攔截彈道快速設計方法

王備，周韜，董長虹

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

現代戰爭要求攔截彈具有快速反應能力，零發射準備時間.在攔截彈的設計過程中，攔截彈道設計是重要的組成部分，通常設計攔截彈道主要是設計一條通過發射點和目標點并滿足約束條件的最優攔截彈道，對于攔截彈來說，如何縮短導彈攔截時間，是導彈防御里的一項重要研究內容［1-2］.

攔截彈道優化設計是一個模型高度非線性、時間域跨度大、待優化參數多、約束形式多樣化的復雜優化問題，通常采用最優化理論中的參數優化來解決該問題.對于一枚確定的攔截彈，其各項參數包括各級發動機推力、發動機工作時間等都是確定的，其各階段運動規律基本一致［3-5］.因此對于某一預測命中點，所要解決的就是定點定時到達預測命中點的彈道優化設計問題.一般的優化算法都要通過大量的迭代計算來完成，包括模式搜索法、擬牛頓法、序列二次規劃法，以及多種現代啟發式算法如遺傳算法、粒子群算法等［6-9］，都需要每次代入設計變量，通過彈道計算過程計算優化目標函數以使目標函數越來越趨近于最優，而彈道計算過程中需要通過許多積分運算來計算彈道，所以就會消耗大量的計算時間.這就使導彈不能快速去攔截目標，在實際攔截過程中，就可能失去攔截目標的機會.基于文獻［10］提出將人工神經網絡應用于制導律設計以及文獻［11］提到的將人工神經網絡應用于機載實時軌跡優化導引的啟發，對于攔截彈這種中間過程規律性較強的彈道優化設計問題，可以嘗試運用神經網絡來設計彈道.

本文研究如何利用神經網絡原理解決快速彈道設計問題.首先對多階段攔截彈道的優化問題作詳細的描述，然后介紹了如何把神經網絡應用于快速彈道設計，最后給出了算例仿真和結果分析.

1 攔截彈的數學建模

1.1 動力學模型

攔截彈分為3級，采用固體火箭發動機，從第3級關機點到預測攔截點是無動力飛行階段.為了簡化問題，同時考慮到攔截彈的飛行特性，做出如下假設:

1)假設地球為圓球形;

2)采用USSA76標準大氣模型;

3)忽略導彈的側向運動，即導彈始終在發射點、預測攔截點和地心確定的大圓面內;

4)只考慮導彈彈體的俯仰運動［12］.

基于上述假設可得攔截彈的動力學方程:

式中，i=1，2，3…為攔截彈飛行的不同階段;vi，θi，ωi，?i，xi，yi為狀態變量，分別代表攔截彈的速度、彈道傾角、俯仰角速度、俯仰角和攔截彈的位置坐標;δi為控制變量，代表發動機噴管擺角;Pi為發動機推力;ρ，s分別為大氣密度和參考面積;CDi，CLi分別為阻力系數和升力系數;Mzi，Izi分別為俯仰力矩和轉動慣量;mi為攔截彈的質量［12］:

式中，m0i為第 i級起始質量;為推進劑消耗率［12］.

1.2 飛行程序設計

飛行程序是指導彈主動段俯仰角隨時間變化的規律，飛行程序的選擇是彈道設計的重要組成部分.導彈飛行中的實際俯仰角?(t)與飛行程序角φcx(t)一般是不相等的，但因二者相差甚微，因此彈道計算中可近似認為導彈是按飛行程序角規律飛行的，即?(t)≈φcx(t).

導彈俯仰角?、彈道傾角θ以及攻角α存在如下關系式:

對于依托于氣動力轉彎的導彈，一般是通過預先給出攻角經驗公式α(t)來推求飛行程序角的.但是地基攔截彈的轉彎是通過發動機尾噴管有一個擺角，然后對導彈產生一個推力矩，導彈開始轉彎.導彈的轉彎不是通過氣動力矩轉彎，所以這里飛行程序角隨時間變化的規律是直接給出的［13-14］.

一般單級導彈只進行一次飛行轉彎，且轉彎設計在亞聲速段.因為這里研究的是3級攔截彈，所以設計轉彎是經過兩次轉彎，分別是在一級助推階段和二級助推階段.采用的飛行程序角為:一級采用二次曲線型的程序角，二級采用的是等斜率變化的程序角.兩次轉彎程序角都是設定俯仰角的變化.

飛行程序角的變化規律為

式中，t1，t1f，t2，t2f分別為一級轉彎開始時間和結束時間、二級轉彎開始時間和結束時間;φ1，φ2為常值，而拋物線方程系數a，b，c和直線斜率可由t=t1f和t=t2f時α=0、俯仰角為定值以及允許俯仰角速度的大小來確定.

為了得到全局最優解，一級轉彎開始時間和結束時間全部為固定值，在一級轉彎結束時俯仰角達到程序角的最小值，這樣可以保證一級轉彎時俯仰角的變化是單調下降的.二級轉彎開始時間和結束時間也設為固定值，這樣在整個飛行階段程序角的變化如圖1所示.從圖中可以看出只要改變一級轉彎和二級轉彎結束時飛行程序角的大小，攔截彈道就會改變.

圖1 程序角變化曲線Fig.1 Program angle change curve

1.3 彈道優化模型

基于以上原理，并根據實測試驗，可以將影響彈道的參數簡化為兩個參數:飛行程序角φ1，φ2，即一級轉彎和二級轉彎結束時俯仰角的大小.也就是說，調整這兩個參數即可以做到定時到達預測命中點.于是，彈道設計問題即可以用參數優化來實現.

1)優化目標.

目標函數f(φ1，φ2)為被動段結束時導彈位置與預測命中點的距離最小.

2)設計變量.

優化設計變量為兩個飛行程序角φ1，φ2，且φ1≥φ2.

3)約束條件.

初始狀態約束:攔截彈在初始發射階段有垂直段，因此初始狀態要滿足:

時間約束:一級轉彎開始時間和結束時間、二級轉彎開始時間和結束時間、三級主發動機工作時間均為固定值.

擺角約束:最大允許噴管擺角為δmax，則

狀態連續性約束:

2 基于神經網絡的快速彈道設計

2.1 基于神經網絡的快速彈道設計原理

神經網絡是一種模仿生物神經網絡的結構和功能的數學模型，這種算法可以直接建立一種輸入和輸出的簡單映射關系，而不管中間的計算過程［15］.使用神經網絡建立參數優化模型可以避開繁瑣的計算過程，這樣就節省了時間，在彈道設計的過程中達到快速的目的.神經網絡可以事先在導彈的射程區間內采樣，然后通過樣本學習其中的規律，將規律貯存于神經網絡的權值和閾值之中，而神經網絡的計算過程中只有輸入量與權值閾值之間簡單的乘法和加法運算，所以給出輸入量即可迅速計算出對應最優的設計變量.

對于定點定時到達預測命中點的彈道優化設計問題，只要輸入目標點信息(包括目標位置和攔截彈飛行時間)，就可以用傳統優化算法確定攔截彈道飛行程序角的參數，從而得到攔截彈道.這是一般彈道優化設計的方法，其流程圖如圖2所示，從圖中可看出每一次迭代都要調用一次彈道計算程序，若每調用一次彈道計算程序耗時約T(單位:s)，共迭代N次，則整個彈道設計流程共耗時約(N+1)T.

圖2 傳統優化算法的彈道設計流程圖Fig.2 Trajectory design flow chart using general optimization algorithm

將神經網絡應用于攔截彈道設計中，則其流程圖如圖3所示.神經網絡的樣本計算和樣本訓練可以提前在線下完成，而對于訓練好的神經網絡，輸入目標點信息，就可以通過神經網絡中輸入與輸出間的簡單映射關系一步計算得到最優設計變量，從而得到攔截彈道.從圖3中可看出該過程只調用一次彈道計算程序，所以共耗時約T，比傳統優化方法降低NT.

圖3 應用神經網絡的彈道設計流程圖Fig.3 Trajectory design flow chart using neural network

2.2 神經網絡樣本的生成

根據前面所述，樣本數據中輸入參數為目標點信息(包括目標距離、目標高度、攔截時間)，輸出參數為最優飛行程序角(φ1，φ2)，共5個參數.其中目標距離和目標高度根據攔截彈的攔截空域來確定，且樣本范圍盡量取滿整個攔截空域，來使神經網絡的應用更加有效.攔截時間也并不是隨便選取，而是需要確定攔截時間的邊界，利用一維搜索法(黃金分割法等)確定滿足約束條件的最小飛行時間和最大飛行時間，然后從中選取.只要有了目標點數據，就可以用一般的優化算法確定攔截彈最優飛行程序角的參數.最后把每一組輸入參數和輸出參數作為一組數據，而攔截空域內的多組數據則組成一個訓練樣本.

2.3 神經網絡設計

這里采用的是一種最常用的誤差反向傳播(BP)神經網絡.根據樣本數據中輸入輸出個數，建立一個3個輸入、2個輸出的神經網絡，所建立的神經網絡包含2層隱層，第1隱層神經元個數為8個，第2隱層神經元個數為6個，輸出層神經元個數為2個.第1隱層和第2隱層的神經元傳遞函數均為正切S型函數(tansig)，輸出層的神經元傳遞函數為純線性函數(purelin).

建立的3個輸入、2個輸出的神經網絡結構圖如圖4所示，其中w表示權值，b表示閾值.

圖4 BP神經網絡結構Fig.4 BP neural network structure

根據所設計的BP神經網絡和樣本，用訓練算法(這里采用Lenvnberg-Marquandt算法)對神經網絡進行訓練，得到最終的權值和閾值.根據所建立神經網絡的運算關系和訓練后的權值和閾值，給出輸入，即可快速計算得到相應輸出.

3 算例仿真

本文算例采用如下初始條件:攔截彈初始位置(0，0)，預測攔截點坐標(1 172，721)(單位:km).射程d=500～1500km，攔截高度范圍取h=500～1500km，初始速度V=0m/s，初始彈道傾角θ=π/2，初始攻角 α =0°.噴管擺角約束 δmax=10°，δmin=10°.攔截彈主動段共有 3 級，發動機的工作時間分別為:第1級69 s，第2級70 s，第3級68 s.為計算方便發射時間定為零時，目標在331 s時刻到達預測命中點.

在射程和射高范圍內得到480組樣本數據，神經網絡訓練結果如圖5所示，經過424次訓練后訓練停止，訓練誤差精度在418次達到最好，為0.0081621，從圖中可以看出結果合理，神經網絡訓練達到預期效果.圖6是對網絡輸出和相應的期望輸出向量進行線性回歸分析，可以看出訓練數據的跟蹤效果很好，線性回歸相關系數R=0.99997.

圖5 神經網絡訓練均方誤差Fig.5 Mean squared error of neural network training

圖6 訓練數據線性回歸結果Fig.6 Linear regression results of training data

圖7和圖8分別為攔截彈道曲線和攔截彈速度曲線，可以看出神經網絡設計的彈道與理論彈道基本一致.表1中對比了粒子群算法與神經網絡的計算結果，數據表明雖然神經網絡計算得到的與預測命中點偏差較大一些，但此命中精度依然較為良好，而相比仿真時間，神經網絡所需的仿真時間極短.

圖7 攔截彈道曲線Fig.7 Intercept trajectory curve

圖8 攔截彈速度曲線Fig.8 Velocity curve of interceptor

表1 仿真算例結果清單Table1 Results list of simulation example

在攔截射程和高度范圍內隨機選取預測攔截點，對于用神經網絡算法設計彈道的與預測命中點偏差進行500次蒙特卡洛仿真，結果如圖9所示.從圖中可看出預測命中偏差均在2 km以內，平均值為0.53km，這樣的誤差在實際作戰中足夠讓攔截彈的彈頭找到并準確擊中目標，說明神經網絡應用于彈道設計的方法是有效的.部分不同攔截點下的結果對比如表2所示.

圖9 不同攔截點的蒙特卡洛仿真Fig.9 Monte Carlo simulation in different intercept points

表2 不同攔截點下的部分結果對比Table2 Some results comparison in different intercept points

4 結論

本文建立了攔截彈的動力學模型、飛行程序和彈道優化模型，并在分析神經網絡計算原理的基礎上提出了一種新的攔截彈的快速彈道設計方法，經過仿真實例驗證表明:

1)該方法相比傳統算法設計的攔截彈彈道偏差稍大，但依然有良好的命中精度.

2)該方法在設計攔截彈道時的計算時間得到極大的縮短，有效地實現了快速設計彈道.

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