h-差分意義下H?lder不等式的證明及應(yīng)用

肖志勇，任曉娜

1隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2古戰(zhàn)九年制學(xué)校

h-差分意義下H?lder不等式的證明及應(yīng)用

肖志勇1，任曉娜2

1隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2古戰(zhàn)九年制學(xué)校

借助于普通意義下H?lder不等式的證明技巧,本文建立了h-差分意義下H?lder不等式.其次利用所建立H?lder不等式得到h-差分意義下的Cauchy-Schwarz不等式和Minkowski不等式.

h-差分分析；H?lder不等式；Cauchy-Schwarz不等式；Minkowski不等式

一、引言

差分方程理論是現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要分支,隨著差分方程在數(shù)學(xué)、工程及其他領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[1-4],h-差分方程理論在近幾年得到廣泛關(guān)注[5],但是它的理論研究還很不成熟,有待于進(jìn)一步探究.眾所周知，H?lder不等式在泛函分析及偏微分方程等學(xué)科中發(fā)揮著重要作用,盡管連續(xù)情形下H?lder不等式的理論研究已取得豐富成果[6-8],但對(duì)離散h-差分意義下H?lder不等式研究結(jié)論仍十分罕見.基于此本文將對(duì)離散h-差分意義下的H?lder不等式進(jìn)行研究.

二、基礎(chǔ)知識(shí)及引理

以下給出h-差分基礎(chǔ)知識(shí),見文獻(xiàn)[5]

對(duì)于給定實(shí)數(shù)h＞0.記：

對(duì)任意a,b∈Τ，a＜b，記離散區(qū)間：

對(duì)于定義在[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù)f(t),定義其向前h-差分為

為了在下一部分證明離散h-差分H?lder不等式,我們先給出如下引理

三、主要結(jié)果

證明若f(t)≡0或g(t)≡0,t∈[a,b]Τ,則(3.1)式顯然成立.所以不妨設(shè)f,g在區(qū)間[a,b]Τ上不恒為0，則

定義非負(fù)函數(shù)

由引理2.1有

即有

在(3.2)式兩端同乘以

可得

證畢。

特別地,當(dāng)定理3.1中p=q=2時(shí),便可得如下h-差分Cauchy-Schwarz不等式.

定理3.2(h-差分Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)f,g是定義在離散區(qū)間[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù),則

證明利用數(shù)學(xué)歸納法來證明（3.4）式.

（1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立（即為H?lder不等式）；

（2）假設(shè)當(dāng)n=m時(shí)成立，即

成立.

由H?lder不等式有

由假設(shè)可知

將上式代入（3.6）式即得（3.5）式,結(jié)論得證。

接下來,我們利用H?lder不等式來推導(dǎo)h-差分意義下的Minkowski不等式

定理3.4(h-差分Minkowski不等式)設(shè)f,g為定義在離散區(qū)間[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù),則

即：

便得

即(3.7)式成立. 證畢。

兩邊同除以

[1]阮炯.差分方程和常微分方程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社, 2002.

[2]楊清霞.淺談差分方程的應(yīng)用[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2006,15(3):282-285.

[3]孫清華.差分方程的應(yīng)用初探[J].武漢紡織工學(xué)院學(xué)報(bào)，1999,12(3):29-32.

[4]陳泰倫，藺小林.差分方程的理論研究與應(yīng)用[J].西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1996,14(3):128-133.

[5]Martin Bohner,Allan Peterson.Advances in Dynamic Equa?tions on Time Scales[M].Birkhauser,2002.

[6]孫秀華，賈洪波.H?lder不等式的推廣[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào),2010，19(1):15-16.

[7]徐罕.H?lder不等式的一個(gè)應(yīng)用[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),1998，11(2):177-179.

[8]蘭春霞.關(guān)于H?lder不等式應(yīng)用的初探[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào),2002,16(9):68-70.

[9]程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng)等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[10]夏道行,嚴(yán)紹宗.實(shí)變函數(shù)與應(yīng)用泛函分析基礎(chǔ)[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1887.