基于干擾觀測器的四旋翼無人機軌跡跟蹤魯棒控制

楊柳，劉金琨

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

對其求導有:

0 引言

旋翼類無人機(UAV)相比固定翼無人機具有垂直起降、懸停等優點，因此受到了各國學者的廣泛關注［1-2］。

為了完成無人機自主飛行，跟蹤特定的軌跡，需要通過自動飛行控制系統來代替地面站的人為操控。四旋翼無人機具有6個自由度，但是只有4個獨立的控制輸入，是一個欠驅動系統［3］。針對其具有多輸入多輸出、強耦合、高度非線性等特點［4］，采用了很多線性和非線性的控制策略，如PD控制、滑模控制、反演控制、H∞控制［5-8］等。文獻［9］中針對無人機質量隨時間變化的情況，設計了自適應反演控制器，以補償質量不確定性。但是在該研究中，并沒有涉及慣性矩陣的不確定性。根據歐拉-拉格朗日動力學模型，文獻［10］利用RBF神經網絡估計未知的非線性項，不需要模型先驗信息，獲得了良好的跟蹤效果。

現有的控制方法在建模時，大都假設在低速懸停飛行中忽略氣動干擾力和干擾力矩的影響［11-12］。實際上，四旋翼無人機在飛行過程中，受到包括近地效應、槳葉揮舞、陣風等外界干擾的影響。這些干擾降低了飛行品質，甚至會破壞無人機的穩定性;因此對四旋翼無人機的飛行控制系統性能提出了新的要求，它必須具有魯棒性，可以克服建模不確定性和外界氣動干擾。文獻［13］利用了在滑模面上系統的運動不依賴于模型的優點，采用高階滑模，設計了四旋翼無人機的抗干擾控制器，既實現了高精度控制，又消除了傳統滑模的抖顫現象。本文針對所有自由度均存在干擾的情況，設計了基于非線性干擾觀測器的魯棒控制器，完成了四旋翼無人機的高精度軌跡跟蹤控制。

1 四旋翼無人機動態模型

四旋翼無人機由四個螺旋槳呈十字交叉組成，每個螺旋槳通過微型直流電機驅動。兩組螺旋槳(1，3)和(2，4)繞著相反的方向旋轉，合成運動所需要的推力和轉矩。通過改變每個螺旋槳的轉速，進而改變升力和力矩，完成上升、偏航、滾轉等飛行動作。四旋翼無人機的簡化結構如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機結構圖Fig.1 Structure of quadrotor UAV

利用歐拉-拉格朗日建模原理，建立系統的動態模型［14］如式(1)和式(2)，它們分別代表了無人機系統的位置子系統和姿態子系統動力學模型。值得注意的是，由于姿態子系統中不包含位置變量，可以在適當的系統結構分解基礎上，簡化控制律設計。

式中:m為總質量;p=［x，y，z］T為無人機在慣性坐標系 J{Ex，Ey，Ez}中質心的位置;U1∈R1和 ?！蔙3為系統的控制輸入，分別表示升力和姿態子系統旋轉力矩;J為輔助慣性矩陣，是剛體慣性張量i=［Ixx，Iyy，Izz］T在慣性坐標系中的表示;Θ =［φ，θ，ψ］T為歐拉姿態角;g 為重力加速度;e3=［0，0，1］T為豎直方向單位向量;羅德里格斯矩陣R表示平動速度從剛體坐標系B{Bx，By，Bz}到慣性坐標系的轉換，可以通過以下公式計算得到:

式中:C(·)和S(·)分別代表余弦函數和正弦函數。

C為科里奧利及離心力項，可以通過以下公式計算得到:

結合式(2)和式(4)可以得到C，為了簡潔，其具體表達式見文獻［15］。

若螺旋槳轉速為ω，則總的升力為:

進一步，可得四旋翼無人機姿態控制輸入轉矩:

式中:b，c均為與空氣動力學相關的常數;l為四旋翼無人機配置半徑。本文將升力U1和旋轉力矩Γ作為控制輸入，設計控制律。

2 位置跟蹤控制器設計

假設期望跟蹤的參考位置為pd，定義跟蹤誤差為ep=p-pd，那么位置子系統的誤差方程為:

式中:up=U1Re3為待設計的虛擬控制輸入。定義第一個誤差流形面

考慮到在實際的運輸中，由于貨物裝卸，無人機負載變化，致使總質量具有不確定性。為保證對期望的參考位置信號的精確跟蹤，采用自適應策略，設計位置子系統虛擬控制律:

其中:

式中:c1＞0為控制器參數;分別代表質量和外界干擾力的估計值，自適應更新律為:

將虛擬控制輸入式(11)代入式(16)，得:

根據自適應律式(13)和式(14)，可得:

根據 Barbalat引理［16］，可以得到 σ1→0，t→∞，則有至此，定理1證畢。

在得到虛擬控制輸入up后，還需要計算實際的升力U1和姿態子系統中間指令信號 Θd。將式(11)得到的虛擬控制輸入寫成向量形式up=［Ux，Uy，Uz］T，姿態子系統的中間指令信號設為 Θd=，展開up求解得俯仰角指令信號為:

滾轉角度指令信號為:

偏航角指令信號ψd直接由指令信號發生器給出，可以跟蹤任意的偏航角。聯合式(11)、式(19)和式(20)，可以得到實際的升力為:

至此完成了位置子系統的自適應控制器設計，對質量負載和氣動干擾力進行估計。在有限的模型先驗信息條件下，完成了高精度的位置控制。由于欠驅動特性的存在，不可能對所有6個自由度都進行跟蹤。一個合理的控制目標方案為:跟蹤位置p和偏航角ψd，同時保證另外兩個歐拉角穩定。

3 姿態控制器設計

3.1 干擾觀測器設計

式(2)為姿態子系統的動態方程，為了跟蹤中間指令信號Θd，需要設計控制輸入轉矩Γ。同時考慮姿態子系統的模型不確定性和外界非結構性干擾力矩，式(2)可以寫為:

式中:J0為控制器設計的名義模型，選取為正定對稱矩陣;JΔ為慣性誤差矩陣，滿足J=J0+JΔ;同理C0和CΔ分別代表科里奧利和離心力模型矩陣和誤差矩陣，滿足C=C0+CΔ。因此包含模型不確定性和外界干擾的總干擾力矩為:

因此姿態子系統的動態模型可以化為:

為了對d1實施補償，提高控制系統的魯棒性，設計下面的非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer，NDO)對 d1進行觀測。

式中:Z∈R3為中間變量為增益矩陣為輔助信號;X1∈R3×3為待設計常數矩陣。令

對其求導有:

考慮Lyapunov函數:

對式(29)求導，得:

若選擇X1滿足

式中:ξ0為正定矩陣。進一步得:

結合瑞利-里茲不等式，有:

式中:λM(·)和λm(·)分別代表相應矩陣的最大和最小特征值。根據式(33)可得:

式中:ξi(i=1，2)為正常數。聯合式(32)和式(34)，則觀測誤差具有指數收斂速率。

3.2 控制輸入轉矩設計

定義姿態子系統的跟蹤誤差信號Θe=Θ-Θd，，引入第 2 個誤差流形:

則姿態誤差子系統可以寫為:

設計控制輸入轉矩:

式中:c2＞0為控制器設計參數;J0和C0為控制器設計的名義模型，J0取為常數矩陣。

定理2:考慮位置姿態誤差子系統式(36)，干擾觀測器式(25)和輸入轉矩式(37)構成的閉環系統，存在合適的控制參數 c2，λ2，X1，滿足 c2＞ 1/2，λm(ξ0)＞1/2，使得所有誤差信號指數收斂，閉環子系統全局穩定。

證明:選取如下的Lyapunov函數:

沿著閉環系統軌跡，求導有:

將控制轉矩式(35)代入式(37)，可得:

根據Young氏不等式:

只要選擇 c2＞1/2，λm(ξ0)＞1/2，則有:

其中:

再一次利用瑞利-里茲不等式:

可以得到姿態誤差子系統指數穩定，定理2證畢。

在定理1和定理2的基礎上，選取兩個子系統Lyapunov函數之和V0作為整個系統的能量函數:

求導可以得到:

整個無人機控制系統結構如圖2所示。

圖2 控制器結構Fig.2 Controller structure

4 仿真結果及分析

四旋翼飛行過程中受到的慢時變外界氣動干擾力和干擾力矩分別為:

這里干擾的周期根據實際氣流運動情況進行選擇。位置跟蹤控制器參數為c1=5，λ1=5，γ1=5，γ2=0.1。

姿態子系統控制器參數整定結果為X1=diag［1，2，3］，c2=2。仿真結果如圖3 ～圖5 所示。

圖3 位置跟蹤三維效果Fig.3 Position tracking effects of 3D

從圖3的三維飛行效果可以看出，實際飛行路徑快速跟蹤到期望的參考位置，完成了高精度的螺旋上升大機動飛行任務。圖中，正方形點表示質量變化時刻。

圖4是沒有非線性觀測器對干擾力矩進行觀測的情況，此時輸入轉矩中不包含對干擾力矩的補償項，姿態角跟蹤效果較差。圖4(a)和圖4(b)為姿態子系統對中間指令信號θd和φd的跟蹤效果，圖4(c)為對指令發生器中給出的偏航角指令信號ψd的跟蹤效果。

有干擾觀測器補償外界干擾的情況下，圖5給出了姿態子系統對中間指令信號的跟蹤效果。與圖4對比可以發現，跟蹤的精度顯著提高，系統魯棒性增強。

圖4 沒有補償的姿態跟蹤效果Fig.4 Attitude tracking effect without compensation

圖5 有干擾補償的姿態跟蹤效果Fig.5 Attitude tracking effects with compensation

5 結束語

針對欠驅動的四旋翼無人機，設計了一種高精度的軌跡跟蹤魯棒控制算法。通過自適應策略，克服了位置子系統中質量不確定性和氣動干擾力的影響。設計了一個新穎的非線性干擾觀測器，使得姿態子系統快速跟蹤中間指令信號，同時克服外界氣動干擾力矩和慣性矩陣不確定性。理論分析和仿真結果都表明，所設計的控制器能夠提升飛行控制系統的抗干擾能力，增強了魯棒性。這種基于干擾觀測器的魯棒控制策略對于其他飛行器克服外界氣流干擾也具有較好的參考意義。

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