基于最近發展區理論的教學設計實踐

最近發展區 理論在現在的教學過程中應用得越來越多，這一理論要求教師在教學設計時，應以學生的最近發展區為契機和平臺，激發學生的思維操作，進而提升學生的數學認知水平和能力.在教學過程中，把數學教學的側重點從學生已經完成的發展過程轉移到正在形成或成熟的發展過程，了解學生某一知識和能力形成的最佳期限，抓住數學認知發展的關鍵期，并在該知識和能力形成時對學生施以最大影響，從而促進學生數學能力提升.現以橢圓及其標準方程為例，談談我在教學過程中對這一理論的實踐.

一、創設情境 引入新課

問題1：將一根沒有彈性的細繩對折，把重合的兩個端點固定在黑板上的一點，用筆尖套入另一端將繩拉緊，使筆尖在黑板上移動一周會生成怎樣的軌跡呢？

學生：軌跡是圓.

問題2：把剛才重合的兩個端點分開固定在黑板上的F1，F2 兩點上，當繩長大于F1，F2兩點的距離時，用筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上移動一周，又會生成怎樣的軌跡呢？

教師引導學生，通過動手實驗畫圖，得出結論：當常數=|F1F2|時，與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是線段F1F2；當常數<|F1F2|時，與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡不存在.

二、深入探索 推導方程

問題3：求曲線方程的基本步驟是什么？

學生回顧：建（系）—設（點）—限（約束條件）—代（入）—化（簡）.

問題4：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡單？如何求橢圓的方程？

教師引導學生增設臺階：

（1）利用對稱性建立坐標系；

（2）設置常數2a，2c；

（3）化簡方程，兩次平方；

（4）引出b2.

師生共同活動：利用橢圓的對稱性特征

①以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.

②設焦距為2c（c>0），則F1（-c，0），F2（c，0）.設P（x，y）為橢圓上任意一點，點P與點F1，F2的距離之和為2a（2a>2c）.

③動點P滿足的幾何約束條件： PF1 + PF2 =2a.

④坐標化： （x+c）2+y2 + （x-c）2+y2 =2a.

⑤化簡：引導學生思考如何去根號（移項后兩次平方法）先移項 （x+c）2+y2 =2a- （x-c）2+y2 .

再方程兩邊平方 （x+c）2+y2=4a2-4a （x-c）2+y2 +（x-c）2+y2.

整理得a2-cx=a （x-c）2+y2 再兩邊平方a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.

化簡，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），

兩邊同除a2（a2-c2），得 x2 a2 + y2 a2-c2 =1，

由定義2a>2c，∴a2-c2>0，橢圓具有對稱性，表示它的方程也該有對稱性，教師引導學生觀察橢圓圖形和推導出的橢圓方程的系數，學生容易發現三個基本量a，c， a2-c2 都表示橢圓中的特殊線段，不妨令a2-c2=b2，得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程為 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）.這樣表示的橢圓方程體現了對稱美、簡潔美.

問題5：如何求焦點在x軸上的橢圓的標準方程？

學生：按上述方法，可求出方程為 y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）.

設計意圖：學生的現實發展水平是：掌握橢圓的定義，會求曲線方程的一般步驟，會化簡含一個根式的方程.需要跨越的發展區是：根據橢圓定義推導橢圓方程；根據求曲線方程的一般步驟，結合橢圓特點，將橢圓放在恰當的坐標系中，設點的坐標；根據化簡根式的一般方法化簡兩個根式.橢圓標準方程的推導是教學的難點，直接講授學生可能難以理解和掌握.教師應在現有水平和目標水平之間增設“臺階”，即構建若干個最近發展區，不斷把學生的“最近發展區”轉化成現有水平，逐層遞進，把學生的能力提高到目標水平.每一步的跨越學生既可及又使力的新知生成方式是運用最近發展區理論的較好策略.

（1）利用對稱性建立坐標系；

（2）設置常數2a，2c；

（3）化簡方程，兩次平方；

（4）引出b2.

三、知識運用，深化理解

1.運用新知，解決例題

例1 寫出適合下列條件的橢圓標準方程：

（1）兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離和等于10.

（2）a+b=10，c=2 5

例2 若方程 x2 k-5 + y2 3-k =-1表示橢圓，求k的取值范圍.

變式1：方程 x2 a2 + y2 a+2 =1表示焦點在x軸上的橢圓，求k的取值范圍.

變式2：“m>n>0”是方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓的 條件.

變式3：方程Ax2+By2=1什么時候表示橢圓？什么時候表示焦點在x軸上的橢圓？什么時候表示焦點在y軸上的橢圓？

2.知識小結，提煉升華

橢圓的定義及其標準方程的推導過程，處處體現了數與形之間的對照和相互轉化，通過本節課的學習，說說你在知識與方法上分別有哪些收獲？

設計意圖：學生學習完例1會求橢圓標準方程之后，“最近發展區”應該有所突破，通過設計例2及其變式，給學生造成新的困難，向著下一個“最近發展區”發展.從而達到學生對概念的深層理解.

總之，我們在利用最近發展區理論來設計教學時，應盡量利用學生已有的知識，在原有的知識框架的基礎上，設定合適的難度傳授新知識.筆者在教學的過程中，牢牢把握住學生的潛在水平，取得了良好的效果.

【參考文獻】

[1]祝要輝.比較、發現、領悟、教“橢圓標準方程后” 想到的.中學數學教學參考，2014，12

[2]何建東.圓錐曲線引課之眾“設 ”紛紜.中學數學教學參考，2011，9.