帶有恩格爾條件的廣義導子

王奕涵，杜奕秋

(吉林師范大學數學學院，吉林長春130103)

在本文中，R是素環(huán)，R的中心為Z(R);U是右Utumi商環(huán);Q是雙邊Martindale商環(huán);廣義形心C是Q的中心;對任意的 x，y ∈ R，［x，y］1= ［x，y］ =xy － yx;［x，y］n= ［［x，y］n－1，y］，n ＞ 1.

定義1 如果xRy=0，有x=0或y=0，則稱R是素環(huán).

定義2 可加映射d:R→R，如果對所有x，y∈R，有d(xy)=d(x)y+xd(y)成立，則稱d為導子.

定義3 可加映射g:R→R，如果對所有x，y∈R，滿足g(xy)=g(x)y+xd(y)，d是R的導子，則稱g是R上的廣義導子.通常g(x)=ax+xb，a，b∈R;g(x)=ax，a∈R也表示廣義導子.

顯然，任意的導子是廣義導子.許多學者在素環(huán)和半素環(huán)的條件下研究了廣義導子.其中Lee［6］推廣了廣義導子的定義，證明了每一個廣義導子能被唯一地擴展為U的廣義導子.因此，環(huán)R上的所有廣義導子都可假設是定義在整個U上的.

引理1 環(huán)R的稠密左理想上的每一個廣義導子，都可以擴展成U上的廣義導子，設g(x)=ax+d(x)，a∈U，d是U上的導子.

引理2 令R是非交換的素環(huán)，g是R的廣義導子，若滿足［g(rk)，rk］n=0，r∈R，k，n是固定的正整數，則存在 a∈ C，g(x)=ax，x∈ R.

引理3 令 R 是帶有非零左理想 I的素環(huán)，a，b∈ R，滿足［ark，rk］n+［b，rk］n+1=0，r∈ I，k，n 是固定的整數，則存在 α，β ∈ C，I(b－ β)=0，I(a － α)=0且 a+b= α + β.

引理4 令R是帶有非零右理想I的素環(huán)，滿足［ark，rk］n=0，a∈R，r∈I，k，n是固定的整數，則a∈C.

定理1 令 R是帶有非零右理想I的非交換素環(huán)，g是R的廣義導子，滿足［g(rk)，rk］n=0，r∈I，k，n是固定的正整數，則存在c∈U，U是環(huán)R的右Utumi商環(huán)，對適當的α∈C，有g(x)=cx且(c－α)I=0，特別地，有 g(x)=xα，x ∈ I.

證明 由引理可知，環(huán)R的稠密右理想上的廣義導子g，都可以唯一擴展成U上的廣義導子，設g(x)=xa+d(x)，a∈ U，d是 U 上的導子.若 d=0，且［ark，rk］n=0，r∈ I.則 a∈ C 且 g(x)=xa，x∈R，a∈ C.因此，假設d≠0.

根據Kharchenko［4］的結果，我們將分兩部分證明.

(ⅰ)令d是由元素b∈U誘導的內導子，即d(x)=［b，x］，x∈U，因而I滿足等式

且RI滿足(1).由文獻［3］，R和U滿足相同的廣義多項式恒等式，IU滿足［aXk，Xk］n+［b，xk］n+1=0.應用引理3，存在 α，β，λ ∈C，使U(b－ β)I=0，U(a － α)I=0成立，a+b= α + β.由此可得(b－ β)I=0，(a－ α)I=0.對任意的 x∈ R，g(x)=xa+［x，b］=x(a+b)－bx=(α +β －b)x.若令C= α +β －b，則有g(x)=cx，且(c － α)I=0，x∈ R.特別地，令 b'=b － β，有 g(x)=xa+［x，b］ =ax+b'x=xα.

在(2)式中，令y=0，則

在Y中對G(Y，X)線性化，并在(2)式中減去(3)式，可得R滿足［G(uy，ux)，(ux)k］n=0，從而R滿足

并且u C，顯然(4)式是R中的非平凡廣義多項式恒等式.又由Martindale［8］的結果，RC是帶有非零基座H的素環(huán)，而H是單的且IH符合I的條件［5］.特別地，IR、IH和H滿足相同的廣義多項式恒等式.用H和IH分別代替R和I，則R是單的且R等于其基座，IR=I;再令e2=e，e是I中的非零冪等元.對r，s∈R，有，取 s=(1 － e)t∈ R，t∈ R，則(1 － e)(te)(er)k(n+1)－1=0，與 e=0 或 e=1矛盾.因此I的冪等元是平凡的，I=R.我們考慮，r，s∈ R，由于 R 是多項式恒等式 －環(huán)，存在域F上所有m×m矩陣Fm，使R和Fm滿足相同的多項式恒等式.特別地，有

假設m≥2，r=e11，s=e21.在(5)中，有e21=0.故m=1且R是可交換的.

［1］Beidar，K.I.，Martindale，W.S.，Mikhalev，V.Rings with generalized identities.Pure and Applied Math ［M］.New York:Dekker，1996.

［2］Emine Albas，Nurcan Argac，Vincenzo.De.Filipppis.Generalized Derivations with Engle Conditions on One － sided Ideals［J］.Communications in Algebra，2008(36):2063 －2071.

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［7］Lee T.K.，Shiue，W.K.Identities with generalized derivations［J］.Comm.Algebra，2001，29(10):4435 －4450.

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