直線與圓的位置關系有效教學課例比較研究

一、研究目的、對象、方法

（1）研究目的

通過對教師具體的課堂教學行為進行觀察比較，了解數學教師在課堂教學方式、知識的講授、課堂提問、技能訓練以及如何與學生進行認知和情感交流等方面的差異，尋找和比較教師教學行為的相同和不同之處.

（2）研究對象

我們研究的對象是普通高中課程標準實驗教科書（必修）第二冊中直線與圓的位置關系的兩節錄像課.這兩節課，一個是我校一位青年教師匯報課（教師A），另一節采自在衢州高級中學舉行的全國核心概念、思想方法教學黃顯忠老師的研究課（教師B）.

（3）研究方法

本研究主要采用直接和間接的課堂觀察法（錄像課），來獲得課堂行為差異研究的第一手資料.對課堂教學現象進行觀察，記錄被觀察對象行為出現的頻率，描述被觀察對象的行為.并預先設計了“有效課堂教學課堂提問登記表”、“有效課堂教學時間登記表”.

二、分析與結果

1.教學的整體結構分析

相似之處：

從兩堂課的概況來看，它們的基本要素和教學策略很類似：課題一樣，具體教學內容相同，有些例題，練習題也都是一樣的：他們也采用了類同的活動形式：師生互動：這兩節課都非常重視培養學生濃厚的學習興趣，旺盛的求知欲，積極的探索精神.體現了學生主動參與，樂于探究，勤于動手的精神理念；而且在教學中教師們都控制著課堂的整個進程（如表1-1所示）.

不同之處：

在看到類似方面的同時，我們也從教學細節方面找到了差別（如表1-1所示），甚至可以認為這些差別是十分重要的，體現了教師所持有的不同本質的指導思想：

（1）情境設計比較.教師A：通過實際問題臺風引入、讓學生稍作討論，然后提出問題：“前面問題可以轉化為直線圓的位置關系問題.請問，直線與圓的位置關系有幾種？在平面幾何中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？”教師B：在概念引入前任意畫一個圓和一條直線，請判斷它們之間的位置關系.學生已有的初中知識回答，老師引導并整理出了直線與圓的位置關系的幾種情形.到此兩人的差別還不是很大，接下來差別就很大.

（2）研究直線與圓的位置關系判斷比較.教師A：問題3：方法一是用平面幾何知識判斷直線與圓的位置關系，你能根據直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系嗎？老師直接提出了“形”向“數”轉化的問題.教師B：用幾何畫板給出圖像，判斷直線CD與圓O的位置關系？學生：相切.教師放大圖像，直線與圓并不相切，是相離，此時如何說明直線與圓相離？學生：利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系.教師B：除此方法，還有其他方法嗎？學生：把直線與圓用方程來表示，利用方程組的解的個數來判斷.教師B利用幾何畫板不同的單位長度造成的錯覺，置疑設惑，實現直線與圓的位置關系的“形”向“數”轉化的問題.這種教學從人認識事物的規律出發，揭示數學的本質，是有效的教學.

（3）直線與圓的位置關系判斷比較

教師A：問題4：這是利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判別直線與圓的位置關系（稱此法為“dr法”）.請問用“dr法”的一般步驟如何？教師對判斷直線與圓的位置關系步驟進行小結，對知識進行梳理，試圖使學生以后看到直線與圓的位置關系問題就聯系到dr法及其步驟，顯然這里有灌輸和應試之嫌.我們知道數學是理解的數學，任何死記硬背，生搬硬套都是不行的.教師B：請你寫出一條直線和一個已知點為圓心的圓的方程，判斷它們之間的位置關系并說明理由.教師B讓學生自己命題，畫圖并說明是怎樣來命題的.他們必然考慮圖形之間的關系與相應方程的關系，促使他們加強數與形的結合.這樣教符合解析幾何的本質，也激發了學生的興趣.

2.課堂教學時間分布比較

課堂教學時間分布表2-1 教師A與教師B課堂教學時間分布

從表2-1中，我們可以看出兩位教師的操作的一些不同之處，例如在引入新課、研究直線與圓的位置關系的關系、直線與圓的位置關系的判斷以及課堂小結四個方面時間差別較大.從前三項的差異我們可以看出兩位教師處理教材內容的主導思想，教師A只是用實際問題臺風引入研究直線與圓的位置關系，教師B由錯覺懸疑引入，層次預設，注重研究直線與圓的位置關系的合理生成，把大部分時間用在直線與圓的位置關系判斷方法的探討上； 鞏固與運用用時的差別是教師A尤其注重了學生的技能訓練，出現了兩道例題，第一題教師講解，第二道題學生獨立完成，課堂還做了三道練習.教師B只給出兩道例題，兩道題都是由學生自己完成，教師只是把學生做好的題目拿來投影，先聽聽學生怎么說明，再老師分析講解.第一題讓學生自己出題，并判斷直線與圓的位置關系.而后老師再拿出題目，師生共同完成.第二題是課本例題，在得到了結論后，老師并不滿足，不斷挖掘.師生共同得出求弦長的公式，此公式在以后直線與圓錐曲線關系中會用到.求出斜率k后，老師問了個問題：為什么會有兩個k，是不是過圓內定點截得弦長為定值的直線都有兩條？這樣做提高了學生一題多解的能力，發展了學生的變式思維，也關注了幾何關系的代數表示，代數結果的幾何意義.

3.師生活動時間分布

整個課堂教學中，兩節課在師生活動的時間上有較大差別（如表2-2）：教師A和教師B的講授時間所占比例分別為41 % 和27.3 % ，二者之比約為14∶ 9；教師A和教師B在師生交流互動（提問、指導、學生管理）上所占比例分別為4 % 和14.2 % ，兩者之比約為2∶ 7；師A和教師B在留給學生思考、討論的時間所占比例分別為17.8 % 和25.6 % ，二者之比約為9∶13.

4.課堂有效提問的比較

盡管有無數的教師與研究人員對于課堂提問作過無數次的觀察與研究，但是，課堂提問有效性的研究依然是課堂研究的永久性課題，對每節課的提問進行觀察研究永遠是有價值的.我們對直線與圓的位置關系這一節課的課堂提問觀察的主題是“關于教師課堂提問的有效性”，我們根據觀察主題對兩位教師的課堂提問進行了深入的分析，以期獲得更多的啟迪.

我們對兩教師的提問進行了定量的匯總與定性的思考，獲得了“教師A與教師B有效課堂教學提問的觀察分析匯總表”（見表2-3）和教師A與教師B的課堂提問有效性分析表（見表2-4）

綜合兩表，我們得出的基本結論是：

（1）從總體來說，在這兩節課教學中，教師提問較富效度，具體表現在：

“有效的提問”所占的比例較高，“低效的提問”所占的比例較低，而“無效的提問”所占比例最低，同時，我們也發現，有效提問中占主要地位的是知識性提問、分析性提問和推理性提問.但就這兩節課比較而言，教師B的分析性提問和推理性提問所占比例總共為64.6 % ，而教師A只為25 % ，遠遠低于教師B.教師B有元認知提問，教師A沒有元認知提問.在這兩節課的觀察中，我們沒有發現一例“過難”的低效提問，過易的提問也只有兩個，這說明教師對學生學習情況的基本把握是正確的.但在具體的提問及回答中，我們也發現教師A把握還不夠深刻，心里裝著自己的“備課答案”，對學生的傾聽不夠，出現了代學生回答的情況.因此，教師B的課堂提問的有效度要高于教師A.

（2）從量上來看，教師A總的提問數量明顯比教師B多，在整節課45分鐘內教師A提問了40次，而提問數增多的原因，最主要的就是無效提問和低效提問的增多，在整堂課的低效提問中，“無意義重復”的提問占了大頭，占低效提問總數的66.796.

（3）從質上來看，教師A表現出提問的淺層化，在本節課上反映出來的對問題的設計及追問能力有待加強.比如研究直線和圓的位置關系判斷時的提問，教師與學生共同復習直線和圓的位置關系后，教師A： 現在我們有了直線和圓的方程，那么把它們放在坐標系中該如何去研究它們的位置關系呢？這樣的問題太直接，缺乏深度，牽制學生的思維；教師B：教師放大圖像，直線與圓并不相切，是相離，此時如何說明直線與圓相離？學生：利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系.教師B：除此方法，還有其他方法嗎？學生：把直線與圓用方程來表示，利用方程組的解的個數來判斷.教師B：如何建立直角坐標系來研究直線與圓的位置關系呢？學生：已圓心為原點，水平直線為x軸，……這樣可供學生發揮想象力的空間比較大，問題里面所包含的方法性的選擇很多.這兩個提問是不在一個水平上的兩種問題，教師B：提的問題具有開放性和思考性.教師A：例2學生先獨立解決，然后看課本，規范解題.師：設直線方程為y+3=k（x+3），它的前提是斜率存在.對于斜率不存在的情形幾何畫板演示.教師B：學生先獨立解決，然后.你是如何求解例2的？講一下你的解題思路？學生要回答這個問題，他首先就會想圓心及半徑，根據弦長，再求弦心距，求k，……我要找它們有什么關系，那我怎么去尋找呢？接著，要尋找它們的關系，該從哪幾個方面去尋找呢？這就屬于“教學生怎么學”了.這個是涉及方法論的問題，而不是像教師A直接問上面所說的那種問題，那是直白的問題.更可貴的是，教師B，在巡視的過程中發現有的同學是設直線方程，代人圓的方程消去變量y得到關于x的方程，并設A（x1，y1），B（x2，y2），老師及時總結學生的思路，追問此時如何求AB的長呢？提出了求弦長的另外的一種方法.而不像教師A自己去講第二種方法.

（4）從回答情況來看，在教師A的教學中，對于提問的處理，其中有兩處布置了“同桌互說”，但兩處的同桌互說基本上都流于形式，屬于“表面繁華”，因而是一種“虛假學習”；二是一些問題留給學生思考時間不夠充分，教師往往把問題拋出后就讓學生回答，這樣就導致學生的回答不能如意.

結果分析：從以上幾方面的分析可以看出兩位教師不同的教學指導思想和不同的教學觀和學生觀：教師A的課堂教學注重的是知識和結果，缺乏和學生充分的交流，教師A十分重視教學成績而忽視學生的發展，主要表現在數學教學活動忽視學生學習的主動性和終身學習能力的培養，在教學評價觀念上表現為對學習結果的過度關注.忽視了學生發展的整體性、獨特性和持續性：忽視了教學是一種特殊的精神交往；忽視了教學中的師生互動和生生互動對提高教學過程質量、實現師生生命價值的重要意義.教師B注重的是過程和方法，注重的是學生在學習中的體驗；注重的是有效地在實現知識與技能目標的同時，把發展學生的數學思考、解決問題和情感與態度作為數學課堂教學的著力點；把學生的發展作為教學的出發點，通過有效的教學活動的開展，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.因此教師B的課堂教學相對于

教師A來說是有效的、高效的教學.