民用飛機(jī)巡航性能計(jì)算研究

溫瑞英，魏志強(qiáng)，王紅勇，韓博

(中國(guó)民航大學(xué) 空中交通管理學(xué)院，天津300300)

0 引言

在一次完整的飛行中，巡航時(shí)間占到整個(gè)航行時(shí)間的75%以上，合理選擇飛機(jī)的飛行速度和飛行高度層可以有效降低航空公司的運(yùn)營(yíng)成本［1-2］。運(yùn)營(yíng)成本通常可以分為固定成本、燃油成本以及與飛行時(shí)間有關(guān)的成本［3］。航空公司可以采用經(jīng)濟(jì)巡航方式降低運(yùn)營(yíng)成本，但需要在飛行前知道準(zhǔn)確的成本指數(shù)，現(xiàn)階段大部分航空公司對(duì)時(shí)間成本統(tǒng)計(jì)不準(zhǔn)確，使得成本指數(shù)的大小難以確定，因此很多航空公司習(xí)慣使用遠(yuǎn)程巡航 (Long Range Cruise，LRC)方式或選取一個(gè)近似由遠(yuǎn)程巡航方式確定的成本指數(shù)進(jìn)行巡航。目前在燃油價(jià)格較高的情況下，采取遠(yuǎn)程巡航方式是一種比較理想的飛行方式。巡航高度的選擇也是影響航空公司運(yùn)營(yíng)成本的重要因素之一，飛機(jī)飛行時(shí)應(yīng)盡可能圍繞其最佳高度進(jìn)行，如果偏離最佳高度，燃油消耗將會(huì)增加，例如B757飛機(jī)在偏離最佳高度2 000 ft飛行時(shí)，航程燃油消耗將增加1%～2%;如果偏離最佳高度4 000 ft，航程燃油消耗將增加3% ～5%［4］。

波音、空客飛機(jī)公司提供的性能軟件可以計(jì)算LRC速度和最佳高度，但其計(jì)算方法保密。本文以B737-800為參考機(jī)型，以飛機(jī)的原始數(shù)據(jù)如極曲線、需用推力曲線、燃油流量曲線(或燃油消耗率曲線)等為基礎(chǔ)［5］，通過計(jì)算飛機(jī)的燃油里程，從而求得最大航程(Maximum Range Cruise，MRC)速度、LRC速度、最佳飛行高度以及給定初始巡航質(zhì)量和巡航高度情況下的航程和航時(shí)。利用波音公司的INFLT軟件計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)本文的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。民航飛機(jī)的FMC(Flight Management Computer)主要以燃油消耗最小或最小成本為性能指標(biāo)進(jìn)行巡航優(yōu)化［6-7］，所以本文所采用的方法可為我國(guó)研制大型客機(jī)提供理論支撐，也可作為大型飛機(jī)在制作飛行燃油計(jì)劃或巡航性能評(píng)估時(shí)參考的理論依據(jù)。

1 計(jì)算方法及理論依據(jù)

1.1 LRC速度的近似計(jì)算方法

假設(shè)飛機(jī)巡航時(shí)處于勻速且無機(jī)動(dòng)的穩(wěn)定直線平飛狀態(tài)，在此條件下飛機(jī)的升力等于重力，總阻力等于平飛所需推力。飛機(jī)的總阻力分為零升阻力和誘導(dǎo)阻力，其中誘導(dǎo)阻力系數(shù)近似為升力系數(shù)平方的函數(shù)，所以飛機(jī)平飛所需推力可表示為:

式中:CD0為零升阻力系數(shù);CL為升力系數(shù);CDi為升致阻力因子，與飛機(jī)的氣動(dòng)特性有關(guān);W為飛機(jī)巡航時(shí)的重量。飛機(jī)巡航時(shí)燃油里程可以表示為單位飛行時(shí)間內(nèi)飛過的距離與所消耗的燃油量之比:

式中:TSFC為燃油消耗率，在某飛行高度上可認(rèn)為是與發(fā)動(dòng)機(jī)有關(guān)的常數(shù);WF為燃油流量，即單位時(shí)間內(nèi)所消耗的燃油量;Ma為飛行馬赫數(shù);θ為巡航高度上大氣溫度與標(biāo)準(zhǔn)情況海平面大氣溫度之比，θ=T/T0;c0為標(biāo)準(zhǔn)大氣情況下海平面的聲速。理論上，當(dāng)航程一定時(shí)，最省燃油的巡航速度對(duì)應(yīng)于MRC速度，令d SR/d CL=0，則有:

由于巡航時(shí)，飛機(jī)的升力與重力相等，滿足:

式中:γ為空氣絕熱系數(shù)，取1.4;p0為海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣情況時(shí)的壓強(qiáng);δ為飛行高度上大氣壓強(qiáng)與標(biāo)準(zhǔn)大氣海平面大氣壓強(qiáng)之比。結(jié)合式(2)～式(4)，可求得MRC速度和最大燃油里程如式(5)和式(6)所示。

飛機(jī)以MRC速度飛行可以獲得最大航程，但是MRC速度太小并且接近反常操縱區(qū)，在實(shí)際飛行中，航空公司通常取99%的最大燃油里程所對(duì)應(yīng)的速度，即LRC速度進(jìn)行巡航。利用文獻(xiàn)［8］所采用的待定系數(shù)法，可求得MRC速度與LRC速度之間的關(guān)系為:

1.2 LRC速度的準(zhǔn)確計(jì)算方法及計(jì)算步驟

在實(shí)際飛行時(shí)，飛機(jī)阻力系數(shù)和升力系數(shù)之間并非簡(jiǎn)單的平方關(guān)系，燃油消耗率也是變化的。航空公司可以根據(jù)飛機(jī)制造廠商提供的原始性能數(shù)據(jù)計(jì)算準(zhǔn)確的LRC速度，以提高航空公司的運(yùn)行效益，具體計(jì)算步驟如下:

(1)根據(jù)飛機(jī)飛行高度Hp和飛機(jī)質(zhì)量m，利用式(4)計(jì)算不同Ma時(shí)的升力系數(shù)CL;

(2)利用極曲線，由計(jì)算出的CL和Ma計(jì)算阻力系數(shù)CD，并進(jìn)行雷諾數(shù)修正;

(3)假設(shè)飛機(jī)等速平飛，由阻力系數(shù)計(jì)算換算推力;

(4)利用燃油流量曲線，由換算推力和Ma得到燃油流量;

(5)通過燃油流量計(jì)算燃油里程，將若干飛行Ma及其對(duì)應(yīng)的燃油里程繪制成一條曲線，即為燃油里程曲線;

(6)燃油里程最大點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的速度為MaMRC，取99%的最大燃油里程所對(duì)應(yīng)的速度為MaLRC;

(7)依次改變飛機(jī)質(zhì)量m及飛行高度Hp，重復(fù)步驟(1)～步驟(6)，可得不同高度、不同質(zhì)量時(shí)的MaMRC和 MaLRC。

1.3 最佳巡航高度的計(jì)算

對(duì)于給定的巡航質(zhì)量，最佳高度為燃油里程最大的高度。所以在上述計(jì)算燃油里程曲線的基礎(chǔ)上，選定不同的飛機(jī)質(zhì)量，重復(fù)1.2節(jié)步驟(1)～步驟(6)，可以計(jì)算出不同飛行質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的最佳高度。

1.4 航程和航時(shí)的計(jì)算

燃油里程表示飛機(jī)消耗單位燃油所能飛行的距離，如式(8)所示，負(fù)號(hào)代表消耗的燃油即飛機(jī)質(zhì)量的減小量。定義航程因子為mSR，假設(shè)其為常數(shù)，則航程的表達(dá)式如式(9)所示。

式中:m1為巡航開始時(shí)飛機(jī)的質(zhì)量;m2為巡航結(jié)束時(shí)飛機(jī)的質(zhì)量。在計(jì)算得出燃油里程曲線之后，就可以由式(9)計(jì)算出給定巡航狀態(tài)下的航程R。本文采用差分法進(jìn)行計(jì)算，具體步驟如下:(1)給定巡航高度Hp，從初始巡航點(diǎn)即飛機(jī)質(zhì)量為m1開始，取一微段航程，即微段結(jié)束時(shí)飛機(jī)的質(zhì)量為m2，計(jì)算該微段航程內(nèi)飛機(jī)的平均巡航質(zhì)量;(2)利用燃油里程曲線，計(jì)算平均燃油里程SRavg和馬赫數(shù)Ma1;(3)利用SRavgΔm計(jì)算該微段的航程ΔR1;(4)利用計(jì)算該微段的航時(shí)Δt1;(5)以 m2為下一個(gè)微段巡航開始的質(zhì)量，重復(fù)步驟(2)～步驟(4)，得到一系列的ΔRi和Δti，將所有微航段的航程、航時(shí)累加就可得到整個(gè)巡航段的航程、航時(shí)。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 誤差分析

以B737-800型飛機(jī)為例，利用自編程序計(jì)算巡航高度9 500 m，巡航質(zhì)量從50 000 kg變化到75 000 kg，飛行馬赫數(shù)為 0.74時(shí)的燃油里程(SRINT)，并與波音公司INFLT軟件計(jì)算結(jié)果(SRSEF)進(jìn)行比較，具體如表1所示。可以看出，自編程序與波音性能軟件的計(jì)算數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最大不超過2%，說明了本文算法及程序的正確性。

表1 自編程序與波音INFLT軟件計(jì)算的燃油里程對(duì)比Table1 Comparison of fuel mileages calculated by the program and INFLT software

2.2 巡航性能計(jì)算

2.2.1 MRC速度和LRC速度的計(jì)算

圖1給出了飛行高度9 500 m，不同巡航質(zhì)量情況下的燃油里程曲線。可以看出，對(duì)于一個(gè)固定的巡航質(zhì)量，隨著馬赫數(shù)的增大，燃油里程先增大后減小，燃油里程最大點(diǎn)即曲線最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的馬赫數(shù)為該巡航質(zhì)量情況下的MRC速度;99%的最大燃油里程所對(duì)應(yīng)的馬赫數(shù)為L(zhǎng)RC速度。表2給出了飛行高度9 500 m，不同巡航質(zhì)量時(shí)的MaMRC和MaLRC。

圖1 不同巡航質(zhì)量時(shí)的燃油里程曲線Fig.1 Fuel mileage curves of different cruising mass

表2 不同巡航質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的Ma MRC和Ma LRCTable 2 Ma MRC and Ma LRC of different cruising mass

2.2.2 最佳高度的計(jì)算

圖2給出了飛機(jī)巡航質(zhì)量60 000 kg，飛行高度從8 100 m變化到11 300 m時(shí)的燃油里程曲線。可以看出，在不同的飛行高度，隨著馬赫數(shù)的增加，燃油里程曲線先增加后減小。結(jié)合表2，當(dāng)巡航質(zhì)量為60 000 kg，飛機(jī)以LRC方式巡航時(shí)(馬赫數(shù)為0.727)，11 300 m處的燃油里程最大，所以在該飛行狀態(tài)下，最佳巡航高度為11 300 m。

圖2 不同巡航高度時(shí)的燃油里程曲線Fig.2 Fuel mileage curves at different cruising flight level

2.2.3 航程和航時(shí)的計(jì)算

假設(shè)飛機(jī)以LRC方式巡航，巡航開始質(zhì)量為60 000 kg，可用于巡航的燃油量為5 000 kg，根據(jù)航程和航時(shí)的計(jì)算方法，取計(jì)算步長(zhǎng)為10 kg，不同巡航高度的航程與航時(shí)如表3所示。

表3 LRC巡航時(shí)的航程與航時(shí)Table 3 Cruising range and endurance of LRC

可以看出，飛機(jī)在最佳高度巡航時(shí)，燃油里程最大，航程越遠(yuǎn)，航時(shí)越小，飛機(jī)偏離最佳高度飛行時(shí)，對(duì)于固定的航程，燃油消耗將會(huì)增加。

3 影響巡航性能的因素分析

3.1 巡航質(zhì)量的影響

由圖1可知，巡航質(zhì)量越小，飛機(jī)的燃油里程越大，說明巡航質(zhì)量小時(shí)消耗相同的燃油所能飛行的距離越遠(yuǎn);飛機(jī)的最佳巡航高度隨飛機(jī)巡航質(zhì)量的減小而增大。圖3給出了不同巡航高度時(shí)，LRC速度隨巡航質(zhì)量的變化曲線。可以看出，除了巡航高度11 300 m外，MaLRC隨飛機(jī)巡航質(zhì)量的減小而減小。飛機(jī)在巡航過程中，隨著飛行燃油的消耗，飛機(jī)質(zhì)量逐漸減小，為滿足升力與重力相平衡，飛機(jī)需要不斷減小飛行速度。

圖3 Ma LRC隨巡航質(zhì)量、巡航高度的變化曲線Fig.3 Ma LRC curves of different cruising altitude and mass

3.2 巡航高度的影響

圖2 中，巡航高度越高，燃油里程越大，航程越長(zhǎng)，其主要原因是隨著高度的增加，大氣密度減小，阻力減小。由圖3可知，除高度11 300 m外，隨著飛行高度的增加，MaLRC增大，其主要原因是隨著飛行高度的增加，大氣密度減小，為滿足升力與重力相平衡，飛機(jī)需不斷增大飛行速度。

3.3 大氣溫度的影響

燃油流量是θx的函數(shù)，x是與發(fā)動(dòng)機(jī)型號(hào)有關(guān)的常數(shù)。非標(biāo)準(zhǔn)大氣情況下的燃油流量可表示為式(10)，式中下標(biāo)ns代表非標(biāo)準(zhǔn)大氣，std代表標(biāo)準(zhǔn)大氣。根據(jù)燃油流量、速度與燃油里程的關(guān)系，非標(biāo)準(zhǔn)情況下的燃油里程如式(11)所示。

本文取x的值為0.6，假設(shè)飛機(jī)巡航質(zhì)量為60 000 kg，巡航高度為9 500 m，圖4給出了不同外界溫度情況下的燃油里程曲線，可以看出隨著外界溫度的增加，燃油里程減小。LRC速度與溫度基本無關(guān)。

圖4 燃油里程隨外界溫度的變化曲線Fig.4 Fuel mileage curves at different ambient temperature

3.4 風(fēng)的影響

為了研究風(fēng)對(duì)巡航性能的影響，使用由地速和燃油流量確定的地面燃油里程，如下式:

式中:SRg為地面燃油里程;Vg為地速;VW為風(fēng)速。巡航時(shí)規(guī)定順風(fēng)為正，頂風(fēng)為負(fù)，圖5給出了地面燃油里程隨風(fēng)速的變化規(guī)律。可以看出，順風(fēng)增大了地面燃油里程，順風(fēng)風(fēng)速越大，地面燃油里程越大，航程越遠(yuǎn);頂風(fēng)則使得地面燃油里程減小，頂風(fēng)風(fēng)速越大，地面燃油里程越小，航程越短。表4給出了巡航高度9 500 m處，LRC速度隨風(fēng)速的變化規(guī)律。可以看出，隨著頂風(fēng)風(fēng)速的增加或順風(fēng)風(fēng)速的減小，LRC速度增大，說明巡航時(shí)如果遇上順風(fēng)，應(yīng)適當(dāng)減小飛行馬赫數(shù);如果遇上頂風(fēng)，則應(yīng)適當(dāng)增加飛行馬赫數(shù)。

圖5 地面燃油里程隨大氣風(fēng)速的變化曲線Fig.5 Variation of ground fuel mileage with wind speed

表4 風(fēng)速對(duì)LRC速度的影響Table 4 Influence of wind on the LRC speed

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了民航飛機(jī)的MRC速度、LRC速度、最佳飛行高度、航程與航時(shí)的計(jì)算方法并給出了詳細(xì)的計(jì)算步驟，利用波音性能軟件計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)該計(jì)算方法及所編制的計(jì)算程序進(jìn)行了檢驗(yàn)。對(duì)影響巡航性能的因素如飛機(jī)巡航質(zhì)量、巡航高度、外界溫度、風(fēng)等進(jìn)行了相關(guān)計(jì)算及分析，所得出的結(jié)論可有效降低航空公司的運(yùn)營(yíng)成本，增大飛機(jī)的航程。同時(shí)本文所采用的計(jì)算方法可為民航飛機(jī)飛行管理系統(tǒng)中的性能計(jì)算提供理論支撐。

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