基于隨機響應面法考慮隨機變量相關性的概率潮流計算

郭小璇，龔仁喜，鮑海波

（ 1. 廣西大學 電氣工程學院， 廣西 南寧 530004； 2. 廣西電網電力科學研究院， 廣西 南寧 530023）

為了應對能源危機和不斷增長的負荷需求，緩解資源環境等諸多方面的壓力，實現智能電網電源側的清潔化，電力系統必然需要大規模的風電以集中或者分布式發電的形式接入[1-2]。 風電場輸出功率受風速等自然條件的影響， 具有隨機性和波動性。風電的大量接入勢必會對電力系統的潮流分布帶來影響。 傳統確定性的潮流分析方法[3-7]重視系統某一特定狀態的潮流分布，而沒有考慮特定狀態的出現概率，結果往往偏于樂觀，難以全面描述系統的運行狀況和潮流分布。隨機潮流分析技術[8-15]可以更深刻地揭示系統運行狀況，為系統安全運行及控制提供更完整的信息，是解決所存在問題的有效方法和手段。

隨機潮流技術是由Borkowska在1974年提出的[8]，運用概率統計方法處理電力系統運行中的隨機變化因素，給出系統的節點電壓、支路潮流等概率分布情況。 現今，常用的隨機潮流方法主要有模擬法[9]、解析法[10-16]和點估計法[17-18]等。 模擬法仿真次數多、耗時長，限制了其實際應用。解析法可考慮負荷波動、發電機和線路故障等多種隨機因素，可以一次求出支路潮流和節點電壓等狀態變量的期望、方差等信息， 在速度和精度上都取得了很好效果，但其需要復雜的公式推導。點估計法是近年來比較常用的概率分析方法，已在概率潮流、概率最優潮流、 電壓穩定概率評估等領域取得了很好的應用效果。

現有含風電場電力系統隨機潮流計算[16-20]，往往假設各節點之間的節點負荷相互獨立，各風電場的輸出功率也相互獨立。 但事實上，各風電場地理位置可能非常靠近， 其風速具有較強的相關性，從而各風電場的輸出功率也具有較強的相關性。 若不考慮相關性， 可能會對系統潮流變化的估計不足，造成系統運行風險的低估。 文獻[19]中采用自回歸滑動平均模型和時移技術的方法，研究了風速相關性對系統潮流分布的影響，但沒有給出考慮風速相關性的隨機潮流計算方法。 文獻[18]研究了結合正交變換技術的擴展的點估計方法，并將其應用于求解含風速相關的風電場電力系統潮流計算中。

為了準確描述風電場輸出功率隨機特性，分析風電接入對系統潮流分布的影響，本文提出了基于隨機響應面法[22-26]（ SRSM，Stochastic Response Surface Method）的電力系統隨機潮流計算方法。將隨機潮流分析轉化為確定性潮流分析，用傳統潮流計算方法加以求解，從而得到各潮流狀態變量（ 節點電壓、支路功率等）的統計特征值和概率分布。 考慮到地理位置靠近的多個風電場之間，風速具有較強的相關性， 進一步采用正交變換技術處理相關的風速。IEEE-14和IEEE-118系統的計算結果表明， 該方法與蒙特卡洛方法（ MC， Monte Carlo method）相比，具有較高的計算精度和較小的計算量。

1 含風電場的隨機潮流模型

1.1 風電場隨機模型

風電場的輸出功率取決于風電場內各臺風電機組的輸出功率，而風電機組的發電功率隨著風速的波動而變化，它與風速之間的關系可表示為[13-14]：

風電場輸出功率為：

式中，NW是風電場的風電機組臺數。

大量實測數據表明，一個地區的風速近似服從雙參數威布爾（ Weibull）分布，風電場風速v的概率密度函數表示為：

式中，K為威布爾分布的分布形狀參數；C為尺度參數。

經實測，大部分時間內風速維持在切入風速和額定風速之間，可近似認為Pr與風速v成一次函數關系，根據式（ 3），確定風機輸出有功功率PWg的概率密度函數：

結合式（ 2）即得到風電場輸出有功功率PW的概率密度函數。

目前，我國大型風電場中一般采用的是異步發電機，其在發出有功功率的同時從系統吸收無功功率。 假定通過電容器自動投切，可使風電機組功率因數恒定不變，風電場吸收無功功率為：

式中，θW為風電場的風機功率因數角。

1.2 節點負荷模型

由于電力系統預測、測量等方面的誤差，未來某一時刻的負荷預測結果，即系統中各節點負荷功率可以作為隨機變量。

各節點負荷隨機性，有功功率的隨機分布可以用以μ為均值，σ為標準差的正態分布表示。 PL的概率密度函數為：

假設各節點負荷功率因數保持不變，節點無功功率可由有功PL確定。

1.3 含風電場電力系統潮流方程

風電場可簡化處理為PQ節點，將其輸出功率考慮到潮流計算中建立如下的潮流方程：

式中，SPV和SPQ分別為系統PV和PQ節點集合；PGi和QRi為節點i傳統電源發出的有功、無功功率；PWi和QWi為節點i處風電場發出的有功、 無功功率；PLi和QLi為節點i負荷有功、無功功率。Vi和δi為節點i電壓幅值和相角；Yij為節點導納矩陣元素，αij為節點導納矩陣相應元素的相角，δij=δi－δj－αij。

2 隨機響應面法

SRSM基本原理[22]是在已知輸入隨機變量概率分布的基礎上， 將輸出響應近似表示為關于已知參數的混沌多項式函數， 進行少量仿真確定多項式的未知系數，進而得到所估計的輸出響應的概率分布。在本質上，SRSM與MC方法一樣， 屬于模擬類方法，保持著模擬類方法可并行的計算優勢， 其所需的仿真次數比MC方法更少，可以在減小仿真次數的同時保持估計的精度。

SRSM的一般計算流程如圖1中示。SRSM概率分析的基本步驟為：

1） 輸入變量標準化，將輸入隨機變量用一組標準隨機變量的函數關系表示。

2） 輸出響應標準化，將待求輸出響應用標準隨機變量為自變量的Hermite混沌多項式表示。

3） 樣本點模型計算，選擇適當的采樣點，進行樣本點的模型計算，確定混沌多項式中的待定參數，計算輸出響應概率分布的特征參數。

圖1 SRSM基本流程Fig. 1 Flow chart of SRSM

隨機潮流計算可看作“ 黑箱”，黑箱的模型為F，其待求的狀態變量是模型F的輸出響應Y=（ Y1，Y2，…，Ym）T，各風電場風速和部分不確定的節點負荷功率是模型F的輸入隨機變量X=（ X1，X2，…，Xn）T，模型F可表達為：

基于SRSM的隨機潮流計算問題，就是分析模型式（ 8）的響應Y的概率分布，其過程為：

第一步，選擇適當的標準輸入變量，本文選擇標準正態分布的隨機變量ξ=（ ξ1，ξ2，…，ξn）作為標準隨機變量，輸入變量X可由ξ表示為：

式中，F－1（·）為輸入隨機變量x的累積概率分布函數的反函數；Φ（·）為標準正態分布的累積概率分布函數。

滿足威布爾分布的風速v，用ξ標準化為：

滿足正態分布的部分不確定節點負荷，可用ξ標準化為：

式中，θL為節點負荷的功率因數角。

第二步，將輸出響應Y用關于ξ的Hermite混沌多項式表達：

式中，a0、ai1、ai1i2等為待定系數；Hm（ ξi1，ξi2，…）為ξ的m階Hermite多項式，其計算公式為：

混沌多項式（ 3）中待定系數的個數為

Hermite多項式的階數越高，m越大時，混沌多項式（ 12）對輸出響應Y模擬的精度越高，但同時待定系數的個數也越多。 大量的實際測試表明，當m≥3時，增加階數m所提高精度的影響已經不明顯，本文采用二階混沌多項式：

第三步，選擇Na個樣本點，計算各樣本點潮流，確定式（ 12）的待定系數。 樣本點選取原則是：選取0點和m+1階Hermit多項式的根作為采樣點， 每個標準正態隨機變量ξ都取為0或者m+1階Hermite多項式的根。 按此原則，可供選擇的采樣點個數為：

實際中，Nc垌Na。 因此，應選取高概率區域的樣本點，且關于原點對稱布置采樣點[25]。為了平衡每個樣本點對輸出響應的影響，選擇采樣點個數應大于Na，一般選擇2Na個。

若有2個標準隨機輸入變量（ ξ1，ξ2）， 輸出響應Y=（ Y1，Y2）T， 它們的二階混沌多項式的待定系數分別為a=（ a0，a1，…，a5）T和b=（ b0，b1，…，b5）T。 按采樣點選取原則，選取12個采樣點（ ξ1，1，ξ2，1），（ ξ1，2，ξ2，2），…，（ ξ1，10，ξ2，10）， 計算各樣本點輸出響應Y1，1， …Y1，12和Y2，1，…Y2，12。 所需求解的線性方程組表示為：

3 隨機變量相關性處理

3.1 正交變換技術

采用正交變換技術[18，27]，將原先相關的輸入隨機變量線性變換為不相關隨機變量。 由n個隨機變量組成的隨機向量X=（ x1，x2，…，xn）T，各隨機變量均值μ=（ μ1，μ2，…，μn）T，方差σ=（ σ1，σ2，…，σn）T，隨機變量xi和xj之間相關系數為ρij，協方差矩陣：

CX為對稱矩陣，存在正交變換矩陣P，通過式（ 9）變換將X轉化為不相關的隨機變量Z：

Z的協方差矩陣CZ為單位矩陣，即CZ=I。

實際工程中，CX一般是對稱正定矩陣， 可通過求解LLT=CX對其進行Cholesky解耦。

根據式（ 8）可以推導：

用SRSM概率分析時，需將相關的輸入隨機變量X變換為不相關的Z，再進行標準化。

3.2 結合正交變換技術的SRSM

隨機潮流計算模型的輸入隨機變量X為各風電場風速vi及部分不確定的節點負荷功率PLi和QLi。 由于各風電場風速具有相關性，X是相關的隨機變量。基于SRSM的隨機潮流計算步驟為：

1） 對X的協方差矩陣CX進行Cholesky解耦，得到變換矩陣P。

2） 通過式（ 9）將X轉換為不相關的隨機變量Z，將Z用標準隨機變量ξ表示。

3） 將潮流方程的狀態變量以關于ξ 的二階Hermite混沌多項式表示。

4） 選擇ξ的采樣點，先確定Z樣本點，然后通過X=B－1Z變換得到X樣本點，即得到各樣本點的vi、PLi、QLi。

5） 應用Newton法求解各樣本點的潮流。

6） 確定3）步中二階混沌多項式的待定系數，得到所需潮流方程狀態變量的概率分布。

4 算例分析

4.1 系統概況

在Matlab R2010b平臺編寫程序實現本文方法，所用計算機為IBM-PC兼容機，CPU主頻為2.19 GHz×2，內存為3 GB。 本文接入測試系統的各風電場主要數據，如表1所示。

在IEEE-14系統節點10接入風電場1，風電場額定輸出功率為30 MW，占所有發電機總有功出力的11.54%； 在IEEE-118系統的節點23、39、114接入風電場2、3、4，風電場總額定輸出功率為580 MW，占所有發電機總有功出力的15.81%。 接入電網的風電比例，符合當前系統實際。 假設不確定的節點負荷有功，服從以當前負荷有功為均值，標準差為5%均值的正態分布。

表1 各風電場參數Tab. 1 Parameters of wind farms

4.2 算法有效性測試

為驗證SRSM方法的有效性， 應用SRSM計算IEEE-14節點系統的隨機潮流， 并與10 000次仿真的蒙特卡洛方法計算結果對比。 表2和表3中分別為各節點的電壓幅值、相角的期望和標準差，表4和表5為各條線路的有功無功的期望和標準差。 基于SRSM的隨機潮流計算結果，與蒙特卡洛方法差別很小，均值和標準差的最大誤差都不超過3%，表明其具有可靠的計算精度。

IEEE-14系統中， 節點1處發電機承擔調頻任務。 圖2為節點1發電機有功出力的概率密度曲線。本文方法的結果，與蒙特卡洛方法吻合度很好。

4.3 風速相關性對隨機潮流的影響

電力系統中風電場地理位置可能會很靠近，其風速一般具有較強的相關性，各風電場的輸出功率也具有較強相關性。 根據各風電場風速相關性大小，分以下3種情況，計算IEEE-118系統的隨機潮流。

表3 IEEE-14節點系統電壓相角的期望和標準差Tab. 3 Expectation and standard deviation of voltage phase angle for IEEE-14 system

表4 IEEE-14節點系統各線路有功功率的期望和標準差Tab. 4 Expectation and standard deviation of line active powers for IEEE-14 system

情況1：風速不相關，相關系數ρW=0；

情況2：風速中度相關，ρW=0.4；

情況3：風速高度相關，ρW=0.8。

表5 IEEE-14節點系統各線路無功功率的期望和標準差Tab. 5 Expectation and standard deviation of line reactive powers for IEEE-14 system

圖2 平衡節點有功功率的概率密度曲線Fig. 2 Probability density distribution of active power of slack node

表6為不同情況下， 風電場接入節點和鄰近節點的電壓幅值的波動。 表7為不同情況下，部分線路傳輸功率波動。 結果表明，風速相關性對概率潮流的計算結果有較大影響。 考慮風速相關性時，節點電壓和線路傳輸功率的波動范圍較大，電壓越限和線路傳輸功率越限的概率也較大。

表6中，與情況1相比，情況3節點21電壓越限的概率從0.570 0增大至0.588 6，增大了3.25%。

表7中，與情況1相比，情況3下大部分線路的傳輸功率越限概率都有所增加。 圖3和圖4中是不同情況下，線路38-65和65-68傳輸功率的累積概率曲線對比。 同樣可以看出，風速相關性較大的情況3，線路功率的分布范圍較大。

表6 不同情況下部分節點電壓的波動Tab. 6 Voltage fluctuation at some nodes under different conditions

表7 不同情況下部分線路傳輸功率的波動Tab. 7 Line transmission power fluctuation under different conditions

圖3 線路38-65傳輸功率累積概率曲線比較Fig. 3 Probability density distribution of active power of slack node under different conditions for line 38-65

圖4 線路65-68傳輸功率累積概率曲線比較Fig. 4 Probability density distribution of active power of slack node under different conditions for line 65-68

表8中給出了不同情況下， 電壓越限概率大于0.005的節點個數和傳輸功率越限概率大于0.005的線路數。 顯然，風電場風速較高相關性時，系統中潛在危險的節點和線路數明顯增多。

表8 線路傳輸功率越限和節點電壓越限對比Tab. 8 Contrast of line transmission power fluctuation beyond limits and node voltage beyond limits

風電場之間風電場風速相關系數變化，平衡發電機有功出力和各風電場總有功出力的均值變化趨勢如圖5所示。 隨著風速相關系數的增大，風電場總有功出力均值先增大后減小，平衡發電機有功出力均值先減小后增大。 當風速相關系數為0.6左右時，風電場總有功出力最大約為260 MW，平衡發電機有功出力最小，約為240 MW。

圖5 發電機有功出力均值變化Fig. 5 Variation of active power mean values with wind speed correlation coefficient for generators

圖6中為平衡發電機有功出力和各風電場總有功出力的標準差變化趨勢。 風速相關系數的不斷變大，各風電場總有功出力的標準差變大，與此同時，平衡發電機有功出力的標準差也隨之變大。 可見，位置比較靠近、風速相關的風電場并網，對于平衡發電機的調節能力的要求更高。

圖6 發電機有功出力標準差變化Fig. 6 Variation of active power standard deviation wind speed correlation coefficient for generators

對于IEEE-118系統， 基于MC的隨機潮流運行一次時間為56.892 4 s， 基于SRSM的隨機潮流運行一次的時間是0.613 6 s， 僅約為MC方法的百分之一，其計算效率具有明顯優勢。

5 結論

本文考慮了風電場出力變化和節點負荷波動的隨機因素，提出了一種基于SRSM的隨機潮流計算方法。 研究了風電場之間風速的相關性，利用正交變換技術處理相關的風速，分析了其對隨機潮流分布的影響。 IEEE-14和IEEE-118節點系統的計算結果表明，該方法計算量少，計算效率高，結果準確。由于SRSM屬于模擬類方法， 具有可并行的計算優勢，可以將其與并行計算技術結合，推廣應用于電力系統其他概率分析問題的求解。

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