基于熵理論的城市主－支路交匯處交通狀態判別

劉 雪，楊 開，趙 鑫，楊兆升

(1.長春師范大學工程學院，吉林長春130032;2.吉林大學交通學院，長春吉林130022)

目前，道路的增長速度不能滿足于汽車保有量的增長速度，因而當道路的交通量接近道路的最大通行能力時，道路交通系統便不能高效有序地運行，而是表現出某種程度的車流紊亂，從而導致車輛運行速度降低、擁堵加劇、延誤增長等一系列交通問題。作為城市快速路的一部分，支路合理高效的通行變得尤為重要。道路交通系統與熱力學系統有著明顯的區別，但就其系統本身而言，又與熱力學系統存在許多相似之處。鑒于此，本論文引入熵來描述道路交通系統的狀態。

熵是系統的狀態函數，因此道路交通系統的熵可以作為其運行狀態的度量。其中熵值小，表明系統有序，即道路的服務水平高;反之熵值大，表明系統紊亂，道路的服務水平降低。

1 交通系統中流和力的確定

根據經典熱力學理論，任何宏觀系統的狀態都可引用狀態函數熵S來描述。對于任一宏觀系統，普利高津將熵 ds的變化分解為兩項之和［1－2］，即

或

其中，dis—— 熵產生，des—— 熵流，令 pi=，稱pi為熵產生率。

熵產生可以用廣義熱力學力X和廣義熱力學流J來表示［3］。力是流產生的原因，廣義力越大，引起的流就越大，不可逆變化也更迅猛。當開放系統處于線性非平衡區時，由于負熵流的流入，抑制了系統自身的熵產生，所以熵產生率隨著時間的進行而減小。當系統達到定態時(即ds=dis+des=0)，pi取得最小值，此時力和流都不再隨時間變化，這就是最小熵產生原理［4］。

平衡系統中小區域的熵產生可以描述為

非平衡系統中，如果同時存在多種不可逆過程，那么該系統的熵產生就與多種力和流有關。該系統的熵產生 ——δ可以描述為

其中，Jk—— 第 k種流，Xk——引起第k種流的力。

由局域平衡假設可知

其中，V——系統體系。

圖1 主－支路交匯處交通流量變化圖

根據流體力學中質量守恒定律及其連續方程可知，當從支路匯入主路的車輛數等于從主路駛入支路的車輛數時(圖1)，滿足。該式表明在此路段內汽車的數量是恒定的，即此時為平衡態;而當該路段的處于非平衡態時，通過最小熵原理可得

其中，q1——從支路進入主干道的交通量，q2——從主干道駛入支路的交通量。

設主路交通流的變化量為qn=q1－q2.

圖2 主路交通流受力分析圖

如圖2所示，在主路某車道中任取一路段Δx，對其進行圖中所示受力分析。記P0為已知狀態的虛擬力，則該路段上的車輛數為kΔX，與之對應的虛擬力的合力增量為Δp;在不考慮粘性力［5］存在的條件下，由于路段車輛的進出對原主路產生干擾，故引入干擾力f。由動量定理可以推導出

其中，Δv—— 速度的增量，v0——初始狀態的速度。

類比牛頓第二定律F=ma推出

其中，a——路段車輛的加速度。

其中，q——主路的交通量。

對(9)推導得該路段的交通壓力方程為

交通壓力P可以描述為:綜合了驅使交通流向前運動的驅動力、路面及交通設施對交通流的阻力和支路對主干道的干擾力等因素的廣義力。

2 交通系統熵產生模型及其狀態判別熵模型的建立

將上述所求的廣義力在本路段的增量和廣義流在本路段的增量代入(3)中，并將所得結果對研究路段進行積分可以得到熵產生率Pi，即

或

以上兩式即為兩種狀態(有干擾交通量和無干擾交通量)下的交通系統熵產生模型。

首先，選取某一時刻的交通狀態為其初始狀態，并由此確定其它狀態的熵產生模型，得到以下模型

(14)即為改進后的交通系統熵產生模型。

經過上面的推導可以求得初始狀態時系統熵值S，

(15)即為道路交通系統熵值模型。

在城市道路交通系統中，一方面希望道路熵值小，系統趨于穩定，道路服務水平高;另一方面又希望道路能有更大的通行能力，而不是單純的熵值最小。這就要求找到一個基準態。

選定交通量最大時為基準態(v=vm，k=km)，此時熵值為Sm。當S＞Sm時，需要向系統中注入負熵流S。

負熵流的注入對交通系統的有序化具有推動作用，幫助系統趨向有序，又能使道路的通行能力達到最佳。此時路段的交通總熵為

即

(17)為注入負熵流之后的道路的交通總熵。

初始狀態時，P0=0，qn=0，取v0=vf代入(15)式中，得到初始狀態的交通熵模型

將基準態時的條件(v=vm，k=km)代入(18)式中，可推導出

其中，vm—— 臨界速度—— 最佳密度

為了更簡單、直觀地描繪交通系統某時刻的狀態，引入交通狀態判別熵——sf，令

(20)為交通狀態判別熵模型。

3 對交通熵模型的驗證

本文以長春市臨河街與威海路交匯處為例對模型進行驗證，基礎數據來源于5個工作日的晚高峰(4:30～6:00)交通量和速度調查。根據國內外研究慣例，以5分鐘為標準時間間隔，順次記為1，2，3，……共18組。調查數據整理如表1所示。

表1 晚高峰交通量與平均速度調查表(單位:交通量 veh·5min－1;平均速度 km·h－1)

由于在臨河街與威海路交匯處限速40km·h－1，故vf=40km·h－1，vm=20km·h－1，通過查詢《道路通行能力手冊》可知，此時路段單車道最大通行能力為1050輛·h－1;根據Q=kv，可得Km=63 veh·h－1及k，運用公式(20)求得交通狀態判別熵Sf值如表2所示。

表2 交通狀態判別熵Sf值表

運用MATLAB軟件，對實測數據進行擬合得平均速度 －交通狀態熵值關系圖如圖3所示。

對圖3進行分析可知，擬合結果的殘差R2=0.9979。因一般情況下R2＞0.95時，表示擬合結果可信，故圖3所示的擬合效果較為理想。還可以明顯看出，平均行車速度越大，交通狀態熵越小;反之平均行車速度越小，交通狀態熵越大。這與前面第一部分理論分析階段的判別結果是一致的，間接證明了本文建立的交通狀態熵模型是成立且有效的。

由以上研究可知，在主 －支路交匯或主 －輔路交匯處等有干擾交通的路段，可對其采取相應的管控措施以降低交通熵值(如在主路交通流分/合流處增設一條輔助車道，車輛先進入輔道后再匯入主路以減少分 /合流交通量對主路的影響)，從而提高道路的通行能力。

圖3 平均速度－交通狀態熵值關系圖

4 結語

交通流熵值模型的建立為我們對道路交通系統狀態的判別提供依據。通過對道路總熵模型注入負熵流的方式達到對道路交通系統狀態進行調整的目的，從而提高道路的通行能力，為交通管理部門采取有效的管控措施提供了理論依據。

［1］邱潔.基于熵和流體力學的城市主干道的狀態判別方法研究［D］.哈爾濱:東北林業大學，2010.

［2］王春蕾.基于熱力學熵的城市快速路的交通狀態判別方法研究［D］.哈爾濱:東北林業大學，2011.

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