排除干擾善切換，特殊圖形需識別
——由2015年廣東省中考卷第24題的解析說起

☉江蘇省連云港市西苑中學 董海榮

排除干擾善切換，特殊圖形需識別
——由2015年廣東省中考卷第24題的解析說起

☉江蘇省連云港市西苑中學 董海榮

平面幾何內容一直是各地中考試卷中的重點考查內容，在每份中考卷的最后兩道把關題中，至少有一道題涉及較為繁雜的平面幾何題，本題以2015年廣東省中考卷第24題為例，講解這道平面幾何題的突破思路，并就該題的命題立意給出思考，與同行研討．

一、考題展示

考題1（2015年廣東省中考卷第24題）⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過B（C的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG、CP、PB.

（1）如圖1，若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數；

（2）如圖2，在DG上取一點K，使DK＝DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；

（3）如圖3，取CP的中點E，連接ED并延長交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB.

圖1

圖2

圖3

二、思路突破

1.識別特殊三角形，問題快速突破

2.切換基本圖形，證得平行關系

由（1）中的探索不難發現AC∥GP，如何能再找出AG∥CK就可以了．而結合CD＝BD，KD＝DP，可得四邊形CKBP是平行四邊形，有CK∥BP，而AB、GP是兩條直徑，容易得出AG∥BP，于是AG∥CK，所以四邊形AGKC為平行四邊形．

3.排除干擾巧轉化，聚焦圖形妙解題

再次增加強化條件“點E為PC的中點”后，圖3中的線條繁雜，不太容易發現線段之間的關系．讓我們把目光先聚焦在△BCP中，可以得出ED是△BCP的中位線，則有ED∥BP，于是過渡到DH∥BP，現在認真觀察圖3中的△OBP，△OBP是等腰三角形，所以容易得出OD＝DH，可證△OBD≌△HOP，此時結合（1）中就有的BD⊥OP，問題得證．

（2）由（1）知，CD＝BD，因為∠BDP＝∠CDK，DK＝DP，所以△PDB≌△CDK，所以CK＝BP，∠OPB＝∠CKD.因為∠AOG＝∠BOP，所以AG＝BP，所以AG＝CK.因為OP＝OB，所以∠OPB＝∠OBP.又∠G＝∠OBP，所以AG∥CK，所以四邊形AGCK是平行四邊形.

（3）因為CE＝PE，CD＝BD，所以DE∥PB，即DH∥PB.因為∠G＝∠OPB，所以PB∥AG，所以DH∥AG，所以∠OAG＝∠OHD.因為OA＝OG，所以∠OAG＝∠G，所以∠ODH＝∠OHD，所以OD＝OH.又∠ODB＝∠HOP，OB＝OP，所以△OBD≌△HOP，所以∠OHP＝∠ODB＝90°，所以PH⊥AB.

解后反思：從上面的思路突破與解法來看，能否在較為繁雜的圖形和線條中排除干擾是解題的關鍵．事實上，解題教學中，為了取得較好的教學效果，我們還可以將以上每小問中的基本圖形或需要聚焦的圖形刪減一些線段，第（1）（2）（3）問分別對應著圖4～6.

圖4

圖5

圖6

根據教學經驗，有些幾何適應性不好的學生在分離圖形之后就能幫助他們理解得更好．

三、同類考題鏈接

考題2（2015年江蘇省常州中考卷第27題）如圖7，一次函數y＝-x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A作x軸的垂線l，點P為直線l上的動點，點Q為直線AB與△OAP外接圓的交點，點P、Q與點A都不重合．

（1）寫出點A的坐標.

圖7

（2）當點P在直線l上運動時，是否存在點P使得△OQB與△APQ全等？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

簡答：（1）因為y＝-x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，所以A（4，0），B（0，4）．

（2）①當點Q在線段AB上時，由于∠OBQ＝∠PAQ＝45°，此時△OQB≌△QPA．設Q（a，-a＋4），則a）.因為△OQB≌△QPA，所以，所以a＝4-.因為，所以4，此時OP的中點C的坐標為，所以此時點P、Q在以點C為圓心的圓上，符合要求．所以

②當點Q在AB的延長線或BA的延長線上時，△OQB與△APQ不全等．

圖8

四、教學思考

1.幾何教學需要引導學生學會分離和聚焦圖形

從上面的解后反思來看，引導學生學會分離圖形，排除無關線段的干擾，專注于需要研究的圖形局部、有效部分是十分重要的．有時像解后反思中提到的圖4～6，則需要安排學生來幫助分離，并分享講解給其他學生聽，這樣一方面教者能看出學生是如何思考這類線條繁雜的幾何問題，另一方面也充分拉長了幾何教學的過程，使得更多學生能理解，同時還傳遞了要學會從復雜圖形中分離和聚焦圖形的意識.

2.要重視模式圖形和基本圖形的積累、捕捉與構造

以“考題2”第（3）問來看，如果平時對所謂的“射影定理”基本圖形并不熟悉，沒有做過認真的積累、梳理和思考，那么在緊張的考場上就難有較好的適應性，如果不能很迅速地從繁雜圖形中識別、捕捉出這類基本圖形，那思路可能就會一閃而過，放棄一條可能成功的道路．所以有不少同行目前采用了讓學生在課后寫“數學寫作”的方式整理、積累、深入思考做過的數學問題，特別是值得積累的模式圖形及其性質，筆者也十分欣賞這種做法，并在自己的教學實踐中也要求少數優秀學生進行“數學寫作”，踐行一年多，取得較好的教學效果．

1.鄭毓信．“數學思想”面面觀［J］．中學數學教學參考（中），2012（8～10）．

2.章建躍．數學概念的理解與教學［J］．中學數學教學參考（上），2010（11）.

3.史寧中．數學思想概論（第1～4輯）［M］．長春：東北師范大學出版社，2008、2009、2009、2010．

4.羅增儒．數學的領悟［M］．鄭州：河南科學技術出版社，1997.H