字母混淆矩陣的多維尺度分析*

趙廣平

(1.復旦大學社會發展與公共政策學院，上海200062;2.閩南師范大學教育系，漳州363000)

多維尺度分析法(multidimensional scaling，簡稱MDS)是一種多變量的探索性數據分析技術，能夠推斷出被試知覺空間的維度。該技術將大型數據壓縮到低維空間，形成直觀的空間地圖。以空間中的“點”表示對象，點間距表示對象的相似度或相異性。MDS 處理的原始數據是一種對刺激或對象間的整體相似性和相異性進行度量的數據，并不嚴格要求數據的正態分布假設(Jaworska ＆ Chupetlovska-Anastasova，2009)具有很強的數據適應性。

1 MDS 原理簡介

根據原始數據的計量水平，可把MDS 分為計量(metric)和非計量(non -metric)的。計量MDS 技術假定對象間的相似性矩陣數據呈現了矩陣的屬性，就像地圖上測得的距離一樣。人們能夠通過什么方法知道地圖上兩個城市A 與B 之間的距離呢?一種方法是通過量尺來測量;另一種方法也可以通過2 維空間坐標系確定兩城坐標A(Xa，Ya)和B(Xb，Yb)來計算其距離dab，常用的歐式距離就定義為:

反過來，如果人們知道城市間的距離，是否可能根據距離畫出地圖呢?Torgerson 首次解決了該問題。算法涉及線性代數的知識，距離采用歐式距離，這是一種構建MDS 空間的優先選擇的距離算法。當然，還有非歐距離，這受到具體研究問題的約束(Torgerson，1952)。

非計量MDS 技術是由Shepard 和Kruskal 發展起來的，主要運用對象間的排序信息構建空間，通過相似性的單調轉換，得到等級相似性(Shepard，1980)。基本步驟是:首先找到一個隨機匹配點(如通過正態分布進行取樣);接著計算點間距，再進一步找到描述相似性的最佳數據;緊接著根據最優數據和估算距離之間的應力系數，找到新的匹配點，并將所得應力系數和某標準比較。如果應力值達到標準則退出算法，否則返回繼續優化。非計量MDS 算法的核心是一個雙重優化的過程，根據相似性的最優單調轉換，最優排列對象點(Shepard，1962)。

由于計量的MDS 空間算法涉及原始數據提供的所有信息，因而其保存了對象間相似性或距離的全部信息，是一種很好的數據處理技術。但它對數據的計量水平有很高要求，這限制了其現實應用的適應性。相比之下，由于對原始數據計量水平要求較低，非計量MDS 只假定對象間的順序信息是有意義的，點間距的等級只能盡可能反映對象間相似性或距離的部分信息。正因為此，非計量MDS 技術對很多測量方法和數據具有更大適應性。

下文在簡述MDS 的應用規范基礎上，對Mayzner(1965)關于模式識別的早期研究(字母辨別實驗)進行再分析，主要是對25 個字母的混淆矩陣進行MDS 分析(Appelman ＆ Mayzner，1982;梁寧建，2003)，試圖闡明和驗證MDS 技術在認知心理學研究中的獨特適用性和恰當性。

2 數據收集方法:直接和間接

對數據進行MDS 分析主要是尋找眾多對象空間分布的過程，以測查對象的整體相似性和相異性程度，常被稱為相似性或相異性推導。數據通常排列在一個平方矩陣(相似矩陣或距離矩陣)內。根據相似性數據收集的方式分為:直接方法和間接方法(Torgerson，1952;趙守盈，呂紅云，2010)。下面分別簡述。

2.1 直接方法

直接收集相似性數據的方法就是要求被試將數字相似性或相異性的度量值分配給每對刺激，也可以根據刺激的相似性或相異性對刺激進行等級排序。排序的方式有很多，比如兩兩比較排序法、一對多的比較排序法、偏序排序法和歸類排序法等。直接等級評定的好處是:數據可以直接用于MDS 分析，并通過相似矩陣的平均值對每個被試進行個別分析(對被試的分析)和整體分析(對變量的分析)。其缺點是，當對象數量稍有增加時，總數據量就會猛增。

兩兩比較排序法。向被試呈現刺激的所有可能配對(總配對數是n(n-1)/2，n 是對象數量)，要求被試使用量表(如2 點或5 點量表)，數字越小表示對象間越相似，數字越大表示越不相似。據此規則比較排序每對刺激。該方法得到的相似性關系是對稱的，但不對稱的相似性關系也可能出現，比如混淆數據(見表1)，在SPSS 軟件的MDS 程序中有不對稱矩陣的命令選項。

一對多的比較和歸類排序法。由Rao 提出，具體操作是:要求被試按照某標準從眾多刺激中選出一個刺激作為比較刺激，再將比較刺激與其余刺激一一比較，再對挑選出的刺激進行相似性排序。重復該比較過程，直到所有的對象都有了自己的等級序數。當比較刺激與某些對象相比，難以或者無法給出排序值時，可以將其空缺。這叫一對多比較的偏序法(partial order)，該排序法允許缺失值的存在。另外，Rao 也提出另一種方法，即歸類法。具體操作是:要求被試根據刺激的相似程度，把最相似的刺激歸為一組，再根據組與組間的相似性對組進行歸并，直到將所有刺激歸為一大組，以兩個刺激被歸為同一組的次數作為相似性數據(Rao ＆ Katz，1971)。

2.2 間接方法

與直接方法相比，間接方法并不要求被試直接指定數值，主要通過其他的方法獲得相似性矩陣(如相關矩陣和混淆矩陣等)。

心理學研究中廣泛使用相關分析，當使用不同量尺測量同一被試或者根據某一標準匹配被試時，就能產生相關矩陣。有時很難發現相關矩陣的潛在結構，探索性和驗證性因素分析都是研究相關矩陣結構的高級多元統計方法(Tucker - Drob ＆ Salthouse，2009;趙廣平，曾天德，2009)。但它們主要建立在等距或等比測量的基礎上，而MDS 技術對數據類型并沒有嚴格限定，可以處理類別和順序數據。其解決方案是根據刺激間的距離，將刺激標示在平面圖上，這就可以直接觀察數據的結構。與因素分析技術相比，MDS 分析還有另外的優勢:MDS 分析可以分析那些刺激或對象的測量尺度、概念維度或刺激屬性未知的變量，而因素分析則必須建立在測量尺度和概念維度已知的情況下。混淆數據是指被試對兩刺激的混淆次數，即被試把某一對象刺激錯誤地判斷為另一刺激的頻次或頻率，這也是MDS 分析的間接數據之一。

綜上所述，直接和間接的方法都是為MDS 過程的數據輸入服務的，最終都會產生相似矩陣。在實際研究中，直接方法要求被試直接判斷客體對象的相似性或相異性，而間接方法并不需要如此，非常適合對以往經典研究文獻匯報的間接數據進行二次分析。

下文以知覺領域的早期研究——Mayzner 的字母混淆實驗為案例和數據來源(見表1)，研究混淆數據矩陣的MDS 分析過程，以探究MDS 在這一領域的適用性，更好地挖掘前人的研究數據。

3 字母混淆矩陣的MDS 分析

知覺的特征匹配理論認為，各種刺激在長時記憶系統中的形式，既不是模板(模板匹配理論)，也不是原型(原型理論)，而是刺激的基本特征和屬性。比如字母“A”，其刺激特征就是兩條線段和一個連接它們的短橫線。在模式識別過程中，被試對呈現的刺激，首先要分析和抽取其特征或屬性，再將抽取出來的特征或屬性加以合并整合，最后整合后的刺激模式與長時記憶中存儲的各模式比較。一旦外部刺激模式與大腦內部的刺激模式獲得最佳匹配，模式就獲得了識別。

3.1 研究假設

根據特征匹配理論可知:兩個刺激的特征差別越大，被試越容易區分，而對于相似的刺激更容易發生混淆(Appelman ＆ Mayzner，1982)。

3.2 實驗步驟

Mayzner 以25 個英文字母(不包括“Q”字母)為實驗刺激，使用速視器，按照5 種呈現時間(12ms、14ms、16ms、18ms 和20ms)，逐個隨機呈現字母刺激。要求被試完成125 次(25 字母×5 呈現時間)字母識別任務。

3.3 實驗結果

從實驗步驟可知，被試是把看到的一個字母刺激與記憶中儲存的25 個字母進行一對多的比較，并據此做出反應的。這說明，該實驗的混淆矩陣來自一對多的比較排序法。表1 數據是25 個字母兩兩混淆的頻次。其左上角第1 行第2 列的數字“2”表示:當呈現字母“B”時(行字母)，所有被試把“B”錯判為“A”(列字母)的頻次是“2”。而被試把“A”錯誤判斷為“B”的頻次卻是“10”(第2 行第1 列)，可知被試把“A”錯判為“B”的次數并不等于把“B”錯判為“A”的次數(“2 ≠10”)，矩陣為非對稱矩陣。數據矩陣的對稱性影響相似矩陣的算法，在MSD 的分析中是必須考慮的。

表1 25 個字母的混淆矩陣

3.4 數據處理與分析

使用SPSS19.0 完成數據轉錄、轉換和處理工作。

原實驗者對表1 數據做了初步統計分析:(1)通過直條圖分析(橫坐標為5 種呈現時間;縱坐標為字母正確識別次數)。結果發現，被試對字母正確識別的次數會隨著呈現時間的增加而增多;(2)把每個字母的混淆頻次與5 種呈現時間進行交叉統計。結果表明，具有相似特征的字母，被試更容易混淆，而特征差別較大的刺激不易混淆。

隨著高級多元統計技術的發展，使用MDS 技術對Mayzner 的實驗數據進行重新分析，發現數據處理結果雖與原實驗者大體一致，但也挖掘到新的信息。從表1 可知，混淆矩陣中的最高頻次達到了96，雖然頻次屬于非計量數據，但量尺全距足夠大，可以近似采用計量MDS 分析;由于混淆矩陣是非對稱陣，MDS 采用非對稱距離矩陣算法;由于MDS 的3 維空間分布圖并不直觀，采用2 維空間分析。結果顯示，MDS 的2 維空間分布圖(見圖1)把25 個字母分為四類。其決定系數(RSQ)為0.47;應力系數(Stress)為0.34。這兩個指標都是數據處理的擬合指數，RSQ 表示歐氏距離模型解釋實際數據方差的百分比;Stress 通常用于判斷擬合度，值越低擬合越好，反之亦然。Kruskal 提供了應力系數值的使用準則(Jaworska ＆ Chupetlovska - Anastasova，2009)如表2 所示:

表2 應力大小和擬合程度的對應關系

根據表2 準則可知，對25 個字母的混淆矩陣進行MDS 分析的恰當性是保守的。這可能與原實驗的被試量較少，或者刺激快速呈現導致被試判斷干擾較大有關。也可能與該實驗的任務操作有關:呈現刺激消失后，要求被試產生字母，這種任務操作容易受到很多因素的干擾。以上因素都會造成混淆矩陣數據具有很大隨機誤差或無關變異，因而對待該實驗的結果需要謹慎。但也要注意，在MDS 文獻中有很多不同的應力公式。Kruskal 準則只適用于計量MDS，實際應用中很容易被濫用，而且其值會隨著維數的增加而降低。一般來說，2 維空間的應力值高于3 維空間。另外，應力系數的絕對值只是擬合程度的模糊指示。碎石圖和Shepard 圖也可以用來判斷MDS 足夠性的參考(Jaworska ＆ Chupetlovska-Anastasova，2009)，這里不再贅述。

圖1 25 個字母的歐氏距離空間分布圖

從圖1 可知，MDS 分析結果與原實驗結果相一致。原實驗發現，C 和O、E 和F、N 和M、T 和I 等字母容易混淆;而G 和W、H 和I、F 和O、S 和T 等字母不易混淆。圖1 顯示，易混淆字母都被分配在同一空間，而不易混淆字母都在不同空間。比如，C 和O 都被分配在左上象限。MDS 以平面空間的形式呈現實驗結果，較之原作者只呈現字母混淆頻次的方式，顯然直觀得多。與原實驗結果不相符的是字母對C 和S、V 和D。Mayzner 認為，C 和S 具有更加相似的特征而更易混淆，但圖1 中C 卻位于左上象限，而S 位于左下象限，且距離很大;Mayzner 認為V和D 的特征差別很大而不易混淆，但圖1 中V 和D都在第二象限中，距離較近。

如果抽取圖1 中同一象限字母群的共同特征，不難發現，除了字母的視覺特征相似性之外，被試書寫字母的動作特征也很可能是一個不容忽略的影響因素。這一點是否涉及到具身認知(embodied cognition，Goldman ＆ de Vignemont，2009)等內容，需進一步研究。比如，右上象限的字母(W、T、Y、X、M、N和I)的共同特征是書寫動作大多包含單調直線運動;左上象限(O、D、J、U、V、L 和C)則大多包含單調曲線或折線運動;左下象限(E、F、S、B、Z 和G)是交替的左右運動;右下象限(H、A、R、P 和K)是以一條豎線起筆向右書寫一筆或兩筆)。如果僅僅根據視覺特征的相似性分類，I、J 和L 可能更應該屬于同一群組，但數據的信息卻并非如此。

需要特殊說明的是，歐式空間中各個象限空間是連續的，不是絕對割裂的。有些字母雖然分屬不同的空間象限中，但它們的距離并不很遠，如果分布在數軸附近，也可以把這些字母進行單獨歸類。比如圖1 中L、C 和G、還有F 和P 雖分屬不同象限，但它們很顯然具有視覺上的共同特征，也可歸為一類。

3.5 討論

混淆數據的優點是刺激的相似性判斷建立在感知水平上，沒有涉及太多的認知加工過程。通過以上分析可知，MDS 技術可以揭示非常基礎的知覺層面的加工特點。要說明的是，以上數據分析是建立在應力系數比較高的基礎上的，歐氏距離模型擬合不是最佳水平，進一步的研究需要收集大樣本數據量，以及對實驗設計進行更合理的調整。另一方面，混淆數據通常是不對稱的，不能夠進行個別數據分析，只能在整合所有被試結果的基礎上進行整合分析。最后，MDS 分析發現的字母識別可能與書寫動作有關，這一推斷提示，Mayzner 的字母混淆實驗可能要控制被試的左右利手特征，這種控制可能提高混淆矩陣的歐氏距離模型擬合程度。

4 結論

對Mayzner 字母混淆實驗進行MDS 技術進行再分析的結果一定程度上支持知覺的特征匹配理論，這與原實驗者的結論相一致。但也有新的發現:在快速呈現字母的情況下，被試對字母的辨別可能受到字母的書寫動作特征的影響，這一發現的更深層機制需進一步研究。

以上研究表明，MDS 分析法對于認知心理研究中間接數據的處理是恰當的，可以更好地挖掘混淆數據的信息。由于這一特點，使用MDS 對心理學早期由于受到當時研究條件限制而無法進一步分析的研究數據進行再挖掘和再處理，可能是很有意義的。

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