中考壓軸題的一種價值取向：平實、簡約

☉江蘇省泰州市蘇陳中學 韓新正

中考壓軸題的一種價值取向：平實、簡約

☉江蘇省泰州市蘇陳中學 韓新正

今年是《義務教育數學課程標準（2011年版）》實施以來的第一次中考，中考試題發生了哪些變化？近日，筆者認真研究了江蘇省泰州市2015年數學中考試題，其中的壓軸題給了筆者很大的觸動，壓軸題均來源于課本題內容的挖掘、整合、拓展與延伸，清新自然，平實而不平庸，簡約而不簡單.現結合具體的試題分析，以期能管中窺豹，對今后的教學提供幫助，僅供參考.

一、壓軸題特色簡述

泰州市2015年數學中考試卷延續以往的框架結構，選擇題6題，填空題10題，解答題10題，共計26題，其中填空題最后一題（第16題），解答題第25題，第26題是壓軸題，區分度適中，試題均來源于課本題內容的挖掘、整合、拓展與延伸，壓軸題難度不大，學生感覺比較熟悉，命題者沒有在新、奇、特上做文章，但對學生思維能力提出較高要求，要求學生在充分理解基本題的基礎上，形成較為系統的解題思路，否則，即使這些試題對學生來說似曾相識，也無法下手.試題風格平實、簡約，關注學生基本素養和數學思想是今年泰州卷最大的亮點.

1.平中出奇，平實而不平庸

泰州卷的兩道壓軸題給筆者留下深刻的印象，一道是第16題，該題是把矩形和軸對稱（翻折）相結合，命題者在常規的基礎上加上OE=OD這一條件，提高了對考生思維的要求；另一道是第25題，取材于蘇科版教材八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”例5原題，當考生面對這兩題時，首先感受到的是熟悉，是來自心理上的放松，不會出現面對陌生情境的慌張，體現了命題者對考生的人文關懷，但細細分析，又不是簡單的陳題照搬，命題者充分重視和挖掘例、習題的價值，在常規背景下，對學生的思維提出更高的要求，真是平實而不平庸，令人贊嘆.

圖1

例1（2015年泰州卷第16題）如圖1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE= OD，則AP的長為_________.

感悟：矩形中的翻折問題是常見題型，在平時的練習中經常見到，如果我們不做深入的思考，做一題，丟一題，那么對這類問題就不會有深刻的理解，面對中考題中似曾相識的問題，也會無從下手，這就要求我們注重對平時所做題目的積累、歸類和思考，本題一般按照折痕的位置進行分類，如圖2～圖7.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

同時對解題方法進行歸納：通過翻折得到全等三角形（圖4中可能有兩對）、等腰三角形（如圖5中的△AFC），然后應用勾股定理解題.

例2（2015泰州卷第25題）如圖8，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由；

（3）求四邊形EFGH面積的最小值.

簡析：（1）易證△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，所以EH=EF=FG=GH，所以四邊形EFGH是菱形，易證∠HEF=90°，所以四邊形EFGH是正方形.

（3）設正方形EFGH的面積為y，AE=x，則AH=8-x，所以EH2=AH2+AE2，所以y=（8-x）2+x2，即y=2x2-16x+64，即y=2（x-4）2+32.所以當AE=4時，四邊形EFGH面積的最小值為32.

感悟：問題（1）是取材于蘇科版教材八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”例5原題，問題（2）中直線EG過正方形ABCD的中心，這一點在平時的學習中很容易知道，但如何證明需要思量，本題除了“簡析”中的證法外，還可以先證明梯形AEDG和梯形CGEB全等，且關于正方形ABCD的中心對稱，其中點E、G是對稱點，則直線必經過對稱中心.問題（3）構建面積關于邊長的函數關系，并利用函數關系式求出面積的最小值，這是求最值的通法，在平時的學習中就應該深刻理解，牢固掌握.本題從課本原題出發，對思維進一步拓展，堅持通法解題，這就要求我們平時要加強對課本例、習題的重視，要對其教學價值進行挖掘，對其解題通法進行研究，舉一反三.

2．通法解題，簡約而不簡單

數學壓軸題難，通常體現在知識點間的跨度大、聯系廣，圖形復雜、閱讀量大、干擾因素多，解題思路靈活，數學思想綜合運用難度大，所以不少學生對壓軸題望而生畏，只感覺到數學的“冰冷”，從沒感受到數學的“美麗”，進而影響著學習數學的興趣，這固然與數學本身較難有關，但我們的命題導向也加劇了數學的難度，增加了學生學習數學的困難，如果命題者立足于知識跨度小一點，圖形簡單一點，閱讀量少一點，解題思路多一點的價值取向，試題就會變得簡約而不簡單，但思維會更加深刻.這一點，泰州試題的壓軸題可圈可點！

例3（2015泰州卷第26題）如圖9，已知一次函數y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數的圖像上，點P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；

圖9

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求出當d1+d2=3時點P的坐標；

（3）若在線段AB上存在無數個P點，使d1+ad2=4（a為常數），求a的值.

簡析：（1）易知OA=2，OB=4，由三角形中位線定理得d1+d2=3.

（3）因為點P在線段AB上，所以d1+ad2=4可以轉化為-y+ax=4，即-（2x-4）+ax=4，所以（a-2）x=0.因為在線段AB上存在無數個P點，即x有無數個解，所以a-2=0，即a= 2.

感悟：本題呈現方式比較簡潔，閱讀量小，三個問題梯度明顯，且以上一小題為鋪墊，逐層深入，著重考查函數的本質和科學的探究方法，題目簡約，但思想卻不簡單，對學生思維的深刻性有較高要求.問題（2）的轉化思想和分類思想比較明顯，首先，要把d1、d2轉化為在不同的象限對應的x和y；其次，要分類討論點P在不同位置時d1+d2的范圍.而問題（3）中轉化思想的運用比較隱蔽，考生可以從問題（2）中得到啟迪和借鑒，在數學思想上問題（2）、（3）是一脈相承的，本題三個問題層次分明，對數學知識、解題方法、數學思想層層深入.在今后的學習中，我們不能僅滿足于會解具體的題目，而應該在解題中體會數學思想的運用，本題中知識的難點不多，只要把函數轉化為一元一次方程即可，但這一轉化過程對學生的思維要求較高，所以，轉變我們的學習方法刻不容緩.

二、對教法、學法、解題方法的影響

相比較往年，泰州中考數學試題壓軸題的閱讀量小了（全卷總字數只有1949個），區分度也降低了，通篇看不到難、新、奇的題目，試卷少了一份高冷，多了一份清新和熟悉.在目前的大背景下，泰州的數學試題無疑是大膽的，也許會遭到一些人的詆毀（創新不夠，難度不大），但這卻是數學教育前行的方向，切實減輕學生過重的課業負擔，讓數學回歸本真，讓數學學習走出重復，讓學生跳出題海，讓笑容重新回到孩子們的臉上，也許這才是數學教育的歸屬.泰州今年的數學中考試題至少在教法、學法、解題方法三個方面影響著我們.

1.理解課標，用好教材是教學的底線

章建躍教授說：“教之道在于‘度’，學之道在于‘悟’.”在課改實驗中，許多老師覺得這個“度”不好把握.筆者認為這主要是對課標、教材的研讀還不夠深入所致，不領悟教材就不可能把握好“度”.課本、課本，一科之本.課堂教學應“以課本為本”.理解好教材是當好數學教師的基本前提.教師組織教學本應深刻理解課程標準，理解教材，用好教材.現在許多“講學稿”、“導學案”已經完全拋開課標和教材，變成了赤裸裸的習題集，學生在重復、機械的訓練中變成了學習工具.2015年的泰州中考試題在命制過程中尊重課本，凸顯教材的主體地位，90%的試題源于課本題內容的挖掘、整合、拓展與延伸.如第16題是比較常見的課本題的改編，第25題取材于蘇科版教材八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”的例5原題等，所以教學的底線必須是理解課標，用好教材.

2.積累題組，形成數學思想是學習的主線

學生該如何學習？是跳進題海，大量訓練，所謂見多識廣，還是精練多思，積累題組，歸納解題方法，形成穩定數學思想呢？顯然，前者有做不完的題目，且學而不思，即使相同、相似的題目也不會歸類，找不到共同的解法，學習效率必然低下，永遠也跳不出題海，從而苦不堪言，通過2015年泰州的數學試題，我們發現90%的試題源于課本題內容的挖掘、整合、拓展與延伸，這就告訴我們不必跳進題海，以課本例、習題為根，把每次見到的新題目進行歸類，形成題組，不斷豐富題組，歸納題組的解題方法，進而養成用數學思想解題.科學學法如圖10所示.如例1，我們平時注意對基本題目進行歸類，形成圖2至圖7的題組，找到解決這類題目的規律就是全等三角形、等腰三角形、勾股定理，這樣有利學生形成良好的學習習慣，而不必跳進題海不能自拔.

圖10

3.掌握通法，少玩技巧是解題的核心

如何解題？方法和理論很多，但最核心的方法還是掌握解決問題的通性通法，運用通法解題，再難的題目我們都可以“回到原點，從概念出發”解題，在宏觀層面上運用數學思想解題是我們追求的目標，但靈活運用數學思想解題非一日之功，需要平時的不斷積累，在解題過程中不斷感悟和內化，形成穩定的思維模式.本案例中的通法比較明顯，例2、例3的幾個問題都是以上一小題為鋪墊，逐層深入，通過轉化、分類等思想解題.尤其是例3先通過把d1、d2轉化為在不同的象限對應的x和y，再分類討論點P在不同位置時d1+d2的范圍，然后再把函數巧妙地轉化為一元一次方程，從而求出參數a的值，這樣的解題方法不是通過簡單的多做題就可以習得的技巧，而是通過長期的訓練形成的良好的數學思維，是內化的數學思想在此處的靈活應用.這不是簡單的技巧，是數學思想，是解決數學問題的通法，我們學習解題一定要拋開玩技巧的心態，立足通法解題，唯有大視界才有大智慧.

1.章建躍．中學數學課改的十個論題［J］．中學數學教學參考（中），2010（1～2）.

2.蔡映紅．數學加工，讓教材“活”起來——以蘇科版八年級上“1.3探索三角形全等的條件（1）”為例［J］．中學數學（下），2015（6）.

3.蔡新春．回歸數學本真富含數學韻味——2013年南通市中考數學第28題賞析［J］．中學數學（下），2013（10）.Z