基于坐標測量機和擬粒子群進化算法的圓柱度誤差檢測與評定

基于坐標測量機和擬粒子群進化算法的圓柱度誤差檢測與評定

趙藝兵溫秀蘭許有熊

南京工程學院，南京，211167

摘要：建立了任意位置下基于坐標測量機檢測的圓柱度誤差最小區(qū)域解的數(shù)學模型，提出了采用擬粒子群進化算法求解最小區(qū)域圓柱度誤差新方法。該算法使用實數(shù)編碼，由擬隨機Halton序列產(chǎn)生粒子的初始位置和速度，基于濃縮因子法修改粒子的速度。為了驗證算法的有效性，對文獻中測量數(shù)據(jù)采用提出的方法進行圓柱度誤差計算并將結果與多種算法計算結果進行比較，同時在加工中心加工大量軸類零件，使用三坐標測量機對零件進行實測,應用該進化算法計算最小區(qū)域圓柱度誤差并與三坐標測量機給出的結果進行比較。實驗結果均證實了提出的方法不僅優(yōu)化速度快、計算精度高,而且算法簡單,需設置參數(shù)少，便于推廣應用。

關鍵詞：圓柱度誤差;檢測與評定;坐標測量機;擬粒子群進化算法

中圖分類號：TP391

收稿日期：2014-12-15

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51075198);江蘇省333高層次人才項目;江蘇省六大人才高峰項目

作者簡介:趙藝兵,男,1966年生。南京工程學院工業(yè)中心高級實驗師。主要研究方向為數(shù)控技術、精密檢測技術。溫秀蘭,女,1966年生。南京工程學院自動化學院副院長、教授、博士。許有熊,男,1980年生。南京工程學院自動化學院副教授、博士。

CylindricityErrorInspectionandEvaluationBasedonCMMandQPA

ZhaoYibingWenXiulanXuYouxiong

NanjingInstituteofTechnology,Nanjing,211167

Abstract:A mathematical model of the minimum zone cylindricity error inspected on QPA was proposed to compute the minimum zone cylindricity error.QPA employed real coding, the initial positions and velocities of particles were generated by quasi random Halton series and particles’ velocities were modified based on constriction factor approach (CFA). In order to verify the proposed method, the cylindricity error of the measurement data from the reference was computed and was compared with the results by other methods.Besides, lots of shafts were machined on CNC machining center and measured on CMM. The cylindricity errors of the shafts were computed by the proposed method and the results were compared with those from CMM. The experimental results verify that QPA has the advantages of fast optimization speed and high computation accuracy,as well as the algorithm is simple and few parameters need to be set. It is easy to be popularized and applied.

Keywords:cylindricityerror;inspectionandevaluation;coordinatemeasurementmachine(CMM);quasiparticleswarmevolutionaryalgorithm(QPA)

0引言

圓柱度能夠同時反映圓柱體橫剖面的圓度和軸剖面素線直線度、軸線直線度等誤差,所以常用來衡量軸類零件形狀誤差的大小,其精度的高低直接影響產(chǎn)品的質量和使用壽命，為此多年來國內外學者一直致力于圓柱度誤差的檢測與評定研究。圓柱度檢測通常有柱坐標法和直角坐標法,對應的儀器有圓柱度儀和坐標測量機。柱坐標測量法的數(shù)學模型與算法已十分完善,但是檢測時要求必須滿足安裝偏心小,采樣點為偶數(shù),且等角度間隔采樣[1],圓柱度儀價格昂貴,因此多在計量室使用。目前在實驗室、車間環(huán)境條件下圓柱度檢測多是在三坐標測量機上完成的,由于使用三坐標測量機很難保證等角度間隔采樣，因此都在直角坐標下采樣。在直角坐標系下圓柱度誤差的評價理論相對極坐標系下圓柱度誤差評價理論還不是很完善,目前三坐標測量機配備的軟件給出的也只是最小二乘法評價結果,因最小二乘解通常大于國際標準規(guī)定的最小區(qū)域解,從而對形狀誤差產(chǎn)生過估計,特別是可能導致精密零件出現(xiàn)誤廢現(xiàn)象，因此針對直角坐標系下的圓柱度誤差評定,多年來研究者不斷提出新的方法。Roy等[2]利用計算幾何方法進行直角坐標系下圓柱度誤差的二維和三維評價。Zhu等[3]應用運動幾何學基于啟發(fā)式方法求解距離函數(shù)進而計算圓柱度誤差。溫秀蘭等[4]提出了基于實數(shù)編碼的改進遺傳算法同時實現(xiàn)了圓柱度誤差的最小區(qū)域法、最小外接圓柱法和最大內接圓柱法評定。Venkaiah等[5]提出了應用計算幾何法求解圓柱度誤差的方法。李濟順等[6]提出了基于坐標變換法評定圓柱度誤差的方法。上述方法在建立圓柱度誤差評定模型時,多數(shù)假設圓柱體檢測時在直角坐標系下垂直放置，即軸線平行于Z軸,且軸線起點的Z坐標位置為零,在這種特定的假設條件下上述方法對圓柱度誤差評定取得了較好效果。但是由于軸類零件在加工時常常存在安裝及加工誤差,使用坐標測量機檢測圓柱度誤差時很難完全保證軸線平行于Z軸及軸線起點的Z坐標位置為零,所以研究在任意位置下圓柱度誤差檢測及高精度評定方法不僅具有重要的理論意義，而且具有很強的實用價值。

1圓柱度誤差最小區(qū)域解的數(shù)學模型

假設Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,N)為圓柱體在空間直角坐標系OXYZ下的測量點,N為測點數(shù)。評定圓柱度誤差時,需要將實際圓柱面與理想圓柱面進行比較。在實際檢測中,被測圓柱面往往會因加工或定位誤差導致軸線偏差,為此設理想圓柱面軸線為L(l,m,n),軸線起點的位置為A(x0,y0,z0),如圖1所示。則理想圓柱面的軸線可表示為

(1)

式(1)可改寫成

(2)

其中,L的方向由q1和q2兩參數(shù)決定,q1=l/n,q2=m/n。

圖1　任意位置下圓柱度測量

設測點Pi(xi,yi,zi)至軸線L的距離為ri,則有

{(x0-xi)2+(y0-yi)2+(z0-zi)2-

(3)

按最小區(qū)域法評定圓柱度誤差實質上是尋找包容被測實際圓柱面且具有半徑差最小的兩理想同軸圓柱面，則最小區(qū)域圓柱度誤差的目標函數(shù)值為

g=f(x0,y0,z0,q1,q2)=min(max(ri)-min(ri))

(4)

該目標函數(shù)為還有5個待優(yōu)化變量且具有復雜約束的非線性優(yōu)化問題。

2擬粒子群進化算法計算圓柱度誤差

粒子群進化算法是一種基于群體模擬鳥群覓食的優(yōu)化算法,因算法實現(xiàn)過程中具有記憶性,不需交叉和變異運算,需調整的參數(shù)較少,結構簡單等優(yōu)點在解決復雜非線性優(yōu)化問題時得到廣泛應用。由式(4)可見,求解最小區(qū)域圓柱度誤差屬于非凸問題，可看成具有復雜約束的非線性優(yōu)化問題，非常適合用粒子群進化算法求解。考慮到經(jīng)典粒子群進化算法在生成粒子的初始位置和初始速度時采用隨機序列，常常不能均勻充滿整個采樣空間，易導致收斂于局部最優(yōu)解,本文提出采用基于擬隨機序列產(chǎn)生粒子的初始位置和速度的擬粒子群進化算法求解最小區(qū)域圓柱度誤差。

2.1擬隨機序列

擬隨機序列能夠均勻地充滿采樣空間,使計算結果穩(wěn)定可靠,因此已被成功應用于數(shù)值積分、隨機優(yōu)化等多個領域[7]。常用的擬隨機序列有Halton序列、Faure序列、Sobol序列、vanderCorput序列。本文采用擬隨機Halton序列[8-9]產(chǎn)生粒子的初始位置和速度。

設b為基數(shù),某一整數(shù)k(k≥0)可以用基b表示為

k=djbj+dj-1bj-1+…+d1b+d0

(5)

其中,di∈{0,1,…,b-1},i=0,1,…,j。

定義基b逆函數(shù)φb(k)為

φb(k)=d0/b1+d1/b2+…+dj/bj+1

(6)

對于每一個整數(shù)k≥0,φb(k)∈[0,1]。

Halton序列中的第k個元素由式(6)求得。如果取b1,b2,…,bd共d個不同的基數(shù),則可得到長度為L的d維Halton序列{x1,x2,…,xL},其中序列的第k個元素為

xk=[φb1(k-1)φb2(k-1)…φbd(k-1)]T

k=1,2,…,L

2.2擬粒子群進化算法用于圓柱度誤差評定

(1)輸入圓柱面上的測量值(xi,yi,zi)(i=1,2,…,N);

(3)根據(jù)式(4)計算所有粒子的目標函數(shù)值gj,目標函數(shù)值gj越小,則對應的粒子越好;

(4)修改粒子的速度。考慮到濃縮因子法(constrictionfactoralgorithm,CFA)能夠保證快速收斂,產(chǎn)生高質量解[10],本文采用CFA修改粒子的速度，即

(7)

(5)修改當前粒子的位置。粒子的位置通過下式修改：

(8)

(6)修改當前第j個粒子的最佳位置pbestj。計算所有粒子的目標函數(shù)值,如果粒子當前的目標函數(shù)值小于此前的最佳目標函數(shù)值,則用當前粒子的位置代替pbestj。

(7)修改粒子全局最佳位置gbest。如果粒子的當前目標函數(shù)值小于全局最佳粒子的目標函數(shù)值,則用當前的粒子位置代替全局最佳位置gbest。

(8)判斷是否滿足終止條件,若不滿足則返回(4)。

3應用實例

3.1文獻實例

為了與文獻中給出的方法進行比較,驗證算法的有效性,首先選擇文獻[6]給出的測量數(shù)據(jù),采用提出的擬粒子群進化算法(QPA)進行計算，設定進化代數(shù)為300,粒子種群大小為20，求解最小區(qū)域圓柱度誤差，并同時與采用免疫進化算法(IEC)[11]計算的最小區(qū)域圓柱度誤差進行比較,優(yōu)化過程見圖2。

圖2　圓柱度誤差優(yōu)化過程

由圖2可見,擬粒子群優(yōu)化算法和免疫進化算法分別經(jīng)過約130代和700代搜索到最小區(qū)域圓柱度誤差,QPA完成130代和IEC完成700代進化所需時間分別為0.55s和6.08s。為了便于比較,表1同時給出了文獻[6]將邊長等分為20和30份、采用免疫進化算法及最小二乘法(LSM)的計算結果,由表1可見,由本文提出方法計算的最小區(qū)域圓柱度誤差與免疫進化算法找到的最優(yōu)參數(shù)盡管不一致,但求出的最小區(qū)域圓柱度誤差結果是一致的,說明了最優(yōu)參數(shù)位置不唯一,但其最小區(qū)域解是唯一的。QPA計算結果小于文獻[6]采用基于坐標變換法計算的誤差,證實了本文提出的方法評定圓柱度誤差不僅優(yōu)化速度快,而且精度高。

表1　文獻實例計算結果　 mm

3.2實測數(shù)據(jù)

在PLITZHitechLV-800加工中心上加工一批軸,使用MISTRAL070705三坐標測量機對軸進行實際測量,見圖3,測得某軸數(shù)據(jù)示于表2。采用QPA求解圓柱度誤差，計算結果見表3,為了便于比較,表3同時給出IEC的計算結果。由表3可見,由QPA和IEC計算的最小區(qū)域圓柱度誤差均為0.0143mm,其值明顯小于坐標測量機軟件計算的圓柱度誤差(0.0168mm),由此可見,采用提出的擬粒子群進化算法在不改變硬件檢測設備的前提下能夠提高圓柱度誤差的評定精度,降低產(chǎn)品的誤廢率。

圖3　CMM測量圓柱度誤差

XYZ10.8311-18.5290-41.96232-1.7037-9.9309-41.933130.4083-1.1997-41.924946.60625.3014-41.9420515.20777.832341.9793623.93035.7325-42.0295730.4473-0.4670-42.0750832.9783-9.0813-42.1042930.8654-17.8108-42.11041024.6777-24.3147-42.09531116.0553-26.8494-42.0520127.3335-24.7350-42.0023137.3992-24.7655-28.11441416.1256-26.8794-28.16661524.7481-24.3428-28.20201630.9373-17.8353-28.21801733.0495-9.1047-28.21131830.5152-0.4893-28.17961924.00375.7102-28.13562015.27167.8079-28.0833216.67325.2778-28.0490220.4688-1.2288-28.034423-1.6395-9.9642-28.0396240.8969-18.5634-28.0723250.9656-18.5894-14.174426-1.5713-9.9867-14.1527270.5402-1.2518-14.1455286.74145.2478-14.16312915.34067.7813-14.19953024.06655.6776-14.2487XYZ3130.5810-0.5251-14.29733233.1127-9.1371-14.32343330.9979-17.8657-14.33063424.8099-24.3638-14.31663516.1896-26.9034-14.2737367.4688-24.7879-14.2230377.5383-24.8143-0.33363816.2599-26.9299-0.38533924.8804-24.3934-0.42014031.0632-17.8853-0.43724133.1750-9.1605-0.43154230.6431-0.5477-0.39934324.13305.6477-0.35634415.40687.7484-0.3041456.80775.2179-0.2702460.6067-1.2844-0.254747-1.5011-10.0177-0.2594481.0372-18.6157-0.2916491.1029-18.643713.606250-1.4319-10.040713.6284510.6756-1.306413.6351526.87665.192713.61865315.47667.719813.58275424.19965.617813.53205530.7145-0.578713.48445633.2437-9.192513.45675731.1297-17.918313.45005824.9454-24.414513.46515916.3252-26.956413.5089607.6026-24.842913.5582

表3　實測數(shù)據(jù)計算結果　 mm

4結論

(1)建立了任意位置下基于坐標測量機檢測的圓柱度誤差最小區(qū)域解的數(shù)學模型。

(2)提出了基于擬隨機序列產(chǎn)生粒子的初始位置和速度，采用濃縮因子法修改粒子速度的擬粒子群進化算法，該算法需設置參數(shù)少、魯棒性強、優(yōu)化效率高。

(3)大量實例證明使用所提出擬隨機粒子群進化算法不僅精度高而且計算速度快，在不改變硬件檢測設備的前提下，大大提高了圓柱度誤差評定精度，易于在精密計量儀器中推廣應用。

參考文獻:

[1]陳立杰,張鐳.直角坐標采樣時的圓柱度誤差數(shù)學模型[J].東北大學學報(自然科學版),2005,26(7):676-679.

ChenLijie,ZhangLei.MathematicalModelsofCylindricalityErrorwithSamplingPointsinRectangularSpatialCoordinates[J].JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience),2005,26(7):676-679.

[2]RoyUtpal,XuYaoxian.FormandOrientationToleranceAnalysisforCylindricalSurfacesinComputer-aidedInspection[J].ComputersinIndustry,1995,26:127-134.

[3]ZhuLimin,DingHan.ApplicationofKinematicGeometrytoComputationalMetrology:DistanceFunctionBasedHierarchicalAlgorithmsforCylindricityEvaluation[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2003,43:203-215．

[4]溫秀蘭,宋愛國.基于改進遺傳算法評定圓柱度誤差[J].計量學報,2004,25(2):115-118.

WenXiulan,ZhaoYibing,WangDongxia,etal.EvaluatingFreeformCurveProfileErrorBasedonImprovedGeneticAlgorithmandQuasiRandomSequence[J].OpticsandPrecisionEngineering,2012,20(4):371-378.

[5]VenkaiahN,ShunmugamMS.EvaluationofFormDataUsingComputationalGeometricTechniques—Part:CylindricityError[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2007,47:1237-1245.

[6]李濟順,雷賢卿,薛玉君,等.基于坐標變換的圓柱度誤差評定算法[J].中國機械工程,2009,20(16):1983-1986.

LiJishun,LeiXianqing,XueYujun,etal.EvaluationAlgorithmofCylindricityErrorBasedonCoordinateTransformation[J].ChinaMechanicalEngineering,2009,20(16):1983-1986.

[7]MaaranenH,MiettinenK,Quasi-randomInitialPopulationforGeneticAlgorithms[J].ComputersandMathematicswithApplications,2004,47:1885-1895.

[8]LeiG.AdaptiveRandomSearchinQuasi-MonteCarloMethodsforGlobalOptimization[J].ComputersMathematicsApplication,2002,43:747-754.

[9]溫秀蘭,趙藝兵,王東霞,等。改進遺傳算法與擬隨機序列結合評定自由曲線輪廓度誤差[J].光學精密

工程,2012,20(4):371-378.

WenXiulan,ZhaoYibing,WangDongxia,etal.EvaluatingFreeformCurveProfileErrorBasedonImprovedGeneticAlgorithmandQuasiRandomSequence[J].OpticsandPrecisionEngineering,2012,20 (4):371-378.

[10]EberhartRC,ShiY.ComparingInertiaWeightsandConstrictionFactorsinParticleSwarmOptimization[C]//ProceedingsoftheCongressonEvolutionaryComputation.SanDiego,CA,2000,84-88.

[11]WenXL,SongAG.AnImmuneEvolutionaryAlgorithmforSphericityEvaluation[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture,2004,44(8):1077-1084.

(編輯袁興玲)