基于噴管結構參數公差的縱向距離散布

封 鋒，駱曉臣，陳 軍

（南京理工大學 機械工程學院，南京210094）

能量特性是固體推進劑的重要性能之一，也是固體火箭發動機設計、性能參數分析及優選推進劑等方面不可缺少的重要環節，是比較和評價固體火箭發動機性能優劣的主要指標［1］。比沖是評價固體火箭發動機能量特性的綜合因子，與固體火箭發動機結構參數有關，在固體火箭發動機的生產制造過程中，其制造公差必然會引起比沖的散布，進而對火箭武器射程具有較大的影響［2］。

本文以俄羅斯“旋風”TG－300發動機為背景，結合能量特性模型和質點彈道模型，對發動機結構參數（喉徑、擴張半角和膨脹比）公差［3］引起的比沖散布量進行研究，進而考察其對火箭縱向射程散布的影響。

1 計算模型及方法

1.1 能量特性模型

固體火箭發動機燃燒產物是一個十分復雜的混合物體系，包含s種氣相組分（q＝1，2，…，s），m種凝聚相組分（j＝1，2，…，m）和l種元素（k＝1，2，…，l），當處于平衡狀態時，由化學元素守恒原理知：

式中：aqk和ajk為當量系數；ngq和ncj表示1kg燃燒產物中氣相組分q和凝聚相組分j的物質的量，下標g表示氣相，c表示凝聚相；Nk為1kg燃燒產物中元素的總原子數。

根據Gibbs自由能判據方程，化學反應系統的吉布斯自由能在平衡時應達到最小，燃燒產物總自由能等于產物中各組分的自由能之和，由文獻［4］可得：

式中：G為吉布斯自由能；R0為通用氣體常數；T為燃燒總溫；p為混合燃氣壓強；g0為標準壓強下1mol組分的吉布斯自由能；ng為氣相組分總的物質的量。

令混合燃氣的吉布斯自由能為G（x）＝G／（R0T），cgq＝／（R0T）＋lnp，式（2）變換為為在滿足自由能G（x）最小的同時滿足質量守恒方程（1），需引入Lagrange乘子λ，對式（3）構造新的Lagrange變換式：

在一定條件下，使混合產物自由能G（x）達到最小的極值條件為

對式（5）按極值條件求導可得：

聯立式（5）和式（6）求解燃氣組分的熱力方程組，式（5）包括s＋m＋l個方程，可求解s＋m＋l個未知數，即s個ngq，m個ncj，l個λk。在求解過程中，式（5）還可以線性化處理，并可進一步消去氣相組分ngi以減少方程組的數目。

1.2 彈道模型

對于火箭彈在空中的運動，可做如下假設：①火箭彈飛行攻角δ＝0；②標準氣象條件，忽略科氏加速度；③地表面為平面；④重力加速度為常量，且豎直向下。

將火箭彈運動簡化為質點平面運動，得到以時間t為自變量在平面自然坐標系內的質心運動方程組［5］：

式中：v為質心運動速度；t為飛行時間；ap為加速度；Cb為彈道系數；H（y）為空氣密度函數；F（v，Cb）為阻力函數；g為重力加速度；θ為彈道傾角；x，y分別是水平方向和垂直方向的坐標。

式（7）可采用四階龍格庫塔法進行求解，積分初始條件為：t＝t0時，v＝v0，θ＝θ0，x＝x0，y＝y0。

2 計算與討論

2.1 結構尺寸公差對比沖的影響

2.1.1 喉徑公差對比沖的影響

喉徑dt對燃燒室壓強pc有直接的影響，pc又對比沖Isp有著重要的影響，內彈道平衡壓強計算關系式為

式中：M為裝填參量；ν為壓強指數。

對給定推進劑而言，裝填參量M與噴喉面積At成反比例關系，有

式中：dt為噴管喉徑。

由式（9）知，對式（8）兩邊取對數后微分，考慮壓強變化與喉徑變化相反，有

考慮到“旋風”TG－300發動機所選推進劑信息未知，參考國內8610推進劑，TG－300發動機參數參考pc＝13.0MPa，Δdt＝0.22mm，壓強指數ν＝0.45，喉徑公差Δdt引起壓強跳動量Δpc＝－0.104MPa，結合程序SRPS的能量預示模塊［6］，不同壓強條件下的比沖值Isp如圖1所示。

圖1 比沖和壓強的關系曲線

從圖1中可看出，比沖Isp隨壓強pc的增加而增加，且增加趨勢逐漸縮小，當壓強差Δpc＝－0.104MPa時，根據Isp和pc的關系曲線進行插值，比沖散布量ΔIsp＝1.5N·s／kg。

2.1.2 擴張半角公差對比沖的影響

對于TG－300發動機，αi和αe分別為特型噴管擴張段入口擴張半角和出口擴張半角，令α＝（αi＋αe）／2，在擴張半角α下的比沖修正系數為

對式（11）兩邊微分，在擴張比一定的條件下，有

式中：“－”表示比沖變化與擴張半角變化相反；Δα為擴張半角α的公差。

比沖的修正表達式為

對式（13）兩邊微分，有

將式（12）代入，有

對于TG－300發動機，在pc＝13.0MPa，噴管擴張比ζe＝2.55時，比沖Isp＝2 619.3N·s／kg。將擴張半角及公差代入式（15），有

從計算結果可以看出，擴張半角公差引起的比沖散布量為0.953N·s／kg。

2.1.3 膨脹比公差對比沖的影響

當膨脹比εe為已知條件時，可通過等熵等壓問題計算出該膨脹比εe條件下的燃燒產物平衡組分和熱力參數，最后計算出比沖值。

對于TG－300發動機，選取燃燒室壓強pc＝13.0MPa時，計算不同膨脹比εe下的比沖，如圖2所示。

圖2 比沖和膨脹比的關系曲線

從圖2中比沖數據可看出，比沖隨膨脹比的增加而增加，當膨脹比差 Δεe＝9時，比沖變化了266.5N·s／kg。

為考察膨脹比公差對比沖的影響，對膨脹比εe定義式微分，有

式中：de為噴管出口直徑，Ae為噴管出口面積。

式（16）可進一步簡化，有

對于TG－300發動機，將結構參數代入式（17），有

對于TG－300發動機，膨脹比εe＝6.502 5，膨脹比跳動量為Δεe＝0.007 8，則噴管膨脹比公差引起的最小膨脹比為

比沖和膨脹比的對應關系為

其中：Isp1和Isp2分別為2個參考插值點。

在ε′e＝6.494 7點進行插值，有

因此，比沖散布量為

從計算結果可以看出，膨脹比公差引起的比沖散布量為0.19N·s／kg。

2.2 比沖對縱向距離散布的影響

對于某遠程火箭武器，結合質點外彈道程序，比較以上3種因素引起的比沖散布量對縱向距離散布的影響，其參數如表1所示。表中，D為彈徑，i為彈形系數，θ0為射角，v0為初速度，m0為發射前總質量，mp為推進劑總質量，tw為工作時間。

表1 旋風TG－300火箭彈道諸元參數

參考2.1節喉徑公差、擴張半角公差和膨脹比公差所引起的比沖散布量及其總極限比沖散布量，其相應縱向距離散布量如表2所示，表中，Isp為比沖，X為射程。

表2 結構參數公差引起的縱向距離散布

從表2中縱向距離散布量可以看出，其極限公差引起的縱向距離散布量在－147.91～＋149.72m范圍，最大射程為70 927.1m，最小射程為70 627.7m。

3 結論

以旋風TG－300火箭發動機為背景，開展了基于噴管結構參數公差（喉徑、擴張半角和膨脹比）的縱向距離散布性研究，主要結論如下：

①綜合極限噴管結構參數公差下，發動機比沖散布量達±2.62N·s／kg，引起的縱向距離散布為－149.9～＋149.7m，不容忽視；

②噴管結構參數公差中，喉徑公差對比沖散布量影響較大，擴張半角公差次之，膨脹比公差影響最小；

③TG－300發動機結構公差總體較合理，改進加工工藝或條件，可對喉徑公差和擴張半角公差做進一步限制。

［1］武曉松，陳軍，王棟.固體火箭發動機原理［M］.北京：兵器工業出版社，2010.WU Xiao－song，CHEN Jun，WANG Dong.Solid rocket engine principle［M］.Beijing：Ordnance Industry Press，2010.（in Chinese）

［2］張成，楊樹興.姿態穩定火箭彈射程散布的仿真研究［J］.彈道學報，2004，16（3）：21－27.ZHANG Cheng，YANG Shu－xing.The simulation study of the range dispersion of attitude stabilized rocket［J］.Journal of Ballistics，2004，16（3）：21－27.（in Chinese）

［3］王元有.固體火箭發動機設計［M］.北京：國防工業出版社，1984.WANG Yuan－you.Solid rocket engine design［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1984.（in Chinese）

［4］GORDON S，MCBRIDE B J.Computer program for calculation of complex chemical equilibrium compositions and applications.NASA－RP－1311［R］.1994.

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