矩量法求解半波偶極子天線上的電流分布

李新獻+李偉勤+施岱松

摘要：矩量法是將連續方程離散為代數方程組的方法，此法對于求解微分方程和積分方程均適用，本文以半波振子天線為例，詳細推導了半波振子天線的Pocklington積分方程，利用分域三角基和伽遼金方法的矩量法求解Pocklington積分方程，得到了半波振子天線上的電流分布，分析了對應的電場和磁場的分布情況，并簡單介紹了半波陣子天線在電子藥丸上實現無線通信及能量傳輸的應用。

關鍵詞：矩量法；半波陣子天線；分域三角基；伽遼金方法

中圖分類號：TM144

文獻標識碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2015.06.026

本文著錄格式：李新獻，李偉勤，施岱松，矩量法求解半波偶極子天線上的電流分布陰，軟件，2015，36（6）：139-145

CalculationoftheSurfaceCurrentDistributionoftheDipoleAntennaBasedonMoM

LIXin-xianl，LIWei-qin2，SHIDai-song2

[Abstract]：Suitableforsolvingthedifferentialequationsandintegralequations，MethodofMomentsisthediscretecontinuityequationintoalgebraicequations.Takingthehalf-wavedipoleantennaasanexample，detailedhalf-wavedipoleantennaforthePocklingtonintegralequationisdeduced，andthemomentmethodtosolvePocklingtonintegralequationsbyusingthetrianglebasisandgammaLiao.jinmethodandthecurrentdistributionhalf-wavedipoleantennawereobtained.Thedistributionofthecorrespondingelectricfieldandmagneticfieldareanalyzedandtheapplicationofhalfwavedipolearrayantennaforwirelesscommunicationandenergytransmissioninelectronicpillareintroduced.

[Keywords]：Methodofmoment；Half-wavedipoleantenna；Piecewisetrianglefunction；Galerkinmethod

0引言

天線是用來進行電磁波輻射和接收裝置，主要用于通信、探測和能量輸送，結構上主要有由導線或金屬棒構成的用于長波、短波、超短波線天線和由金屬面或介質面構成的面天線，主要是用于微波波段[8]；對天線的求解方法有三種：一種為精確求解的解析方法，是通過求解滿足邊界條件下的麥克斯韋方程組實現，第二種是以逐步逼近法、微擾法、變分法和迭代法為代表的近似法（準解析法），其求解結果一般表示為級數解，多用于第一種方法不能解決的問題；第三種方法是數值方法，其核心思想是將微分方程化為差分方程，或將積分方程化為有限求和，從而建立代數方程組，也可以將微分方程或積分方程用矩量求解。

半波偶極子天線是一種典型的低增益的輻射組件，其感應電流分布在零階近似的情況下數學處理非常方便，其傳輸函數、頻域和時域的輻射場均可以用解析函數表達出來[7]。因此，通過分析其天線輻射機理和特性，對弄清楚寬帶和超寬帶天線天線如何工作具有重要意義。而基于數值方法的矩量法不僅可以用來求解積分方程，而且可以用來求解其他算子方程，是一種誤差最小的方法，具有廣泛的應用。矩量法是一種采用基函數和檢驗函數離散化積分方程的數值方法，它的基本思想是將一個泛函方程化為矩陣方程，然后求解該矩陣方程。對于天線問題可以建立描述天線表面感應電流的積分方程，求出該電流即可進一步得到天線的輻射特性。本文應用矩量法求解偶極子天線電流的Pocklington積分方程，進而由電流分布求出該天線的其他特性。

1矩量法基本原理

根據線性空間理論，N個線性方程的聯立方程組、微分方程、差分方程及積分方程均屬于希爾伯特空間中的算子方程，它們可化作矩陣方程予以求解，在求解過程中需計算廣義矩量，故此法稱為矩量法。

如果非齊次方程為：

L（f）=g

（1）

式中L是線性算子，g為已知激勵函數，f為未知響應函數，算子L的定義域為算子作用于其上的函數f的集合，算子L的值域為算子在其定義域上運算而得到的函數g。L取不同形式，人們便可描繪不同的電磁場工程問題，如：

1.1矩量法（MoM）的基本步驟

1）展開未知函數廠為有限個線性無關的已知簡單函數fn之和。式中an是系數，fn被稱為N線性無關的展開函數或基函數。N個未知數al.a2，a3aN，此時算子L作用域已知函數fn上，待求系數a移到算子L之外，使求解方便。

2）作內積

在L的值域內選一組線性無關的函數Wm（權函數），分別與Lf和g作內積式（4）即為三∽_g的近似算式

3）變換為矩陣方程：lmm=gm=則Llmn][an]=[gn]

4）矩陣求逆如果矩陣Llmn]是非奇異，則

注意：fn必須是線性無關，選擇恰當可使∑anfn很快逼近fo權函數wm的選擇適當也會是計算方便，

二1

當fn=Wm時稱仂Ⅱ略金法（GarlerKin'smethord）

1.2基函數和權函數的選擇

基函數：MoM法的一個重要問題是基函數fn的選取，理論上有許多基函數可供選擇，只要它們是線性獨立的即可。但實際上，人們往往只能有少量的某些函數可較好地逼近待求地f通常選取地基函數應使矩陣有較少的階次，求逆陣方便，收斂快等要求。

1）全域基函數：在待求函數廠的全部定義域中存在且不為“0”，如：

（1）冪級數

fn=x-xn+1

（3）麥克勞林級數n=InX2（n-l）

2）分域基函數：在待求函數廠的全部定義域中存在，但部分為“0”。如

（1）脈沖函數（分段均勻）

如圖1所示，其表達式為

（2）分段線性函數

如圖2所示，其表達式為

（4）二次插值函數

（5）正旋插值函數

權函數：作為對展開基函數的檢驗函數，常用的有以下兩類。

1）全部基函數均可作為權函數（或階段函數）

Wm的作用是對Lf-g系統加權（激勵）。通常Lf=g通過選取基函數已經簡化為anlfn=g在N個待求的ai的方程，此時選N個激勵去列N個方程從而解出N個ai。一般這種激勵選δ函數是方便的。

當選擇基函數等于權函數時，（厶=%時為伽略金法）稱為伽略金法。在特定的問題中，主要任務是選擇展開基函數和權函數，它們必須是線性無關的。展開基函數可以分為全域基和分域基，分域三角型基函數如圖1所示；權函數一般有點匹配法，伽略金法，最小二乘法等，伽遼金方法是選用和展開基函數相同的函數作為檢驗函數的方法。應用矩量法需注意誤差分析、方程收斂性和積分奇異點處理等問題。δ2矩量法在線天線分析中的應用

由于線天線在實際中應用廣泛，而且是分析其它天線的基礎，所以用矩量法分析線天線有重要意義，多數文獻采用脈沖基函數和點匹配的方法分析線天線的Hallen積分方程[7]，本文詳細推導了線天線的Pocklington積分方程，應用分域三角基和伽遼金的矩量法對半波對稱振子天線上電流分布特性進行了分析分析研究。δ2.1Pocklington積分方程的建立

考察如圖3所示的l=λ/2半波偶極天線，并作以下近似：電流沿導線軸流動；體電流密度，可以用線電流，近似；體電荷密度p用線荷密度σ近似；忽略天線端面的周向電流IΦ和和徑向電流Ip，認為線上電流僅為長度變量z的函數，即I=I（z）與φ，p無關[6]。

當半波振子天線上在加上饋電信號V時，或在接收電場作用時，近似有Eo=V/△z，陣子上將產生感應電流，我們將電流分布按分域三角基函數展開。下面推導對應的波克林頓積分方程。

令天線線長為，，線徑為a，且滿足>>a，天線端面處之Je和天線側面處之Jω略之不計，由于a<<λ，所以Je貢獻很小，可以忽略不計，又由于圓對稱，所以J=0，Jsz沿導體周界均勻分布，所以Jsz面電流分布可視為集中于軸線上的線電流，其表達式如下：根據以上假設可知動態矢量位A只有Az分量，即邊界條件EsIt+E1|l，=0（電場切向分量=0）導體表面處E|t=2Ez；Z向分量即為切向分量

利用洛淪滋條件

代人（12）式

在導體表面處

導體表面上

將Az代人（14）式，并交換微積分次序，可得

由導體邊界條件

式（16）即為Pocklington'sEquation，寫成算子形式為：

上述方程即是Pocklington，Pocklington積分方程激勵為E。對于一段d的電流元，其矢量位為

z位觀測點位置，z為源點位置，如圖1所示，對長度為2，的載流導體得Pocklington積分方程為

E，是由源場Ez，在陣子上產生感應電流輻射產生的場，源場則來自施加在天線饋電端的電壓，由邊界

條件知在導體上的電場之和趨于零，則有

對Ez的表達式進行微分重組可得到如下形式

2.2矩量法求解Pocklington方程

根據第3節的模型，將電流函數，（z7）按圖所示的分域三角型基函數厶（z7）展開，并取有限近似，即選伽遼金方法，即取和展開基函數相同的檢驗函數記為厶（z），得

得到矩陣方程

根據以上推導，進行MATLAB仿真，得到偶極子天線的各項特性如圖4—圖7所示，從圖可以看出，該天線在E面的輻射方向圖呈8字形，在H面是一個全向輻射。

3偶極子天線在生物醫學上應用

2013年6月24日出版的美國《紐約時報》印刷版刊文稱，正當人們探討可穿戴計算設備時，形似藥丸的內服式計算設備也逐漸開始興起。通過在藥丸中整合各種傳感器和發射器，便可以實現監控人體內部狀況的目的。如今也有一種新的可吞服電子產品，可以當藥品或醫療器械。

“我給你開了兩枚電子藥丸。請每隔12小時服用一次。你吃下它之后，我會收到它發來的電子郵件，獲得你最新的內臟器官運行數據。分析完這些數據，我會通知你詳細結果。”

如圖9所示的電子藥丸，包裹在膠囊內部的主要部件是超微傳感器和發射器。和普通藥丸一樣，它可以用水或牛奶沖服。服用它就是監控你的身體狀況，并將數據無線發送到外部設備中。由于偶極子天線的小型化和高集成性能，使得無線藥丸或膠囊中無線收發多采用偶極子天線來實現。4結論

本文分析了矩量法在半波偶極子線天線計算中應用，通過采用分域三角基函數和伽遼金方法求解了Pocklington方程，用Matlab仿真實現偶極子天線的各項特性，計算結果與解析解比較吻合，表明矩量法在線天線計算中能得到較好的效果，當然矩量法還可以用于其他天線的分析，如八木.宇田天線，陣列天線等，文中也簡單介紹了偶極子線在電子藥丸上的應用。

參考文獻

[1]王秉中.計算電磁學[M].北京：科學出版社，2002.

[2]（美）哈林頓（R.F.Harrington）.計算電磁場的矩量法[M]王爾杰譯.北京：國防工業出版社，1981.

[3]姜光興，曹偉，朱洪波.基于不同積分方程的線天線矩量法分析[J].南京郵電大學學報，2005，25（1）：46-50.

[4]呂英華.計算電磁學的數值方法[M].北京：清華大學ILIJ版社，2006.

[5]（美）CleveB.Moler著.MATLAB數值計算[M]喻文健譯.北京：機械工業出版社，2006.

[6]黃惠芬，張少芳.使用新型頻率選擇表面反射板來提高超寬帶天線的性能[J].新型工業化，2013，3（12）：9-14.

[7]劉曉志，吳永剛.基于雙曲余弦函數的智能天線白適應波束形成算法[J].新型工業化，2014，4（3）：74-78.

[8]劉寧，呂英華.一種用于人體中心網絡的超寬帶可穿戴織物天線[J].新型工業化，2011，1（6）：49-5.