用《幾何畫板》探索無理數(shù)π的案例

卡滿別克·塔勒合

(新疆教育學(xué)院(新疆師范高等?？茖W(xué)校)數(shù)學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊 830000)

用《幾何畫板》探索無理數(shù)π的案例

卡滿別克·塔勒合

(新疆教育學(xué)院(新疆師范高等?？茖W(xué)校)數(shù)學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊 830000)

數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。 隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面。同時(shí),信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響,打破了數(shù)學(xué)教學(xué)只需要一支粉筆和一塊黑板的教學(xué)模式,已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本要素和教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)的必要工具,為數(shù)學(xué)教育和研究開辟了新的領(lǐng)域。

幾何畫板 信息技術(shù) 無理數(shù)

《幾何畫板》是優(yōu)秀數(shù)學(xué)教學(xué)工具軟件，具有功能強(qiáng)大、操作方便、易學(xué)易用、制作課件簡(jiǎn)便快速等特點(diǎn)。《幾何畫板》在全國推廣已經(jīng)十多年了，在我區(qū)各類學(xué)校推廣進(jìn)展與全國相比較緩慢，用《幾何畫板》開發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)課件和教學(xué)資源方面還處在初步探索階段，它的功能和優(yōu)勢(shì)沒有得到充分的發(fā)揮。本人在從事多年的數(shù)學(xué)教學(xué)和“雙語教師”培訓(xùn)工作中，用《幾何畫板》開發(fā)了大量的數(shù)學(xué)教學(xué)課件與數(shù)學(xué)教學(xué)資源，也積累了一定的課件制作經(jīng)驗(yàn)和開發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)資源的方法。數(shù)學(xué)課件是現(xiàn)代信息技術(shù)同數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的有效結(jié)合而制作的輔助教學(xué)工具。下面用具體的例子來進(jìn)一步說明用《幾何畫板》探索無理數(shù)π的值。

在傳統(tǒng)教學(xué)中，探索無理數(shù)π是一個(gè)難度比較大的問題，教師在黑板上畫邊數(shù)不同的好幾個(gè)正多邊形，也很難展現(xiàn)出多邊形邊數(shù)的變化而圖形連續(xù)變化的過程和規(guī)律。利用幾何畫板的動(dòng)畫功能，就能很好的解決這一問題。在下列圖形和表格中，字母n，an，hn，Cn，Sn分別表示一個(gè)內(nèi)接圓的正多邊形的邊數(shù)，邊長，邊心距，周長和面積，r，C，S分別表示圓的半徑，周長和面積。把正多邊形的邊數(shù)n作為幾何畫板中的參數(shù)，用幾何畫板的度量和數(shù)據(jù)菜單，分別計(jì)算an，hn，Cn，Sn和r，C，S的值，用畫板的深度迭代(參數(shù)迭代)功能，很容易畫出通過正多邊形的邊數(shù)n的變化而變化的內(nèi)接圓的正多邊形。當(dāng)參數(shù)n不斷增加的時(shí)候，我們很容易發(fā)現(xiàn)hn與r，Cn與C，Sn與S關(guān)系和CN÷2hn的值與π的關(guān)系。

心理學(xué)認(rèn)為變動(dòng)的事物，圖形容易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的映像。以上的圖表的變化中，我們可以歸納出以下結(jié)論：

(1)通過用內(nèi)接圓的正多邊形的邊心距、周長和面積的數(shù)量關(guān)系的變化，可以探索和估計(jì)圓的半徑、周長和面積的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，通過用內(nèi)接圓的正多邊形的周長與2倍的邊心距的比值來，可以探索和估計(jì)無理數(shù)π的值。

(2)通過數(shù)形結(jié)合思想和無限接近(極限)的思想，我們可以對(duì)無理數(shù)π這樣下定義：當(dāng)正多邊形的邊數(shù)n無限增大的時(shí)候，它的周長Cn與2倍的邊心距hn的比值無限接近于一個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)叫做圓周率，用字母π來表示。這就是無理數(shù)π的實(shí)際意義，也是對(duì)無理數(shù)π的新認(rèn)識(shí)。

如表所示，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)n分別為n=5000和n=7000的時(shí)候，表格中的hn，Cn，Sn，Cn÷2hn的值與和它們分別對(duì)應(yīng)的r，C，S，π的值幾乎相同。用《幾何畫板》的深度迭代功能，我們很容易體會(huì)“量變到質(zhì)變”的哲學(xué)思想和范疇(如圖2所示)。

(3)充分利用《幾何畫板》軟件的功能，開發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)資源及其輔助教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)哲學(xué)思想(如，量變到質(zhì)變，偶然性與必然性，內(nèi)因外因，內(nèi)容與形式，原因和結(jié)果等)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

在以上案例中我們可以看出《幾何畫板》在開發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)資源、探究性學(xué)習(xí)和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維中的重要作用。從這個(gè)意義上說《幾何畫板》不僅應(yīng)成為教師教數(shù)學(xué)的工具，更應(yīng)該成為學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的有效工具，學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形或者用參數(shù)迭代，猜測(cè)和驗(yàn)證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的經(jīng)驗(yàn)，從而更有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力、開闊思路、開發(fā)智力、促進(jìn)素質(zhì)教育有著不可忽視的作用。

[1]義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)北京師范大學(xué)出版社, 2012.

[2]《幾何畫板課件制作教程》(第三版)首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系組編.科技出版社,2010.

卡滿別克·塔勒合(1959—),男,哈薩克族,新疆教育學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院副教授,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。