采用絕對值反饋的混沌系統投影同步的電路實現

黃苗玉，閔富紅，王恩榮（南京師范大學電氣與自動化工程學院，江蘇南京210042）

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采用絕對值反饋的混沌系統投影同步的電路實現

黃苗玉，閔富紅，王恩榮
（南京師范大學電氣與自動化工程學院，江蘇南京210042）

摘要：針對變形蔡氏電路的全狀態混合投影同步（FSHPS）問題，提出一種非線性反饋同步控制方案.在響應系統中引入關于狀態變量的絕對值函數進行反饋控制，實現全部狀態變量在比例因子相同和相異情況下的投影同步.利用Multisim軟件設計模塊化的同步電路，數值仿真和硬件實驗結果表明：文中的全狀態混合投影同步方案具有有效性和可行性.

關鍵詞：全狀態混合投影同步；蔡氏電路；反饋控制；非線性；絕對值函數

混沌同步在保密通信、生物工程、信息科學等領域表現出巨大的應用潛力，已成為非線性科學領域中的熱點課題之一［1－3］.自1990年Pecora等［4］首次在電子線路中實現混沌同步研究后，混沌同步已發展出完全同步、反同步、廣義同步和投影同步等多種方式［5－9］.近年，Hu等［10］將投影同步推廣到全狀態混合投影同步，即對于維數相同的混沌系統，其對應狀態變量之間擁有獨立的比例因子.由于比例因子可以任意組合，因而全狀態混合投影同步囊括了完全、反相和混合同步等多種同步方式.這種特殊的同步現象在實現數字保密通信的安全快速傳輸方面有著重要的應用前景，并初步取得了一些研究成果［11－14］.Giuseppe等［13］在驅動系統中引入一個標量同步信號作為新的驅動系統，再設計控制器以實現混沌系統的全狀態混合投影同步.薛懷慶等［14］基于反饋控制原理，提出一種不需要進行李雅普諾夫穩定性證明的同步控制器，實現了混沌系統的全狀態投影同步.但上述方法僅從理論分析和數值仿真角度進行研究，設計的控制器較為復雜，不易進行電路實現.本文基于非線性反饋控制理論，提出一種利用絕對值函數進行反饋控制的同步方案.

1　問題描述與系統模型

考慮兩個非線性混沌系統，即

式（1），（2）中：x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn分別為驅動系統和響應系統的狀態變量；u為待設計的控制器.如果存在一個非零常數矩陣α＝diag（α1，α2，…，αn）∈Rn×n使兩系統狀態向量的投影誤差系統滿足

則該驅動系統和響應系統之間是全狀態混合投影同步.

蔡氏電路是目前眾多混沌電路中最具代表性的一種，其典型的電路結構已成為理論和實驗研究混沌的一個范例.用函數x｜x｜代替蔡氏電路中分段函數可得非光滑變形蔡氏電路［15］，其數學模型為

式（4）中：g（x）＝ax＋bx｜x｜，a，b為參數變量；x，y，z為狀態變量；α，β為系統參數.當α＝10，a＝－1/6，b＝1/16時，參數β的變化對系統運動狀態的影響，如圖1所示.圖1中：x為狀態變量.由圖1可知：當β∈［15.935，15.945］∪［16.181，16.700］時，Lyapunov指數小于零，系統為周期狀態；當β∈［15.800，15.935）∪（15.945，16.181）時，Lyapunov指數大于零，系統為混沌狀態.

圖1　非光滑變形蔡氏電路系統隨參數β變化時動力學特性Fig.1　Dynamic characteristics of non－smooth modified Chua′s circuit system by varying parameterβ

2　全狀態混合投影同步

2.1 同步控制器的提出

以非光滑變形蔡氏電路為例，對其全狀態混合投影同步問題進行研究.驅動系統和響應系統為模型相同，初始值和系統參數均不相同的兩個系統.設驅動系統為

響應系統為

式（6）中：u1，u2，u3分別為加在對應狀態變量上的非線性控制器.狀態誤差信號e1＝x2－p1x1，e2＝y2－p2y1，e3＝z2－p3z1.其中，p1，p2，p3為x，y，z的投影同步比例因子.根據式（5），（6），誤差系統為

如果沒有施加控制器，驅動系統和響應系統在初始條件和參數取值不同的情況下，系統的運動軌線將大相徑庭.如果設計合適的控制器對響應系統的運動狀態加以控制，當時間趨于無窮時，可實現誤差e1，e2，e3收斂于零，與驅動系統同步.以往的控制器設計［11－14］采用消除誤差系統中的非線性項和反饋控制相結合的方法，結構較為復雜.文中提出一種結構簡單新穎的非線性反饋控制器，其數學模型為

該控制器采用絕對值的形式零.因此，可以根據需要，選擇合適的比例因子p＝［p1，p2，p3］T與控制增益k＝［k1，k2，k3］T（k1，k2，k3大于0），可實現驅動系統和響應系統同步的全狀態混合投影同步.

在數值仿真中，采用Runge－Kutta法求解式（5），（6），驅動系統和響應系統的初值分別為（0.6，0.6，0.6），（0.4，0.3，0.1），選取參數β1＝15.4，β2＝16.4，使兩個系統分別處于雙渦卷混沌狀態和雙周期狀態.取比例因子p分別為［1/3，1/3，1/3］T，［1，1/2，1/3］T，對應的控制增益k分別為［40，100，40］T，［50，200，50］T，其同步誤差曲線如圖2所示.由圖2可知：在絕對值控制器的作用下，誤差信號（e）隨時間（t）的增加快速趨于零，驅動系統和響應系統達到同步.

圖2　非光滑變形蔡氏電路同步誤差曲線Fig.2　Synchronization errors curve of non－smooth modified Chua′s circuit system

2.2 電路設計

基于混沌電路的模塊化設計方法［16］，對式（5），（6）進行微分－積分轉換，并采用線性電阻、線性電容、運算放大器（TL082CP）、乘法器（AD633JN，內部增益為0.1）和二極管（IN5179）以實現非光滑變形蔡氏電路的同步，如圖3所示.其驅動電路的數學模型為

比較式（5）與式（9），可得各參數的表達式為

式（10）中：令α＝10，a＝1/6，b＝1/16，則Ri＝100kΩ（i＝1，2，3，4，7，8，9，11，15，16），Ri＝10kΩ（i＝5，6，10，12，13，17，18，19，20，22，23，26），R21＝5kΩ，R24＝16kΩ，R25＝60kΩ.

為了在實際示波器中觀測到混沌波形，需要提高混沌信號的頻率.因此，將C1，C2，C3的值統一縮小為原來的1/100，即由理論上的1μF置換成10nF.β的取值則由R14決定，R14采用100kΩ的可調電阻，改變R14的值可以得到混沌系統的不同運動狀態.

絕對值非線性反饋控制器的電路為虛線表示的中間部分（圖3），可調電阻R54，R64，R74分別用來調節p1，p2，p3的取值，可調電阻R62，R72，R82分別用來調節k1，k2，k3的取值，當R53＝R55＝R63＝R65＝R73＝R75＝10kΩ時，有

實際電路中運算放大器（TL082CP）的輸出限幅為±13.5V，若要在其線性工作區域實現同步控制，則需要對比例因子的取值范圍進行進一步分析.由式（12）可知：R54/R56，R64/R66，R74/R76的范圍為［0，＋∞），當其為0時，即R54，R64，R74取0，則p1＝p2＝p3＝2；當其為＋∞時，即R56，R66，R76取0時，則p1＝p2＝p3無限趨近于0.因此，同步控制電路的比例因子取值范圍為（0，2］，不僅可以實現驅動系統與響應系統的完全同步，還可以在運放的線性工作范圍內實現對驅動系統狀態變量的合理縮小與放大.

圖3　同步電路原理圖Fig.3　Principle diagram of synchronization circuit

為了驗證同步電路的有效性，在保持電路其他參數不變的情況下，將R14，R40調為66，61kΩ的阻值，電容初始值設為C1（0）＝0.6V，C4（0）＝0.4V，使驅動系統和響應系統分別處于雙渦卷和雙周期兩種運動狀態.按照數值仿真將比例因子p分別設為［1/3，1/3，1/3］T，［1，1/2，1/3］T，對應的比例因子調節電阻和反饋電阻的參數調節至R54＝R64＝R74＝50kΩ，R62＝R82＝25kΩ，R72＝1kΩ，以及R54＝10 kΩ，R64＝30kΩ，R74＝50kΩ，R62＝R82＝20kΩ，R72＝0.1kΩ，其同步曲線如圖4，5所示.由圖4，5可知：加入反饋控制器以后，響應系統的狀態變量始終與驅動系統達到相位相同，幅值對應成比例，即實現了兩個系統的全狀態投影同步.

圖4　p1＝p2＝p3＝1/3同步相圖Fig.4　Phase plane of synchronization with p1＝p2＝p3＝1/3

圖5　p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3同步時序圖Fig.5　Timing diagram of synchronization with p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3

2.3 電路實驗結果

根據圖3進行硬件電路實驗，元件的取值均參照仿真電路中的設置，實驗結果如圖6～8所示.響應系統由周期軌道迅速轉變為雙渦卷狀態的混沌運動，幅值和相位都精確跟隨驅動系統，這與數值模擬與電路仿真結果相一致，驗證了所提出的全狀態混合投影同步方案的有效性和可行性.

圖6　變形蔡氏電路運動狀態Fig.6　Motion states of modified Chua′s circuit

圖7　p1＝p2＝p3＝1/3同步相圖Fig.7　Phase plane of synchronization with p1＝p2＝p3＝1/3

圖8　p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3同步時序圖Fig.8　Timing diagram of synchronization with p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3

3　結束語

針對非光滑的變形蔡氏電路，提出一種基于絕對值函數的同步控制方案.設計并搭建驅動系統和響應系統的硬件電路，通過調節同步控制器的控制增益，可實現系統全狀態變量在任意比例因子下的投影同步.雖然只是對變形蔡氏電路進行研究，但由于所設計的同步控制器無須已知驅動系統和響應系統的精確模型，可在不改變結構的情況下適用于一般混沌系統的同結構和異結構的投影同步.設計的同步方案結構簡單，易于工程實現，能夠從電路層面上對混沌的同步現象進行直觀描述.考慮到電路系統易受外界干擾導致系統變化，而設計的控制器仍能使同步不受影響，具有較好的魯棒性.

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（責任編輯：錢筠 英文審校：楊建紅）

Chaotic Projective Synchronization Based on Absolute Feedback and Its Circuit Implementation

HUANG Miao－yu，MIN Fu－hong，WANG En－rong
（School of Electical and Automation Engineering，Nangjing Normal University，Nangjing 210042，China）

Abstract：A synchronization method based on nonlinear feedback control is proposed for the full state hybrid projective synchronization（FSHPS）of modified Chua′s system.The absolute function of states variable are introduced into the response system to realize the project synchronization in the same and different scale factor.The modularized synchronization circuit is designed and realized using Multisim.Numerical simulation and circuit implementation show the effectiveness of the proposed scheme in the paper..

Keywords：full state hybrid projective synchronization；Chua′s circuit；feedback control；nolinear；absolute function

通信作者：閔富紅（1972－），女，副教授，博士，主要從事非線性系統混沌分析與控制的研究.E－mail：minfuhong＠njnu.edu.cn.

中圖分類號：TP 13

文獻標志碼：A

文章編號：1000－5013（2015）04－0437－06

doi：10.11830/ISSN.1000－5013.2015.04.0437

收稿日期：2014－09－23

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51075215，51475246）；江蘇省自然科學基金資助項目（BK20131402）