帶模糊數的運輸問題研究

孫方遠，朱海定

（上海大學 管理學院，上海200444）

SUN Fang-yuan, ZHU Hai-ding

(School of Management, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

0 引 言

一般來講，運輸問題可分為單目標運輸問題和多目標運輸問題。運輸問題最早是由Hitchcock[1]于1941 年提出，它指的是貨物從生產商到銷售商的分配問題。這樣的運輸問題也稱之為經典的運輸問題，其目標只有一個，且約束均為等式。但在實際運輸問題中，人們考慮的因素往往較多，包括在使得費用最小的情況下，同時考慮時間限制、質量等，要達到的目標不止一個，也就產生了多目標運輸問題（MOTP）。然而，在現實世界中，目標函數的系數常常不能確定，供應量和需求量也常常如此，因而問題的目標和約束就可能是模糊的，這也就使得多目標模糊運輸問題（MOFTP） 應運而生。本文為了使大家對運輸問題能夠有更加深入系統的認識，對單目標運輸問題和多目標運輸問題分別做介紹，再各自深入到帶模糊數的單目標運輸問題和帶模糊數的多目標運輸問題，給出模型、算法和算例。

1 帶模糊數的單目標運輸問題

1.1 經典運輸問題

經典運輸問題就是指把某種物資從若干個供給地運往若干個需求地，各供給地的供給量、各需求地的需求量已知，各供給地與需求地之間的交通是否可達也已知，據此解決如何安排運輸使總運費最少的問題。

經典的運輸問題描述如下：供應點以Si（i=1,2,…,m）表示，有m個；需求點以Dj（j=1,2,…,n）表示，有n個。第i個供應點的可供量以ai（i=1,2,…,m）表示，第j個需求點的需求量以bj（j=1,2,…,n）表示。從供應點Si向需求點Dj運送一單位物品的運輸成本為cij。求使得總運輸成本最小的調運方案。xij是決策變量，表示即將從供應點Si向需求點Dj運送的商品數量，此傳統運輸問題的數學模型可表示為：

1.2 帶模糊數的單目標運輸問題

1.2.1 帶模糊數的單目標運輸問題模型。為了使經典的運輸問題能更加切實地反應模糊的世界，對以上模型中的參數第i個供應點的可供量ai（i=1,2,…,m）和第j個需求點的需求量為bj（j=1,2,…,n）分別取三角模糊數和得到帶模糊數的單目標運輸問題的模型如下：

1.2.2 帶模糊數的單目標運輸問題的算例應用。假如已知運輸單價、供給量及需求量如表1，試求運費最小的調運方案。

表1 運輸表

根據此表可得到如下模型：

根據高淑萍在其文章中用的三角模糊數排序準則[2]，可將該問題化為如下線性規劃問題：

用Lingo 軟件解得：

2 帶模糊數的多目標運輸問題

2.1 多目標運輸問題

單目標運輸問題是考慮使運輸總成本最小這一個目標的運輸問題，然而在現實中要考慮的因素往往不止成本這一項。現實生活中大量的運輸問題要綜合考慮多個目標的優化問題。比如，在一個物流配送系統中，除了對總運輸費用有要求外，還要求商品運輸的可靠性、平均交貨時間甚至客戶最滿意等也要有所要求，這些不同的要求也就形成了本物流配送需要達到的不同目標。

其中，ai≥0 表示第i個生產地的產量；bj≥0 表示第j個銷售地的銷量；目標中可以表示總運費、總運輸時間、總運輸能耗或運輸對環境所造成的污染等；在最大化目標中，可以表示總質量、滿意度、可靠性等。

對于多目標運輸問題的求解，不同學者運用了不同的解法。熊國強等人提出一種求解多目標運輸問題的目標協調優化方法[3]，白國仲給出了求解多目標運輸問題的表上作業法[4]，羅霞，廖勇和李錄書用模糊規劃法求解多目標運輸問題[5-6]。對這三種求解多目標運輸問題的方法進行對比分析，熊國強等人提出的目標協調優化方法，易于掌握，易于操作，是相對最優的。

2.2 帶模糊數的多目標運輸問題

2.2.1 帶模糊數的多目標運輸問題的模型。考慮在實際的運輸問題決策中，相關參數，如銷地的貨物需求量、產地的貨物生產量及運輸貨物的單位運價的確定往往帶有隨意性或經驗性，因而不那么精確。故會考慮把這些參數設成模糊參數，從而得含模糊參數的多目標運輸問題的模型如下：

對含有模糊參數的多目標運輸問題的求解，不同的學者也提出不同的解法。宋業新等人運用一種對模糊數排序的方法，將模糊多目標運輸問題轉化為單目標運輸問題進行求解[7]。羅霞，廖勇利用三角模糊數的大小關系和模糊數的數學特征分別對目標函數和約束中的模糊參數去模糊化，從而模糊多目標運輸模型變成普通的多目標運輸模型，再進行求解[5]。

2.2.2 帶模糊數的多目標運輸問題的算例應用。求解如下運輸問題：供給地A 和供給地B 為運輸物資提供方，需求地有3 個a、b 和c，考慮運輸成本、供應量和需求量的模糊性，用三角模糊數表示之，得問題模型如下：

用羅霞[5]的求解方法對其進行求解：

第一步，將目標函數和約束條件進行分家，計算不同目標在約束條件下的最優解。目標函數被分解成如下4 個：

約束為：

得到的解如表2：

表2

第二步，根據以上結果可得如下各個目標的隸屬度函數：

第三步，根據表2 的計算結果，建立轉換后的模型如下，其中以λ 最小為目標，并將目標函數轉為實數下的約束條件，把模糊約束也轉為實數下的約束條件，轉化后的模型如下：

最后，利用Lingo 軟件求解第三步中的模型，解得X*= （0,19.37,62.59,28.32,17.45,5.14），各目標值依次為999.11、1 297.72、1 618.81 和-1 856.42。并可求得各個目標的滿意度（μ1（z1）～μ4（z4））分別為0.5445、1、1 和0.5457。

3 小 結

本文對運輸問題的研究中加入了模糊參數。從經典的運輸問題的介紹到帶模糊數的單目標運輸問題的介紹，再從一般的多目標運輸問題的介紹到帶模糊數的多目標運輸問題的介紹，對運輸問題的詮釋層層深入。并且在給出這4 類模型的同時還附帶了算例及其求解，更進一步展示了運輸問題的運用情況。對4 類運輸問題的算法進行總結可知，最終均能化為線性規劃問題，利用Lingo 軟件進行求解。因此，本文相對系統的總結了運輸問題的各種情況，在研究運輸問題時，有一定的參考性。

[1] Hitchcock F.L.. The distribution of a product from several sources to numerous localities[J]. Journal of Mathematical Physics,1941,20:224-230.

[2] 高淑萍. 運輸問題的模糊優化算法和理論研究[D]. 西安：西安電子科技大學（博士學位論文），2003.

[3] 熊國強，潘泉，張洪才. 求解多目標運輸問題的一種目標協調優化方法[J]. 系統管理學報，2007,16(5):528-536.

[4] 白國仲. 求解多目標運輸問題的表上作業法[J]. 信陽師范學院學報，2007,20(4):403-408.

[5] 羅霞，廖勇. 多目標模糊運輸問題的建模與求解[J]. 西華大學學報（自然科學版），2010,29(4):43-47.

[6] 李錄書. 多目標運輸問題的fuzzy 線性規劃解法[J]. 運籌與管理，1994,3(1):11-16.

[7] 宋業新，陳錦云，吳曉平. 具有模糊信息的多目標運輸問題求解[J]. 模糊系統與數學，2001,15(3):86-89.