用Delta 法估計誤差相關測驗合成信度的置信區間:以FAD 為例*

葉寶娟，楊 強

(1.江西師范大學心理學院，江西省心理與認知科學重點實驗室，南昌330022;2.江西師范大學教育學院，南昌330022)

1 引言

信度是衡量測驗質量的重要指標，α 系數是目前最常用的評價測驗信度的指標，但在題目測量誤差(簡稱誤差)相關的情況下往往會高估測驗信度，這種高估的偏差可以高達兩成(Green ＆ Yang，2009;Revelle ＆ Zinbarg，2009;Sijtsma，2009;溫忠麟，葉寶娟，2011)。雖然在大多數的研究中，假定誤差不相關是合理的，但在一些情況下誤差之間會相關，如速度測驗、刺激材料相同的測驗題目、測驗分數有瞬間誤差(transient error，被試對測驗有某種特殊的感情、態度等會影響其測驗分數而產生的誤差)等等(Green，2003;Green ＆ Hershberger，2000;Green ＆Yang，2009;Steinberg，2001)。在心理與教育中，經常使用加入反向題目(negatively worded item)的單維測驗，比如感恩測驗、自尊測驗、自我概念測驗、家庭功能測驗等，這類測驗正向題、反向題的誤差也可能存在相關。在以往的研究中，平衡使用正向題和反向題的單維測驗通常當作單維分析，但越來越多的研究者發現這樣的測驗存在項目表述方法效應(method effect)，即由項目表述引起的變異，應當加以控制(DiStefano ＆ Motl，2009;Marsh，Scalas，＆ Nagengast，2010;Vautier ＆ Pohl，2009;Ye，2009)。檢驗測驗是否存在方法效應的一種做法是相關特質相關特性(Correlated - Trait Correlated - Uniqueness，CTCU)模型，把項目表述效應當作影響因子結構的噪音，通過限制所有的正向題或反向題的測量誤差相關，將項目表述效應分離。在誤差相關的情況下，使用α 系數估計測驗信度是不合適的，利用驗證性因子模型，用合成信度(composite reliability)可以比較準確地估計測驗信度(Bentler，2009;溫忠麟，葉寶娟，2011;Yang ＆ Green，2010)。

許多研究者提倡用置信區間來報告參數估計結果(例如，Bonett，2010;Maydeu -Olivares，Coffman，＆Hartmann，2007;Woods，2007;葉寶娟，溫忠麟，2011，2012a;Zou，2007)。如果可接受的信度包含在測驗信度的置信區間中，則還不能判斷此測驗的信度是否可以接受(葉寶娟，溫忠麟，2011)。

對于誤差不相關的情形，有三種方法或途徑估計合成信度的置信區間:Bootstrap 法、Delta 法和直接引用SEM 軟件(如LISREL)輸出的標準誤進行計算(葉寶娟，溫忠麟，2011)。Bootstrap 法得到的結果是實證結果，最為可信，但需要數據模擬技術，非常麻煩。Delta 法是一種近似計算，可在SEM 軟件中添加額外參數編程，根據結果文件輸出，進行簡單計算即可得到標準誤，比Bootstrap 法簡單。SEM 軟件添加額外參數估計合成信度時，結果文件會直接給出其標準誤，此法比Bootstrap 法和Delta 法都要簡單。葉寶娟和溫忠麟(2011)的模擬研究顯示，Delta 法的標準誤與Bootstrap 法的標準誤差異很小，而LISREL 輸出的標準誤遠遠大于Bootstrap 法的標準誤，推薦用Delta 法估計合成信度的置信區間，但不能直接用LISREL 輸出的標準誤來計算。用Mplus 容易計算Delta 法估計的合成信度的置信區間，若用LISREL 需要將有關的結果代入Delta 法公式進行計算。

對于誤差相關的情形，目前尚未見到用Delta法計算合成信度標準誤公式，本文將進行這方面的工作。簡單介紹了單維測驗合成信度;介紹了如何用Delta 法估計誤差不相關時單維測驗合成信度置信區間;對誤差相關的情形，推導出用Delta 法計算合成信度標準誤的公式，據此可以計算合成信度置信區間;用中文版FAD 分測驗“總的功能”為例說明了如何用本文推導的公式進行計算。

2 單維測驗合成信度

設一個單維測驗由p 個題目x1，x2，…，xp組成，測量了因子ξ，δ1，δ2，…，δp分別為x1，x2，…，xp的誤差，則有

其中，λi表示題目i 在因子ξ 上的負荷。如果整份測驗的分數相加有意義，整份測驗分數X = x1+ x2+ … + xp的合成信度為(Yang ＆ Green，2010)

其中，cov(δi，δk)表示誤差δi和δk之間的協方差。當誤差之間不相關時，cov(δi，δk)= 0 ，則公式(2)變為

公式(3)是公式(2)的特例。很容易看出，如果誤差存在相關，但仍用公式(3)計算合成信度是不準確的。如果題目的誤差存在正相關，忽略誤差相關計算的合成信度可能高估測驗信度。

3 用Delta 法估計誤差不相關單維測驗合成信度的置信區間

近年來，許多研究用Delta 法估計參數的置信區間(例如，Laenen，Alonso，Molenberghs，＆ Vangeneugden，2009a，2009b;Raykov，2011;Raykov ＆ Penev，2009，2010)。Raykov(2002)最先將Delta 法用于合成信度的區間估計中，在誤差不相關的條件下，他推導出估計單維測驗合成信度的標準誤公式為

其中，u 是標準化因子負荷之和，u^是其估計，v 是誤差方差之和，是其估計:

D1和D2由下面公式計算得到:

如果誤差相關，用公式(4)估計的合成信度的標準誤可能不準確，此時需要推導新的公式。

4 用Delta 法計算一般的單維測驗合成信度置信區間

Raykov(2002)用Delta 法推導公式(4)的時候，是從公式(3)出發的。在誤差相關的情形，要從公式(2)出發。設

則(2)式變為:

對上述公式應用Delta 法(葉寶娟，溫忠麟，2012b)，可以推導出誤差相關單維測驗合成信度的標準誤為:

其中，D3和D4為:

測驗合成信度的置信度為1 - α 的置信區間為:

其中，Zα/2是標準正態分布的雙側α 分位點。公式(10)就是Delta 法得到的置信區間，半徑為Zα/2·SE()，表示信度估計的誤差范圍。區間長度越短(即標準誤越小)，估計的信度精確度越高，反之，精確度越低。

5 用Delta 法估計合成信度的置信區間示例

下面用一個例子說明如何用本文推導的公式計算誤差相關的單維測驗合成信度的置信區間。

家庭是個體成長和社會化的重要場所。家庭功能(family functioning)是衡量家庭系統運行狀況的重要標志，會對家庭成員心理發展產生很大影響。家庭實現其功能的過程越順暢，家庭成員的身心健康狀況就越好，反之，則容易導致家庭成員出現各種心理問題以及行為問題。

最常用的評價家庭功能的工具之一是家庭功能評價測驗(簡稱FAD)，是依據Mcmaster 的家庭功能模式編制的家庭功能測驗(第三次修訂版)，中文版由劉培毅、何慕陶(1999)進行翻譯和修訂，有7 個分測驗，共60 個項目，25 個正向題，35 個反向題。雖然測驗中包含反向題，但以往的研究者沒有研究此測驗是否存在方法效應，直接使用α 系數估計測驗信度。如果存在方法效應，α 系數失去了參考價值。本例將研究FAD 分測驗“總的功能”，在探討其結構的基礎上，演示如何比較準確的計算其合成信度及其置信區間。

5.1 被試

采用整群隨機抽樣，選取某地區六所初級中學(三所城市普通中學，三所鄉鎮普通中學)的600 名青少年(平均年齡為14.54 歲，SD=0.86)作為調查對象。其中，男生283 人，女生317 人，初一216 人，初二197 人，初三187 人;父親和母親沒有固定工作者分別為15.2%和40.1%。父親與母親的受教育水平為“未受過正規教育或小學”者分別為15.8%和34.6%，“初中”水平者分別為52.0%和49.0%，“高中/職高”水平者分別為22.4%和12.7%，“大學專科/本科及以上”者為9.8%和3.7%。這與國家統計局公布的第六次全國人口普查數據相應群體受教育水平的全國平均狀況以及本調查所在地區的平均狀況均非常接近。

5.2 工具

采用FAD 分測驗“總的功能”，共12 題，其中第1、3、5、7、9、11 為反向題，2、4、6、8、10、12 為正向題，采用4 級評分制，其評分為:很像我家=1、像我家=2、不像我家=3、完全不像我家=4。將6 個反向題反向計分。

5.3 程序

在征得學校領導和青少年本人的知情同意后，以班級為單位進行團體施測。主試為經過嚴格培訓的心理學研究生。要求被試根據指導語要求認真、獨立作答。被試完成全部問卷約需5 分鐘，所有問卷當場回收。

5.4 結果分析

為分離項目表述效應，按照Tomás 和Oliver(1999)的建議，本研究構建7 個理論模型。其中，模型M1認為分測驗的結構是單維的，即只有一個因子。而M2、M3和M4均為相關特質相關特性模型(CTCU)，它們在一個因子的基礎上，假定存在正向題的測量誤差相關(M2)或反向題的測量誤差相關(M3)或兩者同時存在(M4)。而M5、M6和M7為相關特質相關方法模型(CTCM)，即在一個因子的基礎上分別假定存在一個反向題項目表述效應因子(M6)或正向題項目表述效應因子(M7)，或兩者同時存在(M5)。接下來從擬合指數、模型的負荷兩方面來比較7 個競爭模型。

模型M4沒有收斂，因此未將其列入比較之列。由表1 可知，單因素模型M1擬合最差，χ2/df 最大，RMSEA 大于臨界值0.08(溫忠麟，侯杰泰，Marsh，2004);考慮項目表述方法效應的模型均好于模型M1，其中，模型M2和模型M5擬合很好，χ2/df，SRMR很小，模型M3、M6和M7居中，擬合也不錯。由此可見，與M1相比，考慮項目表述效應的模型擬合更好，并且模型更簡約。

表1 競爭模型的擬合指數比較

溫忠麟等(2004)認為，評估模型的優劣，除了要考慮擬合指標是否達到臨界值，還要考察參數估計值的意義以及模型的可解釋性。如表2 所示，在模型M5中，第11 題在方法因子的負荷為負值，這不太合理，同時分離出方法效應后，第5 題在總的功能上的負荷小于0.3，此題沒有很好的測量總的功能，因此，模型M5不好;分離出方法效應后，在模型M2、M6、M7中，第1 和第5 題的負荷小于0.3，第5 題在總的功能上的負荷尤其低，這說明第1 和第5 題沒有很好的測量總的功能，因此，模型M2、M6、M7不好;在模型M1中，第5 題在總的功能上的負荷小于0.3，此題沒有很好的測量總的功能，因此模型M1不好;相比之下，在模型M3中，除第5 題外，各題的負荷均在0.4 之上，第5 題的負荷也高于在其它模型中的負荷，所有題目都較好的測量了總的功能，因此，相對于其它模型來說，模型M3好。

實施最嚴格的耕地保護制度。全省耕地保有量1.14億畝，劃定永久基本農田9587萬畝，連續18年實現耕地占補平衡，保障糧食生產能力穩步提升。建立生態紅線管理和生態補償制度，對重要生態區域實施紅線管理，對生態公益林、重要濕地和海域海島保護給予生態補償。建立自然保護地管理制度。在資源集中、區位重要、特色鮮明區域，建立各類省級以上自然保護區45處、地質礦山公園67處、森林公園119處、濕地公園204處、海洋公園12處，典型自然生態系統和生物多樣性得到有效保護。持續推進礦產資源整頓規范，取締關閉非法采礦和一批露天開采礦山，建成國家級綠色礦山37處，數量居全國第二位。

綜合擬合指數、負荷方面信息，我們認為反向表述CTCU 模型M3是對總的功能結構的最好解釋，即中文版FAD 總的功能分測驗是單維結構，所有題目都測量了總的功能一個因子，反向題的測量誤差相關。此外，對反向題項目表述效應進行統計控制后，此分測驗的單維結構更好。

表2 競爭模型的負荷比較

接下來計算總的功能的信度，附錄1 是計算這份測驗模型M3的合成信度的LISREL 程序，并且可得到用公式(9)計算置信區間所需要的參數。這個程序與普通的CFA 程序差不多，僅多了幾個額外參數。LISREL 的輸出結果可以給出公式(2)中的合成信度的點估計值，以及公式(9)中的所有參數(但D3和D4需要計算)將LISREL 的輸出結果代入公式(9)容易求得合成信度的標準誤，進而用公式(10)計算其置信區間。本例合成信度的點估計值為0.76，合成信度的標準誤為0.02，合成信度95%的置信區間為(0.72，0.80)。

為了進一步驗證用Delta 法得到的置信區間的精確度，在LISREL 中用Bootstrap 法抽樣1000 次，得到合成信度的標準誤為0.02(可以看作真值，參見葉寶娟，溫忠麟，2011)，因而95%的置信區間為(0.72，0.80)，與用Delta 法得到的置信區間(0.72，0.80)相同，說明用Delta 法估計的結果相當精確。

如果此例按誤差不相關的公式(3)計算合成信度，用公式(4)計算標準誤，合成信度的點估計值為0.85(高 估 了0. 09)。標 準 誤 為0. 01(低 估 了0.01)，95%的置信區間為(0. 83，0. 87)，與Bootstrap 法得到置信區間(0.72，0.80)差別很大，信度下限相差了0.11。本例α 系數點估計值為0.86(高估了0.10)，用Bonett(2010)的方法計算其置信區間為(0.84，0.88)，信度下限相差0.12。

6 結論和討論

估計測驗的信度是進行數據分析的必須前提和關鍵性步驟(Biemer，Christ，＆ Wiesen，2009;Vangeneugden et al.，2010)。如果測驗信度估計不準確，可能會高估或低估變量間的真實關系，直接影響基于信度基礎上所做的統計分析的結果(Lachin，2004;Laenen et al.，2009a)。

在一些情況下測驗誤差之間會相關，此時，最常用的評價測驗信度指標α 系數往往會高估測驗信度，而用合成信度可以較好的評價此種情況下測驗信度。測驗的合成信度是一個未知的總體參數，實證研究中需要用樣本的合成信度來估計。同其它參數的點估計一樣，樣本的合成信度會圍繞總體的合成信度波動。用合成信度的置信區間來評價測驗的信度，尤其是當樣本的點估計值在可接受的信度水平附近時，可對測驗的質量做出更為客觀的評價。

在實證研究中，如果用速度測驗、刺激材料相同的測驗題目或測驗分數有瞬間誤差及測驗有正向題、反向題時，應當檢查測驗題目的誤差是否相關。如果相關，不能用α 系數估計信度，也不能用誤差不相關的合成信度公式，而應該用誤差相關的合成信度公式及標準誤公式計算測驗的合成信度及其置信區間，才能比較準確地估計測驗信度。本文的例子已經充分說明了這一點。

在FAD 分測驗“總的功能”中，反向題存在項目表述效應，導致反向題的誤差相關，分離出項目表述效應的單維模型M3能較好地解釋測驗的結構。建議在使用該測驗時，考慮此測驗的方法效應，建立反向題誤差相關的CFA 模型估計測驗的信度及其置信區間。

Mplus 軟件的高版本(如6.0 以上)用Delta 法計算合成信度的標準誤(Muthén ＆ Muthén，2010)，并可以直接輸出合成信度的置信區間，與本文用Delta 法求得的一樣(計算誤差除外)。附錄1 給出了用Mplus6.11 求本文例子合成信度的點估計值及其置信區間的程序。在程序中OUTPUT 部分添加CINTERVAL 命令可以直接得到合成信度的置信區間。附錄1 的程序可以直接得到合成信度的點估計值、Delta 法的標準誤，以及相應的合成信度置信區間。如果讀者使用Mplus 軟件，可以套用附錄1 的程序進行計算。

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附錄1 計算單維測驗的合成信度的Mplus 程序

注釋:合成信度的點估計值及用Delta 法計算的合成信度的標準誤，對應于Mplus 輸出結果中的“MODEL RESULTS”部分中的“New/Additional Parameters”H4 的參數估計值及其標準誤，其值為0.76 和0.01。合成信度的95%置信區間的下限和上限，對應于Mplus 輸出結果中的“CONFIDENCE INTERVALS OF MODEL RESULTS”部分中的“New/Additional Parameters”H4的“Lower 2.5%”和“Upper 2.5%”的值，其值為0.72 和0.80。