變指標Herz型Hardy空間上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博師范高等專科學校 數理科學系，山東 淄博 255130)

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變指標Herz型Hardy空間上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博師范高等專科學校 數理科學系，山東 淄博 255130)

應用變指標Herz型Hardy空間上的原子分解定理，證明了Littlewood-Paley算子在變指標Herz型Hardy空間上的有界性。

Littlewood-Paley算子；變指標；Herz型Hardy空間；有界性

在彈性力學、流體力學及其所涉及的偏微分方程研究中，很多情況下需要處理某些具有非標準局部增長條件的問題，其數學表現形式為所謂具有變指標的函數空間問題.隨著1991年Ková?ik和Rákosník的文章[1]出現后，近些年來，變指標函數空間理論得到了迅速的發展，具有可積性指標的Lebesgue空間和Sobolev空間被廣泛研究[2].之后人們相繼建立了變指標Bessel位勢空間(即廣義變指標Sobolev空間)[3]，變指標Triebel-Lizorkin空間[4]，變指標Herz空間[5]，變指標Hardy空間[6]和變指標Herz型Hardy空間[7]，對于調和分析中的重要算子及其交換子在上述空間中的研究也得到了豐富的成果.另外，關于這些空間的許多應用也相繼被人們發現[8].本文應用變指標Herz型Hardy空間上的原子分解定理，證明了Littlewood-Paley算子在此空間中的有界性.

一、預備知識和記號

賦予如下Luxemburg-Nakano范數

‖f‖Lp(?)(Ω)=

則Lp(?)(Ω)是Banach空間, 稱之為變指標Lebesgue空間, 或者可以簡單地看作是變指標Lp空間, 因為它們推廣了標準的Lp空間: 如果p(x)=p是常數, 那么Lp(?)(Ω)與Lp(Ω)是等距同構的. 變指標Lp空間是Musielak-Orlicz空間的一種特殊情形.

p-=essinf{p(x):x∈Ω}>1,p+=esssup{p(x):x∈Ω}<.記p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令Β(Ω)為p(·)∈Ρ(Ω)并使得Hardy-Littlewood極大算子M滿足Lp(?)(Ω)有界的指數函數p(·)的集合.

定義 1.1[5]令α∈, 0

在此基礎上我們給出變指標Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無窮可微且在無窮遠處迅速遞減的函數所構成的,S'(n)表示S(n)的對偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數, 其定義為

其中ΑN=

定義 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定義 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非負整數s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n)

(1)' 對某個r≥1有suppa?B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

在主要結論的證明中，我們還需要下面的幾個引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?lder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 則存在正常數C使得對所有n中的球B和所有可測子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1, δ2都同引理1.3中的一樣).

引理 1.4[5]設p(·)∈Β(n). 則存在常數C>0使得對所有n中的球B, 都有

二、主要結論及證明

給定ε>0和函數ψ滿足下面三個條件：

定義Littlewood-Paley算子為

近來，Cruz-Uribe等人[9]給出了Littlewood-Paley算子的Lp(?)(n)有界性，下面我們將其推廣到變指標Herz型Hardy空間中.

定理 令nδ2α

0

因此, 我們得

=:I1+I2.

(1)

我們首先估計I1. 由aj的消失矩條件和廣義H?lder不等式, 我們得

所以由引理1.2-1.4, 我們有

‖Sψ(aj)χk‖Lq(·)(n)C2jε-k(n+ε)

‖aj‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq'(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

現在我們來估計I2. 類似地, 我們考慮p的兩種情形. 當0

I2=

(5)

I2C

(6)

結合(1)和(3)-(6), 我們有

因此, 定理得證.

[1]Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 41(4): 592-618.

[2]Diening L, Harjulehto P, H?st? P, et al. Lebesgue and Sobolev spaces with variable Exponents[M]. Heidelberg: Springer, Lecture Notes in Math, vol. 2017, 2011.

[3]Diening L, Riesz potential and Sobolev embeddings of generalized Lebesgue and Soblev spacesLp(?)and Wk, p(?)[J]. Math Nachr, 2004, 268(1), 31-43.

[4] Xu J S, Variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces[J]. Ann Acad Sci Fenn Math, 2008, 33, 511-522.

[5]Izuki M, Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization[J]. Anal Math, 2010, 36(1), 33-50.

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[9] Cruz-Uribe D, SFO, Fiorenza A, Martell J M, et al. The boundedness of classical operators on variable Lpspaces[J]. Ann Acad Sci Fen Math, 2006, 31, 239-264.

(責任編輯：胡安波)

By the atomic decomposition theorem,we prove that Littlewood-paley operators are bawded on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent.

Littlewood-Paley operator; variable exponent; Herz-type Hardy space; boundedness

2014-12-04

王洪彬(1981-)男，山東淄博人，博士，淄博師專數理系教師，主要從事調和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，山東濰坊人，碩士，淄博師專招生就業處教師，主要從事英語教育研究。

注：本文為淄博師范高等專科學校課題“變指標Herz型空間中算子的有界性”[13xk023]的階段性研究成果。

O174.2

A

(2015)02-0071-04