汲取教訓(xùn)，增強(qiáng)免疫

華昭琴

下面對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q平方根和立方根的有關(guān)問題時(shí)常犯的錯(cuò)誤加以分析，希望同學(xué)們能從這些錯(cuò)誤中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不犯或少犯類似的錯(cuò)誤.

例1 ? （2015·湖北恩施）4的平方根是________.

【錯(cuò)解】填2.

【錯(cuò)因診斷】一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).錯(cuò)解將平方根與算術(shù)平方根混淆了.

【正解】由（±2）2=4，得4的平方根是±2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根的概念，掌握“正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

例2 ? 下列各數(shù)有平方根嗎？有算術(shù)平方根嗎？若有，請(qǐng)把它們求出來;若沒有請(qǐng)說明理由.

（1） -2;（2） 0 ;（3） -9.

【錯(cuò)解】（1） 2，算術(shù)平方根是±;（2） 0既沒有平方根，也沒有算術(shù)平方根;（3） -9的平方根是-3，算術(shù)平方根是3.

【錯(cuò)因診斷】（1） 錯(cuò)解直接將平方運(yùn)算與開方運(yùn)算抵消了，沒有注意到平方數(shù)的底數(shù)是負(fù)數(shù).應(yīng)先求出平方數(shù)，再求平方數(shù)的算術(shù)平方根;（2） 錯(cuò)解對(duì)0的平方根和算術(shù)平方根的認(rèn)識(shí)有誤，0只有一個(gè)平方根，是其本身，規(guī)定0的算術(shù)平方根為0;（3） 錯(cuò)解認(rèn)為負(fù)數(shù)也有平方根和算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)的平方根是負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根是正數(shù)，這是對(duì)一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)不足.

【正解】（1）（2） 0的平方根為0，算術(shù)平方根也為0;（3） -9既沒有平方根也沒有算術(shù)平方根.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題，應(yīng)首先判別原數(shù)的正負(fù)性，正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù);0的平方根和算術(shù)平方根都為0;負(fù)數(shù)既沒有平方根也沒有算術(shù)平方根.對(duì)于原數(shù)有乘方運(yùn)算的，切忌直接將底數(shù)作為算術(shù)平方根，應(yīng)注意算術(shù)平方根一定是一個(gè)非負(fù)數(shù).

例3 ? 的平方根是_______.

【錯(cuò)解1】5或-5.

【錯(cuò)解2】.

【錯(cuò)因診斷】表示的是25的算術(shù)平方根，結(jié)果為5，求的平方根就是求5的平方根，不能誤認(rèn)為5的平方根為 是5的算術(shù)平方根.

【正解】因?yàn)?5，而5的平方根是±，所以的平方根是±.

【點(diǎn)評(píng)】要明確平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別，并在此基礎(chǔ)上正確運(yùn)算.另外，要注意認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵符號(hào)與關(guān)鍵詞語.

例4 ? 已知=4，=2，求ab的值.

【錯(cuò)解】a=64，b=2，ab=128.

【錯(cuò)因診斷】由=2應(yīng)該得出b2=4，平方等于4的數(shù)應(yīng)該有兩個(gè)，是±2而不是只有一個(gè)2，這是對(duì)=b認(rèn)識(shí)不到位引起的錯(cuò)誤.

【正解】∵=4，∴a=64.∵=2，

∴b=±2，∴ab=±128.

【點(diǎn)評(píng)】解此類題要注意掌握以下幾個(gè)性質(zhì)：特別是后一個(gè)，要考慮可能有兩解的情況，注意思維的全面性.

例5 ? 下列語句：（1） 負(fù)數(shù)沒有平方根也沒有立方根;（2） 一個(gè)正數(shù)的立方根是正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù);（3） 零的平方根和立方根都是零;（4） 36的平方根是±6，36的立方根是±6;（5） 立方根等于本身的數(shù)是0和1.其中正確的有（ ? ? ?）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【錯(cuò)解】A或C或D.

【錯(cuò)因診斷】錯(cuò)解將立方根與平方根混淆了，任何實(shí)數(shù)都有立方根，且立方根是單值的.

【正解】負(fù)數(shù)沒有平方根但有立方根，（1）不正確;（2）和（3）是正確的;36的平方根是±6，但36的立方根是，（4）不正確;立方根等于本身的數(shù)是-1、0和1，（5）不正確;因此，正確的說法有2個(gè)，選B.

【點(diǎn)評(píng)】要注意平方根與立方根的區(qū)別，正數(shù)、0、負(fù)數(shù)都有立方根，且只有一個(gè).

例6 ? （2010·安徽蕪湖）要使式子有意義，a的取值范圍是（ ? ? ?）.

A. a≠0

B. a≥-2

C. a≥-2或a≠0

D. a≥-2且a≠0

【錯(cuò)解】選A或B或C.

【錯(cuò)因診斷】錯(cuò)解分別忽視了算術(shù)平方根的被開方數(shù)應(yīng)該是非負(fù)數(shù)、分母不能為0并且兩者要同時(shí)成立，應(yīng)用“且”連接而不能用“或”連接.

【正解】由可知a+2≥0，解得a≥

-2;由知a≠0;要使兩者同時(shí)滿足，則a≥-2且a≠0，選D.

【點(diǎn)評(píng)】既要考慮到分子算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負(fù)，又要考慮分母不能為0，且兩者須同時(shí)成立，忽視任何一方面都會(huì)出錯(cuò).

例7 ? （2009·山東濰坊）一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（ ? ? ?）.

A. a+1 B. a2+1

C. ?D. +1

【錯(cuò)解1】因?yàn)閿?shù)a的算術(shù)平方根是，和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是+1，故選D.

【錯(cuò)解2】一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，所以這個(gè)數(shù)是a2，和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是，故選C.

【錯(cuò)因診斷】錯(cuò)解1將“一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a”理解為“數(shù)a的算術(shù)平方根”;錯(cuò)解2將求“和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)”誤解為求“和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根”，都是審題不認(rèn)真造成的.

【正解】選B.

【點(diǎn)評(píng)】認(rèn)真審題是正確解題的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）