動態生成 探中抽知

【摘要】 在中職數學教學中，踐行陶行知思想，用數學實驗與多媒體相結合的教育方式來實施雙曲線的定義的創新教學，演示雙曲線生成，揭示雙曲線的定義，了解雙曲線主要參數的幾何意義，掌握有關雙曲線參數的計算.

【關鍵詞】 雙曲線；數學；陶行知

陶行知先生曾說過：“教師的責任不在于教，而在于教學生學”.在常州市名師交流研討會上，本人開設了一堂研究觀摩課《雙曲線的定義及主要參數》，受到同行的高度評價.根據“生活即教育”和“教學做合一”的理論，在教學中我以“做”為中心進行教學實踐.現將這堂課的教學設計和實錄整理成文，供探討和參考.

教學簡錄

一、情境引入，生活感知

師：課前我為大家播放了Flash影片叫什么？

生：《悲傷雙曲線》.

師：很好！這是一首校園歌曲.簡單的歌詞、細細品味，突然發現，數學其實是很浪漫的一門學科.“雖然我們有緣，能夠生在同一個平面；然而我們又無緣，漫漫長路無交點”這句話跟雙曲線有沒有關系呢？到底雙曲線是怎樣的一種曲線？它是如何生成的，又是怎樣來定義的？它具有什么樣的特征呢？讓我們帶著這些問題進入我們今天所要學習的主題：雙曲線的定義及主要參數.

（根據學生認知的“最近發展區”為學生提供豐富的背景材料，通過播放網絡歌曲《悲傷雙曲線》進行組織教學，創設情境，激發學生學習雙曲線的興趣.）

師：我們生活中有沒有雙曲線的身影呢？生：有.

師：請小組代表上來展示課前布置的任務（展示圖片）

生：雙曲線冷卻塔、太陽能散熱板、雙曲線矯直輥、交通圖

（通過讓學生列舉雙曲線在生活中的應用，體現學生的主體地位，也讓學生感受到數學就在我們身邊，生活中處處有數學.從而對雙曲線有個感性的認識，讓學生產生探究雙曲線的強烈欲望.）

師：可見雙曲線在我們生活中的用途非常之多，我們對雙曲線也有了一個初步的認識.這樣一種優美的曲線還可以通過折紙折出來，大家想試試嗎？

生：（齊聲回答）想.

二、嘗試探究，得到新知

（一）數學實驗

師：請同學們拿出課前讓大家準備的印有圓心的紅紙，按如下步驟操作：在圓外部任意標出一點 F2，然后把紙片折疊起來，不過要使翻轉過來的圓弧上的點與 F2點重合，當折疊的次數夠多時，這些折痕就會“包”出一個很美的圖形，大家想欣賞它嗎？請大家趕緊動手折紙，看誰折得又快又好.

師：為了讓大家更清楚地觀察圖形，我用幾何畫板來模擬一下實驗過程.

師：雙曲線的圖像美嗎？生：美.

（利用折紙實驗的形式，讓學生經歷雙曲線的生成過程，既可加深學生對雙曲線的印象又可培養學生的動手實踐能力，增強合作意識.通過“做”達到喚起“興趣”，并用全副的精神去做事情的目的.）

師：那么它的圖像有什么特征呢？讓我們再次打開幾何畫板一起來研究一下.

師：雙曲線上的動點M有什么幾何特征呢？

生： MF1 - MF2 =定值（R）.

師：很好，這個結論很關鍵！大家還記得橢圓的幾何定義嗎？

生： MF1 + MF2 =常數（2a）.

師：非常好，我們類比橢圓也可得出結論： MF1 - MF2 =常數（2a）

師：根據以上討論，你能類比橢圓的定義，試著給雙曲線下定義嗎？

（二）雙曲線的定義

生：平面內到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值是個常數2a的點的軌跡叫雙曲線.

（讓學生自己生成雙曲線的同時自己概括得出雙曲線的定義.）

師：其中兩定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距.另外我們要注意常數2a小于|F1F2|=2c，請同學們思考一下為什么？

生：因為三角形兩邊之差小于第三邊.

（三）雙曲線的主要參數

師：2a與2c到底有什么幾何特征呢？讓我們結合圖像來研究一下雙曲線的主要參數：

師：觀察圖形：兩個定點間連線F1F2與雙曲線的交點為A1，A2，線段F1F2的中點為O.F1F2所在直線與雙曲線的交點稱為頂點.觀察一下雙曲線有幾個頂點？生：兩個.

師：我們把A1，A2稱為雙曲線的兩個頂點；定點F1，F2稱為焦點.

師：類比橢圓的參數我們稱：

1.A1A2所在直線叫實軸，2a叫實軸長即 A1A2 ，a叫實半軸長；2.2c叫焦距即|F1F2|，c叫半焦距.

師：橢圓里我們講到了離心率，它是怎樣來定義的？用什么來表示的呢？

生：橢圓的離心率是指焦距與長軸長之比，用e來表示.

師：類比橢圓我們得到雙曲線的離心率是指焦距與實軸長之比：比值e= c a （e>1）.

師：還記得橢圓的離心率是反映橢圓的什么程度？

生：扁圓的程度.

師：正確.而雙曲線的離心率能表征它開口的“大”“小”程度.讓我們通過幾何畫板來演示一下，大家發現了什么？

生：e越大，雙曲線越開闊；e越小，雙曲線越狹窄.

師：橢圓里除了a，c，e還有別的參數嗎？生：b.

師：對了，我們類比橢圓引入雙曲線的參數b：b2=c2-a2，即b= c2-a2 或c2=a2+b2或 c= a2+b2

師：我們稱F1F2的中垂線叫虛軸，2b叫虛軸長，b叫虛半軸長.

師：我們要注意：①熟記四個參數a，c，e，b的含義；

②掌握兩個關系式e= c a （e>1）和b2=c2-a2.

（整個過程巧妙地從舊知識引向新知識，通過類比和Flash動畫，讓學生對參數的幾何意義留下深刻的印象.）

三、運用知識，解決問題

師：俗話說“學以致用”，讓我們“小試牛刀”，來看看以下幾個例題.

例 求下列雙曲線的離心率e，焦距2c，并說明哪一支雙曲線的張口較“大”.

（1）到相距為10的兩個定點的距離之差為6的點的軌跡；

（2）到相距為10的兩個定點的距離之差為8的點的軌跡.

四、歸納知識，布置作業

師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？

（以學生自主歸納完成本專題的小結，幫助學生形成知識模塊，提煉思想方法，培養歸納總結的良好習慣.）

作 業

（1）用表格形式整理雙曲線與橢圓的區別和聯系

（通過表格讓學生類比橢圓的定義和主要參數完成雙曲線的內容，加深學生對本節課重點的理解和掌握.）

（2）完成學案

（3）請同學們思考能否類比橢圓的標準方程推導出雙曲線的標準方程來呢？

（一則使本節課具有完整性，連續性；二則激發學生自己去探索新知，發現規律，培養學生的自學能力.）

教學反思

通過本節課的教學實踐，讓我認識到現今的教學目標不單單是要讓學生學會書本知識，更重要的是要讓學生學會學習，從而發展學生的思維能力，培養學生的創新意識.

【參考文獻】

[1]吳邵兵，張金魁，李友君.對創設生活實踐情境簡單現象的思考.數學通報.2008（10）.

[2]胡曉風等主編.陶行知教育文集.四川教育出版社.

[3]章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學（上旬）.2010.5.