淺談基于知識轉(zhuǎn)化下的專題復(fù)習(xí)三步曲
——以圖形面積一線等分問題為例

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

淺談基于知識轉(zhuǎn)化下的專題復(fù)習(xí)三步曲
——以圖形面積一線等分問題為例

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

依據(jù)轉(zhuǎn)化思想可知，數(shù)學(xué)習(xí)題一般是用所學(xué)過的知識來求解的，因此，相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的突破口．中考復(fù)習(xí)時(shí)，若能以知識溯源為主線，以“怎樣做、怎么想到這樣做和同一類型還可怎么做”為三步曲進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，必能收到事半功倍之效．那么，具體如何操作呢？下面是筆者對“圖形面積一線等分問題”專題復(fù)習(xí)課的一點(diǎn)嘗試，不當(dāng)之處，歡迎廣大同仁斧正．

（1）求拋物線的解析式.

（2）若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值.

（3）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線l交于R、Q兩點(diǎn)，問在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PR與PQ總是關(guān)于y軸對稱？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

一、怎樣做

圖1

評注：若至此結(jié)束本題的教學(xué)是膚淺的，因?yàn)閷W(xué)生只懂得了怎樣做，至于為什么這樣做（即怎么想到這樣做），卻不甚了解，仍處于一知半解狀態(tài)．

二、怎么想到這樣做

師：你是怎么想到這樣做的呢？

生1：我是這樣想的，要求k實(shí)際上就是求直線l的解析式，即求其所經(jīng)過的某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．那么直線l經(jīng)過直角梯形OBDC內(nèi)的哪個(gè)點(diǎn)才能將其面積一分為二呢？我記得“經(jīng)過中心對稱圖形的對稱中心的任一條直線將其面積兩等分”，但直角梯形OBDC是非中心對稱圖形，如何轉(zhuǎn)化呢？對比矩形，我由“等積轉(zhuǎn)化”想到取BD的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作OB的垂線EF，構(gòu)造出與直角梯形OBDC等積的矩形OEFC，找到對稱中心N，從而求出k了．

師：太棒了！你的解題思路蘊(yùn)含了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，即數(shù)學(xué)問題一般都是運(yùn)用所學(xué)過的相關(guān)的知識加以解決．因此在解決具體問題時(shí)，我們首先要明確這是哪類問題，然后追溯與此類問題相關(guān)的知識點(diǎn)有哪些，最后綜合條件選定解決本題所適用的知識點(diǎn)，確定解題方法．那么引例第（2）問屬于哪一類問題呢？

生眾：圖形面積一線等分問題．

師：初中階段，除了“過中心對稱圖形的對稱中心的任一條直線將其面積兩等分（不妨稱為知識源1）”外，與“圖形面積一線等分問題”有關(guān)的知識源還有哪些呢？

生2：三角形一邊上的中線把它分成面積相等的兩個(gè)三角形（知識源2）.

生3：經(jīng)過梯形上、下底中點(diǎn)的直線把梯形分成面積相等的兩個(gè)梯形（知識源3）.

生4：運(yùn)用圖形面積公式計(jì)算進(jìn)行處理（知識源4）．

師：非常好！以上四點(diǎn)是我們今后解決“圖形面積一線等分問題”的重要思考方向和主要解題策略．

評注：一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識、信息、符號，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的最佳策略和致勝法寶．因此，通過追溯知識源可以明確處理問題的思維方向，找到解決問題的突破口．此外，最重要的是通過此環(huán)節(jié)的追問，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會分析和學(xué)會轉(zhuǎn)化，提升解決問題的能力．

三、同一類型還可怎么做

1．引例解法再探究

師：引例還能用其他知識源處理嗎？

圖2

師：非常好！由四邊形OBDC為梯形，你選擇了知識源3作為解題的突破口，但你是怎么想到直線l必經(jīng)過EF的中點(diǎn)P的呢？

生5：顯然直線l與直線EF不平行也不重合，即相交．那么當(dāng)交點(diǎn)位于線段EF的什么位置時(shí)，直線l把梯形OBDC的面積兩等分呢？我首先猜想特殊點(diǎn)——線段EF的中點(diǎn)P，此時(shí)易證△GEP≌△HFP，得被直線l分成的兩個(gè)梯形的面積相等，故猜想正確．

師：很好！是不是“經(jīng)過連接梯形上下底中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)的任意一條直線都將梯形的面積二等分”呢？

生6：不一定．只有當(dāng)這條直線還與梯形上下底都相交時(shí)才成立，其他情況未必成立．

師：精準(zhǔn)！由此我們可把知識源3推廣為：經(jīng)過連接梯形上下底中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)且與兩底都相交的任一直線將梯形的面積兩等分．

師：果然簡捷．同學(xué)們對生7的解法有什么想法嗎？

圖3

師：方法一、二都只求出一解，為什么方法三求出的k有三解呢？

師：雖然這種情形不存在，但只有通過計(jì)算才能說明，從思維嚴(yán)謹(jǐn)性上來說，應(yīng)補(bǔ)上；類似地，方法二也應(yīng)補(bǔ)上此筆．

2．利用知識源2（三角形的中線把三角形面積二等分）求解

例1（2010年江蘇連云港第27題）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．

（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線，一定是三角形的面積等分線的有_________.

（2）如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．請你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（3）如圖5，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，請說明理由．

圖4