng)，紅軍在得到增援力量后取得戰(zhàn)斗勝利.

進(jìn)一步討論勻速增援時(shí)紅軍有效的增援時(shí)間范圍.分別取m1=0，6和12，可得雙方兵力變化的動(dòng)態(tài)損耗曲線(xiàn)如圖2所示.

圖2 紅軍不同增援時(shí)刻時(shí)雙方的動(dòng)態(tài)損耗圖Fig.2 Dynamic exhaustion in different reinforcement time from Red

可以看出當(dāng)m1=12時(shí)，增援太晚紅軍仍為失敗(飛機(jī)數(shù)為0時(shí)不再增援).由此可知，勻速增援時(shí)存在一個(gè)時(shí)間分界點(diǎn)，在此之前實(shí)施增援，可改變戰(zhàn)局;反之不能.在文中仿真參數(shù)下，最終得到有效增援起始的時(shí)刻范圍為［0，11］.在該范圍內(nèi)，讓m1按步進(jìn)量為1進(jìn)行取值，其他參數(shù)保持不變，可得雙方動(dòng)態(tài)損耗曲線(xiàn)如圖3所示.

圖3 有效增援起始范圍內(nèi)不同時(shí)刻時(shí)的動(dòng)態(tài)損耗Fig.3 Dynamic exhaustion at different time among effective reinforcement beginning range

由圖3可知，增援實(shí)施時(shí)間越晚，空戰(zhàn)進(jìn)程時(shí)間越長(zhǎng)，紅軍勝利時(shí)剩余的飛機(jī)數(shù)越少.這說(shuō)明，一定速率下的勻速增援，實(shí)施時(shí)間越早獲勝時(shí)的剩余戰(zhàn)斗數(shù)量越多.

3.2 3種勻速增援狀態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)損耗關(guān)系

設(shè)定的3種勻速增援狀態(tài)分別為:從0時(shí)刻(m1=0)開(kāi)始一直勻速增援至勝利，從0時(shí)刻勻速增援至?xí)r刻m′1，在0時(shí)刻一次性增援M數(shù)量(勻速增援的特例)的飛機(jī)加入戰(zhàn)斗.參數(shù)設(shè)置仍同本節(jié)開(kāi)始時(shí)的參數(shù).通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以確定，在一段時(shí)間勻速增援時(shí)保證紅軍獲得勝利的最小時(shí)刻為m′1=130，同樣的保證紅軍獲勝的一次性增援?dāng)?shù)量最小值M=4.繪制原始狀態(tài)下作戰(zhàn)和3種勻速增援模式時(shí)的動(dòng)態(tài)損耗曲線(xiàn)如圖4所示.

圖4 3種勻速增援模式時(shí)的動(dòng)態(tài)損耗關(guān)系Fig.4 Dynamic exhaustion curve of three constant velocity reinforcement mode

分析圖4中的規(guī)律可知，一次性增援方案可以使得戰(zhàn)斗結(jié)束時(shí)間提前，一段時(shí)間區(qū)間上的勻速增援方案戰(zhàn)斗結(jié)束時(shí)間最晚，且獲勝時(shí)剩余飛機(jī)數(shù)量最少.

3.3 變速增援時(shí)的動(dòng)態(tài)損耗關(guān)系

設(shè)定式(20)中的v=0.5，由前面實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果知，對(duì)于從0時(shí)刻開(kāi)始增援直至戰(zhàn)斗勝利的勻速增援模式，有t=4.525，F(xiàn)=9.1，據(jù)此計(jì)算得到c1=0.8798，c2=3.1423.仿真時(shí)發(fā)現(xiàn)，在c1和v的取值下，勻加速增援模式并未能保證紅軍最后贏得勝利，在經(jīng)歷時(shí)間為3.35后紅軍失敗.為了便于在同樣的v值下與勻減速增援模式進(jìn)行方案比較，將 c1值調(diào)節(jié)為 c′1.具體做法是在 c1=(2F －vt2)/(2t)中，令 t=3.35 重新計(jì)算有，c′1=1.87.這樣，仿真出變速增援模式下雙方的動(dòng)態(tài)損耗關(guān)系如圖5所示.

對(duì)于勻加速增援而言，若受v值限定，在與勻速增援持續(xù)相同的時(shí)間范圍內(nèi)選定初始增援率值，并不能保證增援獲勝.在調(diào)節(jié)初始增援速率的條件下，勻加速增援可以縮短戰(zhàn)斗進(jìn)程，并且使得最后獲勝方剩余戰(zhàn)斗力較多.對(duì)于勻減速增援而言，在持續(xù)增援時(shí)間小于勻速增援的時(shí)間下就可以獲得勝利(初始增援率值按照勻速增援維持的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算求得)，這說(shuō)明勻減速增援在保證獲勝的情況下，其本身就具有很大的可調(diào)節(jié)性，且可以縮短戰(zhàn)斗進(jìn)程和保持較大的剩余戰(zhàn)斗力.

根據(jù)以上仿真實(shí)驗(yàn)可以得出結(jié)論，一次性增援和勻減速增援模式下可以保證獲勝的前提下，明顯地加快戰(zhàn)斗結(jié)束進(jìn)程.至于每一種增援模式下的增援效率(即由增援?dāng)?shù)量和損失數(shù)量的多少來(lái)判定增援方案的優(yōu)劣)，下面將重點(diǎn)予以討論.

圖5 變速增援模式時(shí)的雙方動(dòng)態(tài)損耗Fig.5 Dynamic exhaustion curve of varied velocity reinforcement mode

4 增援方式優(yōu)劣的評(píng)判準(zhǔn)則制定

分析增援作戰(zhàn)的要求可知，對(duì)增援飛機(jī)的數(shù)量要求不能很多(即增援飛機(jī)的規(guī)模，因?yàn)楸偸怯邢薜?，另一方面，總是希望戰(zhàn)斗至獲勝時(shí)損失掉的飛機(jī)數(shù)量要少.若以ρ來(lái)表示增援效率因子，ρ值越大表示增援方案越優(yōu)，則ρ∝1/Rs，且同時(shí)應(yīng)有ρ∝1/Rd，這兩個(gè)條件有效表征了增援作戰(zhàn)的投入規(guī)模與付出代價(jià)對(duì)增援效率的影響.另外，考慮在投入規(guī)模與付出代價(jià)乘積相同的情況下，損失飛機(jī)數(shù)量越少的增援方案越優(yōu)，為此，需要給損失飛機(jī)與增援效率之間比例關(guān)系引入一個(gè)表示權(quán)重大小的值ω(Rd).為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文取權(quán)值為ω(Rd)=1/Rd.這樣，構(gòu)造出衡量增援方案優(yōu)劣的“評(píng)價(jià)函數(shù)”為

這樣，記錄以上實(shí)驗(yàn)中得到的紅軍不同類(lèi)別的飛機(jī)數(shù)量并計(jì)算增援效率，據(jù)此對(duì)不同增援模式的優(yōu)劣性進(jìn)行評(píng)價(jià)，如表1所示.

表1 不同增援模式的增援效率(R0=10)Table1 Kinds of data in different reinforcement mode

表1中的戰(zhàn)斗時(shí)間僅表示數(shù)字意義上的時(shí)間大小(無(wú)量綱)，其實(shí)際時(shí)間取決于微分方程中的時(shí)間量度(3.1節(jié)中也有說(shuō)明).表1中歸一化增效因子的計(jì)算公式為

從表1中可以看出，一次性增援的效率最高，勻減速增援的效率次之，且這兩種增援模式均可以加快紅軍獲勝的戰(zhàn)斗進(jìn)程，這與上節(jié)中關(guān)于時(shí)間效率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的.圖6也給出了不同增援模式的增援效率變化規(guī)律，從中也可以更明顯地看出增效高低的增援方案.

圖6 不同增援模式時(shí)的增援效率Fig.6 Reinforcement efficiency in different reinforcement mode

本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，在增援作戰(zhàn)時(shí)，若增援規(guī)模許可的條件下，一次性投入一定兵力的增援模式效率最高;若增援規(guī)模受限，可在滿(mǎn)足條件的情況下采用勻減速增援方案，這樣也可獲得較高的增援效率和較短的戰(zhàn)斗維持時(shí)間.

5 結(jié)論

1)建立了空中對(duì)抗作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型，指出了離散計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)所應(yīng)滿(mǎn)足的條件.將戰(zhàn)機(jī)效能評(píng)估的結(jié)果(平均戰(zhàn)斗力水平)作為其毀傷效率，并考慮在數(shù)據(jù)鏈環(huán)境下的平均戰(zhàn)斗力水平的相對(duì)變化情況，建立表示雙方作戰(zhàn)單位數(shù)量變化的微分方程模型.為便于仿真實(shí)現(xiàn)和研究戰(zhàn)斗變化規(guī)律，給出了所建模型的數(shù)學(xué)求解方法.

2)給出了不同增援方式的優(yōu)劣結(jié)論.在不同增援方式的空戰(zhàn)對(duì)抗數(shù)學(xué)模型中，進(jìn)行了3種不同情形下的空戰(zhàn)對(duì)抗實(shí)驗(yàn)，分別是勻速增援時(shí)起始時(shí)間不同的雙方動(dòng)態(tài)損耗實(shí)驗(yàn)、3種不同類(lèi)型勻速增援的雙方動(dòng)態(tài)損耗實(shí)驗(yàn)、變速增援的雙方動(dòng)態(tài)損耗實(shí)驗(yàn).在第1種實(shí)驗(yàn)中得出結(jié)論為增援時(shí)間越早，損失的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量越少.在后2種實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)構(gòu)造增援效率評(píng)價(jià)函數(shù)進(jìn)行有效度量，得出結(jié)論為一次性增援和勻減速增援方案的性能較優(yōu).實(shí)驗(yàn)結(jié)論為空戰(zhàn)指揮和決策提供了依據(jù).

下一步的研究中，將對(duì)雙方均采用多機(jī)型的對(duì)抗情況進(jìn)行深入研究，該情形下的增援決策問(wèn)題將會(huì)是一個(gè)復(fù)雜的多目標(biāo)求解與優(yōu)化問(wèn)題.

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