極限理論中的幾個重要問題

【摘要】 本文對極限理論中的無窮小量、無界量、發(fā)散量、無窮大量等重要概念進行了分析比較，分析了數(shù)列極限和函數(shù)極限之間聯(lián)系的歸并原理，并都通過具體的例子予以說明.

【關(guān)鍵詞】 一元函數(shù)；數(shù)列極限； 函數(shù)極限

在數(shù)列極限和函數(shù)極限教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常對相關(guān)極限理論中的一些概念和定理的理解存在一定的問題，本文將從對無窮小量、無界量、發(fā)散量、無窮大量以及歸并原理等幾個方面予以說明.

一、無窮小量

1.無窮小量在微積分中的重要地位和作用

無窮小量等價代換是求極限的一種重要方法，且與極限的密切關(guān)系，例如：

lim n→∞ xn=axn-a是當n→∞時的無窮小；lim x→x0 f（x）=af（x）-a是當x→x0是當時的無窮小.

此外，無窮小分析是貫穿于微積分的一種重要的思想方法.例如：

1° 可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lim Δx→0 f（x+Δx）-f（x） Δx 實際上就是Δx→0時兩個無窮小量f（x+Δx）-f（x）與Δx之比的極限；

2° 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的微分dy=AΔx=f′（x）Δx就是當Δx→0時的無窮小量，它與函數(shù)的改變量Δy之差是Δx的高階無窮小，即Δy-dy=ο（Δx）當dy≠0時，dy與Δy是當Δx→0時的等價無窮小；

3° 定積分∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n k=1 f（ξk）Δxk是當λ→0時的無窮多個無窮小之和，是無窮小的無限累加；

4° 收斂級數(shù)∑ ∞ n=1 an的通項an是當n→∞時的無窮小，判別∑ ∞ n=1 an的收斂性

首先應(yīng)分析an是否為無窮小.若an不是當n→∞時的無窮小，則級數(shù)∑ ∞ n=1 an發(fā)散，否則可用比較準則判別其斂散性，由此知判別級數(shù)∑ ∞ n=1 an的斂散性的關(guān)鍵在于先分析無窮小量an的階.

2.關(guān)于無窮小量的階

1° 無窮小量的階是用來刻畫無窮小量趨于零的“速度”的嗎？

例 當x→0時，x2與x都是無窮小，并且前者是后者的高階（二階）無窮小.試問當x→0時，x2比x趨于0的“速度”大嗎？我們知道，“速度”可用導(dǎo)數(shù)來刻畫，并且

（x2）′=2x，（x）′=1.

易見，無窮小量β（x）趨于0的速度是常數(shù)1，而x2趨于0的速度為2x，當|x|< 1[]2 時，|2x|<1，故當x< 1 2 時，x2比x趨于0的速度小！！

2° 對無窮小量α（x）與β（x）的階進行比較的前提條件是分母β（x）無零點（即β（x）≠0.）

例 下列運算是否正確：

lim x→0 sin x2sin 1 x x =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0.

錯在第一個等式用了無窮小等價代換，由于β（x）=x2sin 1 x 在x=0的任何鄰域內(nèi)部有零點xn= 1 nπ ，因此，不能說sin x2sin 1 x 與x2sin 1 x 是當x→0時的等價無窮小.正確解法：當x≠0時，

sin x2sin 1 x x ≤ |x2sin 1 x | x ≤|x|→0（x→0）.

進而，也不能說，β（x）=x2sin 1 x 是當x→0時的二階無窮小，只能說它是當x→0時x的高階無窮小.

3° 無窮多個無窮小的乘積不一定是無窮小.反例：

1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， …， 1 n ， …1 2 1 3 1 4 ， …， 1 n ， …1 1 32 1 4 ， …， 1 n ， …1 1 1 43 …， 1 n ， …… … … 乘積為數(shù)列1，1，…，1，….

二、 無界量、發(fā)散量、無窮大量之間的關(guān)系（以數(shù)列為例）

無界數(shù)列是指對數(shù)列{xn}：M>0，至少存在其中一項xn0，使|xn0|>M；

而稱不收斂的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列；數(shù)列{xn}為無窮大數(shù)列是指對M>0，N∈N+，當n>N時，恒有|xn|>M.三者關(guān)系圖如下：

也就是說：

（1）若{xn}無界，則{xn}必發(fā)散；反之不必成立；

（2）若{xn}為無窮大數(shù)列，則{xn}必無界； 反之不必成立；

若{xn}為無窮大數(shù)列，則{xn}必為發(fā)散數(shù)列；反之不一定成立

定理 數(shù)列無界存在一個無窮大的子列.

證顯然.

若{xn}無界，則根據(jù)數(shù)列無界的定義（注意：無界數(shù)列刪去前有限項仍為無界數(shù)列）

三、歸并原理

1. 數(shù)列極限的歸并原理

數(shù)列{an}收斂于a它的每個子列都收斂于a.

它建立了數(shù)列{an}（整體）與它的子列 ank （部分）收斂性之間的密切聯(lián)系，為判斷數(shù)列不收斂提供了一個簡潔的方法.

雖然很難用該原理來判斷數(shù)列的收斂性，但在某些特殊情況下卻提供了用子列的收斂性來判斷整個數(shù)列收斂性的方法.例如下面的定理

定理 數(shù)列{an}收斂于a它的偶數(shù)項組成的子列 a2k 與奇數(shù)項組成的子列{a2k+1}都收斂于a（判別交錯級數(shù)收斂的準則的證明中要用！）

推廣： 數(shù)列{an}收斂于a它的兩個子列 apk 與 aqk 都收斂于a，其中{pk}∪{qk}=N.

2. 函數(shù)極限的歸并原理（Heine定理）

設(shè)f：U 0 （x0）R→R，則lim x→x0 f（x）=a{xn}U 0 （x0），當xn→x0（n→∞）

時，函數(shù)值數(shù)列{f（xn）}都收斂于a.

它建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的聯(lián)系，可以將函數(shù)極限的有關(guān)問題（性質(zhì)，重要定理）轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的相應(yīng)問題來研究.

例1 證明Dirichlet函數(shù)

【參考文獻】

[1]西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)中的典型問題與解法（第二版）[M].北京：

同濟大學(xué)出版社，2006.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.