基于改進傅里葉基的壓縮感知頻譜測量

王 泉，張金成，張納溫，呂方旭，王 鈺，陳可偉

（空軍工程大學 防空反導學院，陜西 西安710051）

0 引 言

壓縮感知［1］針對稀疏信號或可壓縮信號，提出一種邊采樣邊壓縮得到一組觀測數據，而后根據信號在變換域上的稀疏特性將其精確重構的信號處理思想，信號的稀疏表達是壓縮感知理論的基礎和前提，然而在數據壓縮采樣過程中引入的噪聲影響了信號在變換域上的稀疏特性，降低了信號重構的準確度，而一些抗噪重構算法［2，3］增加了信號重構的復雜度，存在計算量大的問題。本文研究信號重構的過程，對傳統的傅里葉稀疏基進行改進，提出由對稱頻點原子構成的傅里葉稀疏基，該稀疏基將傳統傅里葉基中的雙邊頻帶對稱頻點合二為一作為單獨的原子，提高信號重構過程中原子匹配的精確度，減少稀疏基原子個數從而降低重構信號過程中的運算量。

在信號識別［4］和寬帶頻譜檢測［5，6］等應用中，壓縮感 知也逐漸成為一個有力工具，基于壓縮感知的多頻帶信號頻譜測量的傳統方法是認為信號在頻域仍是稀疏信號，通過傳統傅里葉稀疏基的壓縮重構得到粗略的頻譜估計，然后通過小波邊緣檢測的方法得出頻譜信號的奇異點從而獲得各頻帶位置［7－9］。然而多頻帶信號在頻域中的稀疏度數值往往很大，在一定頻帶范圍均有較強能量分布，此時如果仍然采用傳統傅里葉基作為信號稀疏基，會給壓縮感知過程帶來很多困難：由于信號稀疏度的增加，重構信號所需觀測值的數量必然增加，進而使重構算法迭代運行時間增加；各種突發的隨機噪聲破壞了信號在頻域的稀疏性，并且給邊緣檢測造成了干擾，并且各頻帶形狀并不固定，這使得這種傳統的多頻帶信號頻譜測量方法性能降低。本文針對多頻帶信號在頻域內呈帶狀分布的特征，提出一種傅里葉頻域子帶字典作為稀疏基來對多頻帶信號頻譜進行壓縮重構。

1 改進傅里葉基下的多諧波稀疏信號壓縮感知

為將壓縮感知理論應用于連續時間模擬信號的采樣過程中，Tropp等提出多諧波稀疏 （multi－tone sparse，MTS）信號模型［10］，該模型將連續時間模擬信號表征為有限維度的離散稀疏信號。對于MTS模型，信號由K 個頻率有界的諧波構成，這是一種較為簡單的信號稀疏模型，如式（2），其中 α0＝K。對MTS信號壓縮感知，采用傳統離散傅里葉變換基 （discrete fourier transform，DFT）作為稀疏變換基

下面我們給出壓縮感知中信號重構的基本過程。在壓縮感知基本理論中，時域可壓縮信號x 通過觀測矩陣Φ ∈RM×N（M N）實現非適應線性壓縮投影觀測

式中：矩陣Ψ∈RN×N即是信號x 的稀疏表示基，得到的線性投影觀測值y ∈RM×1包含了重構信號的足夠信息，信號的重構是利用y ∈RM×1以及信號x 的稀疏性先驗條件恢復信號稀疏系數θ 的過程。目前常見的重構算法有凸優化算法和貪婪匹配算法兩大類，由于貪婪匹配算法具有算法復雜度低、實現容易的特點得到了更為廣泛的應用。

貪婪匹配算法的核心思想是：從感知矩陣Acs＝Φ·Ψ中選擇與觀測向量最匹配的一組原子 （列向量）作為信號重構的支撐集。而匹配原子的選擇是以原始觀測向量或殘差觀測向量跟感知矩陣所有原子的內積大小為依據的，每次迭代將相關性最好 （內積最大）的原子選入支撐集并更新殘差向量。式 （3）中λt是第t 次迭代所取的原子索引，rt－1是殘差向量，而aj代表感知矩陣Acs的每一個列向量

傳統離散傅里葉變換 （DFT）基是由頻域空間標準正交基I∈RN×N作IDFT 得到的復矩陣Ψf

由于傅里葉變換的共軛對稱性，MTS信號在傅里葉域中的頻譜圖應為雙邊譜［11］，使用式 （4）中的傳統傅里葉基作為MTS信號稀疏基，在原子的選擇過程中將 “正頻域”與 “負頻域”割裂開來，容易使的稀疏表示失配并且易受信號噪聲的干擾。

本文結合傅里葉變換共軛對稱性這一特點，提出將傅里葉頻域對稱頻點合為一個原子的方法，得到改進后的傅里葉稀疏基

改進后的傅里葉稀疏基Ψf＿improve 具有以下優點：①將傳統傅里葉稀疏基共軛頻點原子組合減少了稀疏基的原子個數，減少了信號重構的計算量，同時依然保持稀疏基的完備性與正交性；②在原子選擇過程中，由于這種對稱性與實際相符，使得實際頻率在式 （2）中的結果比噪聲更有區分度，可以提高信號重構的抗噪性能，同時避免了前面提到的稀疏表示失配問題。本文在第3節將對改進傅里葉稀疏基和傳統傅里葉稀疏基在信號重構性能方面做出對比分析。

2 基于頻域子帶字典的多頻帶信號頻譜測量

在無線通信系統中，一般使用多頻帶信號進行信息傳輸。典型的多頻帶無線通信信號頻譜如圖1所示，信號在某個或幾個頻帶上具有較大幅值，并且帶寬寬度與幅值可能各不相同，其中Bnyq代表奈奎斯特采樣帶寬。由于MTS信號模型要求所有諧波都非常精確地處于傅里葉網絡上，當表示脫離傅里葉網格的頻率成分時，就會導致頻譜泄露，此時仍然使用傳統DFT 變換基作為稀疏基會引入較大的測量誤差。對此，本文提出了一種頻域子帶字典作為多頻帶信號的稀疏基，能夠有效地刻畫多頻帶信號頻譜分布特征。

圖1 多頻帶信號頻譜分布

傳統的多頻帶信號頻譜測量使用DFT 變換基作為信號稀疏基，由于在活動頻帶內頻譜較為密集，這大大增加了信號在DFT 基下的稀疏度，根據壓縮感知理論可知，信號稀疏度增加意味著重構信號所需觀測值數量就越多［1］，同時，上文提到傳統DFT 稀疏基易受噪聲干擾的缺陷直接影響后續子頻帶邊緣檢測。考慮到傳統多頻帶信號頻譜測量方法的種種不足，本文將所探測頻譜范圍劃分成互不重疊、兩兩相鄰的若干個頻譜子帶，將每個子帶作為一個原子，所有子帶構成多頻帶信號的稀疏表示基，即頻域子帶字典，如圖2所示。

圖2 頻譜子帶劃分

根據待測量信號頻帶寬度和頻譜測量精度的要求選擇合適的子帶寬度，假設頻域子帶字典原子頻寬為τ，則各原子bi可表示為

式中：gτ（f）——寬度為τ的頻域門函數，由于各原子互不重疊，則滿足

將各子帶聯合B ＝［b1，b2，…，bL］并作IDFT 變換即可得到頻域子帶字典Ψband如式 （8），L 代表字典原子的個數，即子頻帶數量L ＝Bnyq／2τ。由式 （7）可知，頻域子帶之間是兩兩正交的，考慮到離散傅里葉變換 （DFT）及其逆變換 （IDFT）均為正交變換，所以Ψband滿足壓縮感知規定的信號稀疏基的正交性要求

使用頻域子帶字典是對多頻帶信號的近似表征，隨著子帶寬度τ的減小，刻畫信號頻譜細節的能力越強。當τ→0時，頻域門函數gτ（f）→δ（f），頻域子帶字典原子相當于一對共軛傅里葉頻點，而頻域子帶字典退化為第1節中的改進傅里葉基，如式 （9）所示。此時，各原子之間仍然滿足式 （7），即各子帶原子之間仍然正交

假設待觀測信號頻譜分布為X（f），使用頻域子帶字典對其近似刻畫，如式 （10）所示，其中θi為子帶bi的系數，θ即為子帶系數向量，并且 θ0＝K（K N），K 為信號在頻域子帶字典下的稀疏度

考 慮 到 時 域 信 號X（n）＝IDFT［X（f）］，并 將 式（10）、式 （8）代入得到

感知過程中對一個檢測周期內X（t）的N×1維離散形式X（n）進行觀測，得到的觀測值y 與子帶稀疏向量θ 有如下關系

根據壓縮感知重構過程，通過觀測值y 與感知矩陣A ＝Φ·Ψband求解子帶稀疏向量θ，再根據式 （10）完成對信號頻譜分布的測量。仿真實驗中，選取隨機高斯矩陣作為觀測矩陣，計算其與頻域子帶稀疏基的相關系數u（Φ，Ψband），經計算得，u（Φ，Ψband）＜0.23，滿足精確重構的要求［12］。

至此，給出了頻域子帶字典的構造方法以及使用壓縮感知對多頻帶信號進行頻譜測量的過程，在第3節中將與傳統的多頻帶信號頻譜測量方法在抗噪性能及運算效能上做出對比分析。

3 仿真實驗及分析

3.1 改進傅里葉基在多諧波信號重構中的性能分析

本文以無噪及含噪一維多諧波信號的壓縮感知重建過程來驗證本文提出的改進傅里葉基的性能。實驗統一選用高斯隨機測量矩陣作為壓縮感知觀測矩陣、正交匹配追蹤算法 （OMP）作為信號恢復算法。性能從準確重構概率、相對誤差、信噪比對重構性能影響等方面與傳統離散傅里葉 （DFT）基進行比較分析。

實驗1：無噪諧波信號的壓縮感知重構，實驗選取10個諧波信號疊加，信號長度N＝1000，規定無噪信號精確重構條件是恢復時域信號相對誤差小于10－5，相對誤差定義如式（13），其中x表示原始時域信號，表示恢復時域信號

在不同壓縮比CSR 下，重復仿真500次分別統計傳統DFT 稀疏基與改進DFT 稀疏基精確重構信號成功率，如圖3所示?？梢钥闯?，隨著壓縮采樣比CSR 的提高，兩種稀疏基的精確重構概率均相應增加，而在同一壓縮采樣比CSR 下，使用改進DFT 稀疏基相對傳統DFT 稀疏基有更高的精確重構概率。

實驗2：取壓縮采樣比CSR＝0.3，逐漸增加疊加信號的個數，其它條件同實驗1一致，對比分析在不同稀疏度下兩種稀疏基恢復時域信號的相對誤差，結果見表1。

可以看出，隨著諧波個數的增加，傳統DFT 稀疏基與趕緊DFT 稀疏基時域重構信號相對誤差均成上升趨勢，而在同等諧波個數條件下，改進DFT 有更小的相對誤差。

圖3 改進傅里葉稀疏基精確重構信號成功率

表1 時域信號重構相對誤差對比分析

實驗3：在實際應用中，采樣信號往往含有噪聲，本實驗對含噪諧波信號進行壓縮重構仿真，以重構誤差及重構信號信噪比為參考對傳統DFT 稀疏基與改進DFT 稀疏基的抗噪性能進行比較。仿真條件：原始信號由10個不同頻率諧波疊加，信噪比從4dB～50dB變化，在不同信噪比條件下重復500次壓縮重構過程，統計使用兩個稀疏基恢復信號的信噪比與重構誤差，結果如圖4、圖5所示。

圖4 含噪信號時域重構相對誤差

從圖4、圖5可以看出，隨著輸入信號信噪比的提高，兩種稀疏基重構效果都有所提升，但在同等信噪比條件下，改進DFT 稀疏基的重構效果更好，尤其在信噪比較低時，改進DFT 的優勢更為明顯，比較表1與圖4中的信號重構相對誤差可以發現，含噪信號重構誤差遠遠大于無噪信號的重構誤差，這是因為在信號重構過程中僅將頻域中模值較大的稀疏分量找到并恢復，而由噪聲引入的其它頻譜信息則被濾除，所以使得時域信號的重構誤差大大增加。圖5表明信號在重構后信噪比得到了相應提升，這也是由于重構過程中濾除了噪聲的頻率成分的作用結果。

圖5 含噪信號時域重構信噪比

3.2 頻域子帶字典在多頻帶信號頻譜測量中的性能分析

本節以含噪多頻帶信號為測試對象，分別從頻譜重構性能及頻帶檢測性能上對比分析傳統多頻帶信號頻譜檢測方法與頻域子帶字典檢測方法。

實驗1：不同信噪比條件下頻域重構性能對比。實驗條件：設多頻帶信號長度為N＝1000，總頻寬為B ＝（N／2）×Δf＝500Δf（其中Δf為譜分辨率），壓縮采樣比CSR＝M／N＝0.4，頻域上共有3個互不重疊的頻帶，并且能量、形狀、寬度各不相同，另外該多頻帶信號上還存在一定能量變化的背景高斯噪聲。圖6為在信噪比為87dB 時兩種方法的重構結果對比，自上而下是原始信號頻譜、DFT 稀疏基下的頻域重構結果、小波邊緣檢測、基于頻域子帶字典的頻譜重構。

圖6 SNR＝62dB時多頻帶信號頻譜檢測結果

圖6可以看出對于 “矩形”頻帶，小波邊緣檢測與頻域子帶字典的檢測結果都較好，而 “拱形”與 “三角形”的頻帶，使用小波邊緣檢測的結果較差，不能得到明顯的頻帶界限，而使用頻域子帶字典重構得到的頻譜信息較為準確地反映了原始信號的頻譜分布，（再加一些原因分析）。

圖7、圖8分別為信噪比為30dB、12dB 時信號頻域恢復結果對比，可以看出，小波邊緣檢測方法性能下滑迅速，已經不能正確檢測 “矩形”頻帶的奇異點，這是因為噪聲嚴重影響了信號在DFT 稀疏基下的稀疏度，使得重構算法引入了很多錯誤的頻率成分；基于頻域子帶稀疏基的重構方法在噪聲的干擾下也收到了一定程度的干擾，對頻譜幅度與頻帶寬度的測量精度下降，但原始信號的3個主頻帶還是能夠清晰的顯示，這是因為在重構過程，各原子包含一定個數的頻率成分，使得在原子選擇過程中相關性更強，更能與隨機噪聲區分開。所以，基于頻域子帶字典的頻譜重構方法能夠適應不同形狀的頻帶并且具有更好的抗噪性能，同時，多頻帶信號在DFT 稀疏基下的稀疏度估計一直是該方法的應用瓶頸［13］，稀疏度易受噪聲影響的特點使得一些自適應稀疏度估計方法失效，而本文提出的方法使用殘余能量作為停止迭代門限自適應估計多頻帶信號在子帶字典中的稀疏度并取得了很好的重構效果。

基于頻域子帶字典的壓縮頻譜測量首先獲得寬帶信號的子帶稀疏向量θ，然后通過式 （10）進一步求取信號的功率譜密度，按照式 （13）分別求取在不同信噪比條件下兩種方法對寬帶信號功率譜恢復的相對誤差，結果見表2。

能夠看出，基于頻域子帶字典的頻譜測量方法在信號功率譜恢復精度上相比于傳統小波邊緣檢測方法存在較大優勢，這是由于小波邊緣檢測方法對信號在離散傅里葉基下的稀疏度估計受噪聲影響嚴重，過多的錯誤原子使得恢復信號的頻譜結構與真實情況不符，而基于頻域子帶字典的頻譜測量方法通過子帶原子與觀測量向量的相關累計，能夠減少錯誤頻率成分入選稀疏向量的概率。

圖7 SNR＝30dB時多頻帶信號頻譜檢測結果

圖8 SNR＝12dB時多頻帶信號頻譜檢測結果

表2 寬帶信號功率譜恢復相對誤差對比分析

實驗2：不同信噪比下頻帶檢測概率對比。實驗條件：設多頻帶信號長度為N＝1000，總頻寬為B＝（N／2）×Δf＝500Δf，（其中Δf 為譜分辨率），壓縮采樣比CSR＝0.4，頻域上共有10個互不重疊的 “矩形”頻帶，每個頻帶帶寬為5Δf，信噪比由0～100dB 變化。通過蒙特卡洛仿真，每個信噪比下統計次數500次，得出不同算法下所有頻帶全部正確檢測的概率如圖9所示。

圖9 多頻帶信號頻帶正確檢測概率

由圖9可以看出本文提出的基于頻域子帶字典的頻譜測量方法的檢測概率明顯大于傳統的基于DFT 稀疏基的小波邊緣檢測方法，尤其在低信噪比時，本文的方法更為有效。

4 結束語

研究了壓縮感知在信號頻譜測量中的應用，針對多諧波信號與多頻帶信號分別提出改進DFT 稀疏基和頻域子帶字典，使用改進DFT 基對多諧波信號進行壓縮重構可以得到更為精確地時域信號恢復，在相同信噪比條件下重構信號信噪比更高。使用頻域子帶稀疏基對多頻帶信號進行頻譜測量，可以準確給出各頻帶的位置和幅值，且在低信噪比條件下與小波邊緣檢測方法相比有更好的抗噪性，算法簡單而且能夠實現稀疏度的自適應處理，具有一定的應用價值。

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