入乎其內“反稱點”，出乎其外“圓外圓”
——2015年北京市中考卷第29題解析與鏈接

☉江蘇省江陰市華士實驗中學 宋體河

入乎其內“反稱點”，出乎其外“圓外圓”
——2015年北京市中考卷第29題解析與鏈接

☉江蘇省江陰市華士實驗中學 宋體河

北京市中考卷常常因為試題的新穎而倍受關注，特別是近幾年來全卷最后一題（也稱壓軸題）都是以一道新定義考題來把關，更是引發很多同行命題研究的興趣，也成為備考師生全力應對的熱點題型，同時還帶動了北京市各區七、八年級期末考試把關題的命題導向．本文就來關注2015年北京市中考卷第29題的思路突破與命題立意，與同行研討．

一、考題及思路突破

考題1（2015年北京市中考卷第29題）在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP＋CP′＝2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，圖1為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．特別地，當點P′與圓心C重合時，規定CP′＝0．

圖1

（1）當⊙O的半徑為1時.

②點P在直線y＝-x＋2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍.

思路突破：（1）①解決該小題的關鍵是計算這三個點到圓心O的距離，根據反稱點的定義，如果該距離大于圓的直徑2時，則不存在反稱點，如果不大于直徑2，則都有反稱點；據此，可以發現點M（2，1）到圓心O的距離是>2，則它關于⊙O的反稱點是不存在；而到圓心O的距離是到圓心O的距離是2，都有反稱點，分別是

②由點P在直線y＝-x＋2上，容易構造圖2分析，根據①中得出的結論，點P到圓心O（原點）的距離不大于2，可以直觀發現在直線y＝-x＋2上，只有當0≤x≤2時，對應著的點P符合要求，再結合題目限制的反稱點P′不在x軸上，則需要舍去坐標軸上兩個點，即x≠0，x≠2，即點P的橫坐標的取值范圍為0

圖2

圖3

如果說上述思路還略顯晦澀的話，我們還可以將問題進一步直觀化，即再作出一個半徑為2的⊙O，如圖3，這個大圓“圈住”直線y＝-x＋2的那一段則是符合條件的點P所在位置．

圖4

二、考題鏈接與揭示結構

考題2（2013年北京市中考卷第25題）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB＝60°，則稱P為⊙C的關聯點．

（1）當⊙O的半徑為1時.

①在點D、E、F中，⊙O的關聯點是_________；

②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO＝30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求m的取值范圍.

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍．

揭示結構：由于不少期刊已對該題多有探討，我們不準備詳細闡述思路，通過圖形直觀的方法揭示問題結構：所謂“關聯點”，可以用圖5形象地展現出來．

圖5

考題3（2015年江蘇無錫卷第26題）已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．

（1）是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值．

揭示結構：由“∠OPA＝90°”獲得啟示，如圖6，構造出輔助圓與直線y=2交于兩點，而這兩點就是后續問題求解的關鍵．

圖6

三、教學思考

其實到各地中考卷中檢索，還能發現很多需要構造輔助圓的考題，我們關心的不是多多益善，而是透過這些考題獲得怎樣的教學思考．

1.解題教學要引導學生“回到概念去解題”

解題教學在目前初中數學課堂中占有很大比重，往往影響著數學教學質量的提升和品質的追求．與過分追求題型教學、技巧教學、熟能生巧相比，引導學生“回到概念去解題”值得倡導，這一方面是倡導解題教學要重視概念的復習與深刻理解，另一方面也是踐行“數學，根本上是玩概念的”（李邦河院士語）．從上面三道考題來看，輔助圓的出現使得解法直觀、簡明、好懂，是一種居高臨下的解法！可是，如何想到的？對于“考題1”來說，雖然“圓外圓”出現在圖3中，啟發了思路而且帶動了后續問題更直觀的理解，然而根本上還是在第（1）問中解讀新概念，得出“關鍵是計算這三個點到圓心O的距離，根據反稱點的定義，如果該距離大于圓的直徑2時，則不存在反稱點，如果不大于直徑2，則都有反稱點”．

2.解題教學要重視反思回顧環節

解后回顧反思是很多數學大師、數學教育專家學者提倡的好習慣，因為在反思回顧環節可以加深對問題本質的認識，特別是重視問題深層結構的揭示．比如“考題2”與“考題3”的解后回顧環節，如果缺少對輔助圓出現的反思，就難以讓學生從問題深層結構的高度認識和理解考題．羅增儒教授曾指出：“解題教學缺少解后反思，‘如人無手，入寶山而空返’．”以上我們關于各個考題求解思路之后，輔助圓的價值、意義的追問都可以在解題教學中對學生進行啟發，可以引導學生及時記錄、整理，根據我們的教學實踐，對于解題能力的提升是有積極意義的．

1.袁亞良，江海人．一次市級說題比賽的成果展示與思考［J］．中學數學教學參考（中），2014（5）.

2.肖維松．回到概念：解題教學的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學為例［J］．中學數學教學參考（中），2014（7）.

3.耿華東．數形互助來破題，探索發現是導向——2014年北京卷壓軸題解析與思考［J］．中學數學（下），2014（8）.

4.【德】菲利克斯·克萊因，箸．高觀點下的初等數學（第一卷）［M］．舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯．齊民友，審．上海：復旦大學出版社，2008．

5.章建躍．中學數學課改的十個論題［J］．中學數學教學參考（上），2010（3～5）.H