色散媒質(zhì)二階時域參量的演繹

色散媒質(zhì)二階時域參量的演繹

高本慶

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院，北京 100081)

摘要為了實現(xiàn)色散媒質(zhì)二階時域參量的變換,提出將色散媒質(zhì)二階參量演繹為時域參量的方法．以德拜媒質(zhì)水為對象,依據(jù)其本構(gòu)參量和平面波在空氣-水分界面上頻域反射和透射系數(shù),先建立其頻域超越方程式;再依據(jù)易于得到的本構(gòu)時域參量和待求的時域參量建立起其相應(yīng)的時域超越方程式,對其用迭代方法可演繹出二階時域參量．通過時-頻變換技術(shù)已證明方法的有效性．給出演繹過程和技術(shù)要點,并對所得結(jié)果進(jìn)行了討論,展示了因果關(guān)系．本演繹技術(shù)具有拓展延伸的潛力．

關(guān)鍵詞色散媒質(zhì)；時域參量；迭代

中圖分類號O441.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號1005-0388(2015)04-0635-05

AbstractTo reach the second order time domain parameter of dispersive medium, a new deduction method is presented. The observed medium is the water of Debye type, where a plane wave is incident upon air-water interface that results in reflection and transmission coefficient in frequency domain. The deduction processes are: the frequency domain transcendental equations of above parameters are first set up; then time domain transcendental equations of above parameters are reached by the transform; based on an iterative process the expected time domain parameters are last found out. In paper the method has been validated. The deduction process and technical points are described. The obtained results are discussed that exhibits causality. It is expected that the deduction method has a potential of extension application.

收稿日期：2014-06-16

作者簡介

Deduction of second order time-varying

parameter in dispersive media

GAO Benqing

(SchoolofInformationandElectronics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

Key words dispersive media; time domain parameter; iterative

引言

自然界中,除真空外幾乎所有的媒質(zhì)都具有色散特性．研究媒質(zhì)色散特性的主要內(nèi)容之一是考察它在外電磁場作用下的物理機理和本構(gòu)關(guān)系,及電磁波的傳播特性．這種本構(gòu)關(guān)系一般是通過媒質(zhì)的基本電參量表述的．從考察的要點上,媒質(zhì)及波傳播特性,通常是在頻域或時域上描述的,這兩者間是‘一分為二’的辯證關(guān)系,二者可以通過數(shù)理分析或測量手段單獨獲取,也可通過數(shù)理分析而相互變換本文在研究德拜型色散媒質(zhì)水的本構(gòu)參量和平面波在空氣-水分界面上的反射和透射的二階參量基礎(chǔ)上,發(fā)展了一種由頻域二階參量演繹出相應(yīng)時域參量的漸近迭代技術(shù)．建立了時域參量的基本方程式,表述了實施演繹的技術(shù)要點和實施演繹的過程．并對演繹的結(jié)果進(jìn)行了驗證和討論,表明在由低頻至自由偶極取向極化的響應(yīng)頻段107~1010Hz上,所得結(jié)果是正確的．

聯(lián)系人： 高本慶 E-mail：gaobq@bit.edu.cn

和演繹．這方面進(jìn)展見相關(guān)文獻(xiàn)[1-4]．

1理論和技術(shù)

1.1由本構(gòu)關(guān)系談起

電磁波與任意媒質(zhì)作用時,其電場E和磁場H都對媒質(zhì)的原子產(chǎn)生影響,但對一般媒質(zhì)電場比磁場的影響大得多．如水根據(jù)介質(zhì)磁化規(guī)律[5],水的磁化率很小(-0.9×10-5),故忽略磁場的影響．主要考慮水對電場的響應(yīng),可用極化強度P或電位移D來描述外加均勻電場的響應(yīng)．當(dāng)外加場是時諧場時,對于德拜型媒質(zhì)水可用復(fù)介電常數(shù)描述[1]

ε(ω) =ε′(ω)-iε″(ω)

=εh+(εs-εh)/(1+iωτ).

(1)

式中: εh是高頻介電常數(shù)， εs是靜態(tài)介電常數(shù); ω=2πf; τ是弛豫時間．對于媒質(zhì)水:εh=1.8,εs=81,τ=9.4×10-12,即

(2)

通過拉普拉斯變換,可以得到與式(2)對應(yīng)的時域式

(3)

式中δ(t)是單位沖擊函數(shù)(Dirac函數(shù))

回顧電磁波在空氣-水分界面上的反射和透射問題．如圖1所示,任一時諧波向其分界面入射時,在t≥0時刻,在分界面處,其頻域反射和透射系數(shù)是如下的經(jīng)典公式:

圖1　平面波向空氣-水分界面投射時的反射和透射

1+R=T;

(4)

(5)

(6)

式中: R和T分別是頻域反射和透射系數(shù); ε(ω)是色散媒質(zhì)水的介電常數(shù)．

1.2演繹方程式

由頻域式(4)、(5)、(6)演繹出相對應(yīng)的時域反射和透射系數(shù)r(t)和t(t)是本文的核心．由于式中出現(xiàn)了本構(gòu)參量的無理函數(shù)形式,使得直接通過頻域-時域的變換法演繹出r(t)和t(t)的難度很大．但在得知如下頻域到時域變換

(7)

對此式施以拉普拉斯逆變換,并用二頻域函數(shù)相乘,其對應(yīng)的時域參量為卷積形式,得

r(t)=esqr(t)-δ(t)-r(t)*esqr(t),

(8)

(9)

其對應(yīng)的時域是

t(t)=2esqr(t)-t(t)*esqr(t).

(10)

式(8)和(10)是關(guān)于r(t)和t(t)的特種超越方程式,可用迭代方法求解(見第2節(jié))．

2實施和驗證

對式(8)和(10)施以迭代計算,其實施步驟和技術(shù)要點如下:

2.1. 迭代步驟

以求r(t)為例,

1) 生成其初始時間序列r0(i),和esqr(i)序列,i=0,1,…,n;

2) 計算卷積r0(i)*esqr(i),并對所得序列的偶數(shù)項采樣，i=0,1,…,n;

由于遞推算法只有加法運算，而沒有乘法運算，因此，該算法具有較高的運算效率。插補計算的初始條件（i=0時）如下式所示：

3) 由式(8)求得序列r1(i),稱作1級近似．

重復(fù)步驟2)和3)得到2級近似r2(i),以此類推．由式(10)求取t(t)的迭代步驟相似．

2.2幾個技術(shù)點

1) 關(guān)于響應(yīng)時間序列的長度和間隔

時間的總長度密切依賴于弛豫時間τ的大小．計算表明:時間的總長度應(yīng)取≥3→5τ,而序列間隔時間取Δt=τ/100．

由于所求的r(t)和t(t)是用式(8)和(10)通過卷積和代數(shù)運算的迭代逼近而求得的,眾所周知:卷積結(jié)果的時間長度等于二序列的長度和減1,這表明:每次迭代將使序列的長度加長近一倍．為方便運算,本文取esqr(i)和r(i)序列的長度均為 1 024=210．每次卷積生成的新序列,僅采樣其偶數(shù)項序列以代表卷積結(jié)果．這樣處理,保證了所有時間序列的長度不變．

2) 關(guān)于δ(t)的計算,依其定義可得

(11)

本文取Δ=dt/100,dt=τ/100．

關(guān)于計算esqr(t)的初始時間,用Δ=dt/100替代初始時間0值．

3) 關(guān)于初始時間序列的選取

初始時間序列r0(i)和t0(i)可用具有初始沖擊的脈沖,其序列長度是1 024．例如,r0(i)=1×10-3,i=0,1,2,…,1 024．

2.3結(jié)果和驗證

所得結(jié)果r(t)和t(t)示于圖2．其中圖2(a)表示反射系數(shù)隨時間步數(shù)(步長Δt=τ/100)的變化,其初始躍升很大,即在時間步0~1處由-275×102

(a) 時域反射系數(shù)

(b)時域透射系數(shù) 圖2　平面空氣-水分界面上時域反射和透射系數(shù)

躍升到-2.5×10-2,后緩慢上升,仍有小的躍變,但趨于0值．圖2(b)表示透射系數(shù)的變化,其變化規(guī)律與反射系數(shù)相反:初始躍降由1.2至-4.8×10-2,后緩慢變化趨于0值．二者共同特征是:均有一個初始沖擊(大的躍變),后慢變(包括小躍變)趨于0值．

(a) 幅值

(b) 相角 圖3　平面波向空氣-水分界面入射,其R(t) 的頻譜計算值與理論值的比較

為了驗證圖2(a)的正確性,對其施以拉氏變換并與其理論值比較,結(jié)果示于圖3．圖3(a)和圖3(b)分別表示頻域反射系數(shù)的幅值和相角隨頻率的變化，由于頻率變化需含概多個數(shù)量級,故圖中橫軸是對數(shù)標(biāo)度log10(f)．由圖可見,在f<10GHz時計算幅值與理論值幾乎完全重合,而達(dá)10GHz或略大于10GHz時,二幅值仍吻合較好,幅角差為1度．

再驗證t(t)的正確性,同理對其施以拉氏變換,得到T(f)．進(jìn)一步用式(4)考查|1+R(f)|=|T(f)|是否滿足．結(jié)果示于圖4,可見當(dāng)f<10GHz時二者幾乎完全重合,當(dāng)f=10GHz或略大時,二者仍相近．

圖4　平面波向空氣-水分界面入射,其t(t)的頻譜 |T(f)|與|1+R(f)|的比較

3討論和結(jié)論

1) 本文是由德拜型色散媒質(zhì)復(fù)介電常數(shù)式(2)出發(fā),以平面波在空氣-水分界面上的反射和透射的物理量為對象,而開展其時域反射和透射系數(shù)演繹的．如追根求源到20世紀(jì)初的德拜年代,式(2)是用布朗運動研究自由偶極子取向極化特性而得到的,這類自由偶極子取向極化的響應(yīng)頻段約為107~1010Hz．幸運的是,由本文演繹得出的時域反射和透射特性,在上述頻段上與理論值吻合較好．演繹得出時間長度為10個德拜弛豫時間τ的r(t)和t(t)具有明顯的初始沖擊和局部躍變分布,這種時域特性亦與推演復(fù)介電常數(shù)式(2)時對激勵情況的各種假定相一致,可以認(rèn)為本文結(jié)果是前者的‘推演’．

2) 回到圖1和式(4)~(6)．設(shè)空氣中一時諧波Ei=1eiω t向水面入射,則在分界面兩側(cè)的反射和透射波分別是R(ω)eiω t和T(ω)eiω t,即

Er(ω)=R(ω)Ei, Et(ω)=T(ω)Ei.

(12)

所對應(yīng)的時域關(guān)系式為

(13)

令ei=δ(t),則時域反射和透射波可分別表示:

er(t)=r(t)*δ(t)=r(t);

(14)

et(t)=t(t)*δ(t)=t(t).

(15)

這意味著,本文所得的r(t)和t(t)可以看成是單位沖擊脈沖入射向分界面所產(chǎn)生的響應(yīng)．

3) 研究正弦和余弦型波入射向分界面所產(chǎn)生的響應(yīng):即

ei=sin(ωt)orcos(ωt);t≥0,

(16)

其透射波可分別表示為

e(t)=t(t)*ei.

(17)

這里的透射波是指分界面上媒質(zhì)水一側(cè)面上的波．令入射平面波頻率和時間步長為

f=8×109Hz(ω=2πf),Δt=9.4×10-14,

由式(14)得結(jié)果示于圖5．

(a) 總場

(b) 瞬態(tài)場

(c) 穩(wěn)態(tài)場 圖5　正弦和余弦型波平面波向空氣-水 分界面入射,其透射波分布

圖5(a)是透射波(總場)分布,其對應(yīng)正弦余弦波入射的響應(yīng)均已標(biāo)注,在時間t=0附近透射波隨時間分布均不同于入射波．其余弦入射波的響應(yīng)尤為明顯;大約在t>300Δt時,透射波場分別趨于正弦和余弦分布．該結(jié)果與經(jīng)典電磁場理論是一致的,即場的通解=瞬態(tài)解+穩(wěn)態(tài)解．可由所得總場(通解)和穩(wěn)態(tài)場提取瞬態(tài)場．圖5(b)表示t<300Δt,正弦和余弦型波入射時的瞬態(tài)場,可見正弦波入射時的瞬態(tài)場比余弦波入射時的瞬態(tài)場小得多．需要指出,當(dāng)兩種入射波的幅值為1時,其透射波穩(wěn)態(tài)場的幅值均為0.21(與頻域透射波值一致);但兩種透射波的零值點相對于其入射波分別移動了37Δt(對應(yīng)相位5度)．

4) 應(yīng)當(dāng)指出,本文解是由迭代逼近得到的,是一種近似解．但多次計算表明所得結(jié)果r(t)和t(t)的基本特性(二者隨t‘反向’分布,均有初始沖擊和局部躍變分布,后趨于0值)不變化,變化僅出現(xiàn)在其頻譜的高頻段與理論值的逼近程度上．

5) 本文由德拜型色散媒質(zhì)水的介電常數(shù)式出發(fā),初次演繹得出平面波入射向空氣-水分界面上的瞬態(tài)反射和透射波,并討論了瞬態(tài)分布及其因果關(guān)系．可以展望本文的演繹理論和技術(shù)具有拓展延伸的潛力．

參考文獻(xiàn)

[1]李景德, 沈韓, 陳敏. 電介質(zhì)理論[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2003.

[2]蘇哈羅夫 Α Π, 維諾格拉多娃M B, 魯?shù)强芆 B. 波動理論[M]. 王 珊, 編譯. 上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社, 1995.

[3]劉少斌, 劉崧, 洪偉. 色散介質(zhì)時域有限差分方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010.

[4]王彤. 色散媒質(zhì)的瞬態(tài)電磁特性研究[M]. 上海: 上海大學(xué)出版社, 2001.

[5]陳治, 陳祖剛, 劉志剛. 大學(xué)物理[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2007:495-496.

高本慶(1936-),男，安徽人，北京理工大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師．主要研究方向為時域電磁場,微波技術(shù),電磁兼容,天線．

段素馨, 張顥, 孫秀志, 等. 基于加權(quán)l(xiāng)1最小化的低復(fù)雜度波達(dá)方向估計算法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報，2015，30(4)：640-646. doi: 10.13443/j.cjors. 2014030402

DUAN Suxin, ZHANG Hao, SUN Xiuzhi, et al. A low complexity algorithm based on the weightedl1minimization for DOA estimation[J]. Chinese Journal of Radio Science，2015，30(4)：640-646. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors. 2014030402