數學開放題研究及啟示

【摘要】 重視“雙基”是我國的數學教育特色，但也使學生存在應用能力薄弱等不足，作為一種新題型，數學開放題把“雙基”教育和“素質”教育很好的結合起來.以開放題為分析對象，本文從定義、特點、分類設計等多方面對數學教學進行了分析，希望對師生更好認識數學開放題有所幫助.

【關鍵詞】 數學開放題；數學研究；發散思維

【基金】 本研究系全國教育科學“十二五”規劃2012年度單位資助教育部規劃課題《“以學評教”背景下高中課堂學會學習的實踐》（課題批準號FHB120509）的系列成果之一，得到浙江師范大學教師教育學院微課研究中心的資助.

數學開放題是20世紀70年代開始出現的，以日本島田茂為首的一個學者小組最先提出了數學“開放題”（openend problem）的概念.國際數學大會委員會（ICMI）舉辦后，開放題于1998年在全國高等院校入學考試時首次亮相.作為數學教育工作者研究數學開放題，構建數學開放題，并將之用于教學實踐中，是對學生進行素質教育的一種有效途徑.

教無定法，貴在得法.沒有哪一種教學方法是萬能的，但教育一線的工作者們一直都希望自己的教學方法能最優化教學效果.“翻轉課堂”“慕課”等大浪潮席卷了許多地區，但是真正運用于課堂的也為數不多.傳統的數學課堂是教師講，學生聽，通過大量的練習或模仿解題步驟等，完成知識點的記憶，這樣的教學，使得學生善于模仿，善于解常規問題和競賽題，但往往也失去了培養學生創造能力的機會.所以，教學更應教會學生學會學習，幫助他們打開思維，鼓勵他們大膽創新.數學開放題作為一種新題型，應受到師生的廣泛關注.

一、開放題定義

開放題是相對于傳統的封閉題（條件完備，結論確定）而言的，由于問題的條件設置不完整或結論具有不確定性，需要學生發散思維，多方面思考的題型，核心是培養學生的創造意識和創造力，宗旨是培養學生在新環境中的適應能力和創新能力.

二、開放題的特點

數學開放題與傳統的封閉題相比有以下這些特點：非完備性與不確定性、發散性與探究性、層次性與發展性、創新性和應用性.其中發散性要求學生在解決具體問題時要根據問題所需進行多方思考、或轉換思維方式探究多種解題方案，得出結論.

三、開放題分類及設計

問題是開放式問題還是封閉式問題的屬性主要取決于學生的知識水平.如，有 n 個人進行兩兩之間的比賽，共需比賽多少次的問題，初中學生有很多種解法，高中學生利用排列組合的知識往往就只剩一種解法.總的來說，開放題主要包括以下幾種類型，借助具體的題例分析可以更好地理解該類型特點.

（一）條件開放題

條件開放題為問題所需補充的條件不能由結論推出.在設計條件開放探究題時，可以把常規性題目中完整的條件、結論改編為已知題目的結論成立，求滿足結論的條件.例如在學習冪的運算性質時，計算x3·x4就是一道簡單的封閉題，若改變一下條件與結論，試求一個代數運算結果為x7的式子，這就把原題改為一道條件開放題.教材與習題中常見的條件開放題還有補充條件，使某結論成立等.如：如圖1，要得到AD//BC，只需滿足條件 （只填一個）.再如：義烏市2012年數學中考卷第18題中，如圖2，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF.添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明.你添加的條件是 （不添加輔助線）.

（二）策略開放題

策略開放性問題指解題方法不唯一或解題途徑不明確的問題，這類開放題一般都給出了條件和結論，而怎樣由條件去推斷結論，或怎樣根據條件去判斷結論是否成立的策略是未知的.例如：鐘面數字問題.鐘面上有 12 個數字，在數字前添加正號或者負號使它們的和等于0.再如：在二次根式的學習中，計算以50 6 為斜邊，20 6 為直角邊的三角形另一邊長.只詢問結果的情況下，這是一道封閉題.若改變設問方式，詢問學生是釆用什么方式求出大小的，則其中學生的不同解題方法可以得出一道策略開放題.一般學生由勾股定理都可以列式如下： （50 6 ）2-（20 6 ）2 .有的學生會按運算法則逐步計算： （50 6 ）2-（20 6 ）2 = 15000-2400 = 12600 =10 126 =30 14 .而個別學生會靈活運用提取公因式得出： （50 6 ）2 （三）結論開放題

結論開放題的明確特征是缺少確定結果，且題目所給條件不是結論的充分條件.一般來說，結論開放題的標準答案包括將所缺的結論補充完整，根據自己所給結果形成的封閉題并給出完整解答.例如：給定2根相等的長筷子，2根相等的短筷子，擺成一個四邊形，能擺出幾種？再如，在一些結論開放設計題中，要求用圓和正方形兩種圖形（圓和正方形的個數不限），將某矩形分成具體比例等.

（四）綜合開放題

綜合開放題，即條件、結論、策略中至少有兩項是開放的.此類開放題型經常采取建立新問題規則，要求學生運用新規則解答問題的形式解答，需要綜合設立條件，通過觀察、比較、聯想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結論，或分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，利用多個數學思維方法，逐個擊破.這種由解答者給出形成封閉題所需要的條件和結論的題型，具有反映學生思維靈活性、試題情景公平等優點.例如：一個四邊形，剪掉一個角，剩下部分還有幾個角？ 這種題目，學生可以通過畫圖解決，也可以通過想象圖片來求解，當他們獲取三個角、四個角、五個角答案時，必然會或恍然大悟或歡呼雀躍.

四、開放題研究啟示

在研究數學開放題時不難發現，許多試題都是平時教學中的例題、習題或已考過的中考試題的直接引用或改編而成的.這些試題的命制，無疑對日常的數學教學起著很好的導向作用.因此，在平時的教學中，數學教師應該要有意識地將例題、習題等進行拓展、引申，通過改變條件、結論、圖形等，將開放題融入教學中，引導學生積極思考，培養學生的應變能力、發散性思維能力和創新意識，從而使教學能真正提高學生的能力.

數學開放性問題具有廣泛的時空思考范圍，具有較為豐富的思維材料、思維方向及問題解決的途徑，使得學生能夠更加自然獨立地探索、合作交流.同時，其解題的過程，是一個有趣、豐富的學習過程.變化無窮、生動活潑、靈活多樣的數學開放題，可以一改學生死搬硬套的解題模式，教會學生從不同角度對問題進行深思熟慮，尋求多樣性的解題方法.這樣，才能致力于實現義務教育階段的培養目標，真正適應學生個性發展，為他們活躍思維提供可能.

【參考文獻】

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